2021年高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)講義第9章96雙曲線

1、§9.6雙曲線最新考綱考情考向分析1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2.知道雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).主要側(cè)重雙曲線的方程以及以雙曲線方程為載體，研究參數(shù)a，b，c及與漸近線有關(guān)的問題，其中離心率和漸近線是重點(diǎn).以選擇、填空題為主，難度為中低檔.一般不再考查與雙曲線相關(guān)的解答題，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握根底內(nèi)容及雙曲線方程的求法，能靈活應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì).1.雙曲線的概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c>2a，其

2、中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRxR，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|2a，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2a2b2 (c>a>0，c>b>0)概念方

3、法微思考1.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線嗎為什么提示不一定.當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在；當(dāng)2a0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.2.與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者沒有大小要求，假設(shè)a>b>0，ab>0,0<a<b，雙曲線哪些性質(zhì)受影響提示離心率受到影響.e，故當(dāng)a>b>0時(shí)，1<e<；當(dāng)ab>0時(shí)，e(亦稱等軸雙曲線)；當(dāng)0<a<b時(shí)，e>.題組

4、一思考辨析1.判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“×)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(×)(2)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.(×)(3)雙曲線方程(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()題組二教材改編2.假設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，那么該雙曲線的離心率為()A.B.5C.D.2答案A解析由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，雙曲線的漸近線方程為

5、77;0，即bx±ay0，2ab.又a2b2c2，5a2c2.e25，e.3.a>b>0，橢圓C1的方程為1，雙曲線C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，那么C2的漸近線方程為()A.x±y0B.x±y0C.x±2y0D.2x±y0答案A解析橢圓C1的離心率為，雙曲線C2的離心率為，所以·，即a44b4，所以ab，所以雙曲線C2的漸近線方程是y±x，即x±y0.4.經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為_.答案1解析設(shè)雙曲線的方程為±1(a>0)，把點(diǎn)A(4,1)

6、代入，得a215(舍負(fù))，故所求方程為1.題組三易錯(cuò)自糾5.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率為2，那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.答案1或1解析由題意知a4，e2，c8，b2c2a2641648.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)位置不確定，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.6.P是雙曲線1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是它的左、右焦點(diǎn)，且|PF1|9，那么|PF2|_.答案17解析由題意知a4，b9，c，由于|PF1|9<ac4，故點(diǎn)P只能在左支上，|PF2|PF1|2a8，|PF2|PF1|817.雙曲線的定義例1(1)圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，那么動(dòng)圓圓心M

7、的軌跡方程為_.答案x21(x1)解析如下列圖，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因?yàn)閨MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|6.又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，那么b28.故點(diǎn)M的軌跡方程為x21(x1).(2)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，F(xiàn)1PF260°，那么F1PF2的面積為_.答案

8、2解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，那么|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|·|PF2|8，|PF1|·|PF2|·sin60°2.本例(2)中，“F1PF260°改為“·0，那么F1PF2的面積為_.答案2解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，那么|PF1|PF2|2a2，·0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|·|PF2|4，|PF1|·|PF2|2.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·廣東普寧

9、華僑中學(xué)期末)過雙曲線x21的左焦點(diǎn)F1作一條直線l交雙曲線左支于P，Q兩點(diǎn)，假設(shè)|PQ|4，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，那么PF2Q的周長(zhǎng)是_.答案12解析由題意，得|PF2|PF1|2，|QF2|QF1|2.|PF1|QF1|PQ|4，|PF2|QF2|44，|PF2|QF2|8.PF2Q的周長(zhǎng)是|PF2|QF2|PQ|8412.(2)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，那么cosF1PF2_.答案解析由雙曲線的定義得|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，那么cosF1PF2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2022·合肥調(diào)研)

10、雙曲線的漸近線為y±x，實(shí)軸長(zhǎng)為4，那么該雙曲線的方程為()A.1B.1或1C.1D.1或1答案D解析設(shè)雙曲線方程為1(m0)，又2a4，a24，當(dāng)m>0時(shí)，2m4，m2；當(dāng)m<0時(shí)，m4，m4.故所求雙曲線方程為1或1.2.(2022·全國(guó))雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，那么C的方程為()A.1B.1C.1D.1答案B解析由yx，可得.由橢圓1的焦點(diǎn)為(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.應(yīng)選B.3.過雙曲線C：1(a>b>0)的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，

11、與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.假設(shè)以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，那么雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1B.1C.1D.1答案A解析因?yàn)闈u近線yx與直線xa交于點(diǎn)A(a，b)，c4且4，解得a24，b212，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.4.經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)和點(diǎn)Q(6，7)的雙曲線方程為_.答案1解析設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn>0)，解得雙曲線方程為1.思維升華求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a,2b或2c，從而求出a2，b2，寫出雙曲線方程.(2)待定系數(shù)法：先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)

12、方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為(0)，再根據(jù)條件求的值.注意雙曲線與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程均可記為mx2ny21(mn0)，其中當(dāng)m>0，n>0，且mn時(shí)表示橢圓；當(dāng)mn<0時(shí)表示雙曲線，合理使用這種形式可防止討論.常見雙曲線設(shè)法(i)ab的雙曲線可設(shè)為x2y2(0)；(ii)過兩點(diǎn)的雙曲線可設(shè)為Ax2By21(AB>0)；(iii)漸近線為±0的雙曲線方程可設(shè)為(0).雙曲線的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1漸近線例2(1)(2022·包頭青山區(qū)模擬)雙曲線9y2m2x21(m>0)的一個(gè)頂點(diǎn)到它的一條漸

13、近線的距離為，那么m等于()A.1B.2C.3D.4答案D解析由，取頂點(diǎn)，漸近線3ymx0，那么頂點(diǎn)到漸近線的距離為，解得m4.(2)(2022·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，假設(shè)雙曲線x21(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，那么該雙曲線的漸近線方程是_答案y±x解析因?yàn)殡p曲線x21(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，所以91，得b，所以該雙曲線的漸近線方程是y±x.思維升華求雙曲線的漸近線的方法求雙曲線1(a>0，b>0)或1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令0，得y±x；或令0，得y±x.

14、反之，漸近線方程為y±x，可設(shè)雙曲線方程為(a>0，b>0，0).命題點(diǎn)2離心率例3(1)(2022·浙江)漸近線方程為x±y0的雙曲線的離心率是()A.B.1C.D.2答案C解析因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為x±y0，所以無論雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，都滿足ab，所以ca，所以雙曲線的離心率e.(2)(2022·唐山模擬)設(shè)雙曲線C：1(a>b>0)的兩條漸近線的夾角為，且cos，那么C的離心率為()A.B.C.D.2答案B解析a>b>0，漸近線yx的斜率小于1，兩條漸近線的夾角為，cos.cos2，si

15、n2，tan2，e2，e.(3)(2022·全國(guó))雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°，那么C的離心率為()A2sin40°B2cos40°C.D.答案D解析由題意可得tan130°，所以e.(4)(2022·全國(guó))設(shè)F為雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn).假設(shè)|PQ|OF|，那么C的離心率為()A.B.C.2D.答案A解析如圖，由題意知，以O(shè)F為直徑的圓的方程為2y2，將x2y2a2，得x，那么以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y

16、2a2的相交弦所在直線的方程為x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，應(yīng)選A.思維升華求雙曲線的離心率(1)求雙曲線的離心率或其范圍的方法求a，b，c的值，由1直接求e.列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.(2)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：k.跟蹤訓(xùn)練2(1)(2022·陜西漢中模擬)假設(shè)雙曲線x21(m>0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離是4，那么m的值是()A.2B.C.1D.4答案D解析雙曲線x21(m>0)的焦點(diǎn)設(shè)為(c

17、,0)，當(dāng)雙曲線方程為1時(shí)，漸近線方程設(shè)為bxay0，可得焦點(diǎn)到漸近線的距離db，故由題意可得bm4.(2)(2022·安徽江淮十校模擬)點(diǎn)(1,2)是雙曲線1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，那么其離心率的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析點(diǎn)(1,2)是雙曲線1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，得1，即b24，所以e>，所以e>.(3)(2022·天津)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.假設(shè)l與雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|4|OF|(O為原點(diǎn))，那么雙曲線的離心率為()A.B.C.2D.答案D

18、解析由題意，可得F(1,0)，直線l的方程為x1，雙曲線的漸近線方程為y±x.將x1代入y±x，得y±，所以點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均為.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故雙曲線的離心率e.1.(2022·衡水質(zhì)檢)對(duì)于實(shí)數(shù)m，“1<m<2是“方程1表示雙曲線的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析假設(shè)方程1表示雙曲線，那么(m1)(m2)<0，得1<m<2，那么“1<m<2是“方程1表示雙曲線的充要條件.2(2022·北京)雙曲線y21

19、(a>0)的離心率是，那么a等于()A.B4C2D.答案D解析由雙曲線方程y21，得b21，c2a21.5e21.結(jié)合a>0，解得a.3.雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為2，那么該雙曲線的漸近線方程為()A.x±y0B.x±y0C.x±y0D.2x±y0答案C解析雙曲線的方程是1(a>0，b>0)，雙曲線的漸近線方程為y±x.又離心率e2，c2a，ba.由此可得雙曲線的漸近線方程為y±x±x，即x±y0.應(yīng)選C.4(2022·西南大學(xué)附中月考)雙曲線1(0<a

20、<)的兩條漸近線的夾角為，那么雙曲線的離心率為()A.B.C.D2答案D解析由雙曲線方程可知漸近線方程為y±x，由兩條漸近線夾角為，0<a<，可知其中一條漸近線的傾斜角為，a，c，e2.5.(2022·廣東惠州調(diào)研)設(shè)雙曲線1(a>0，b>0)的一條漸近線為y2x，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)相同，那么此雙曲線的方程為()A.x25y21B.5y2x21C.5x2y21D.y25x21答案C解析因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為(1,0)，所以解得所以雙曲線方程為5x21.6.(2022·全國(guó)100所名校沖刺卷)雙曲線C：y21(a>0)，

21、O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以其實(shí)軸為直徑的O與一漸近線相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)為P，過P且與O相切的直線與x軸交于點(diǎn)A，假設(shè)|OA|，那么該雙曲線的漸近線方程為()A.x±y0B.3x±y0C.x±y0D.x±3y0答案D解析根據(jù)雙曲線的幾何意義知c，所以a3，所以雙曲線的漸近線方程為y±x，即x±3y0.7(2022·全國(guó))F是雙曲線C：1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)假設(shè)|OP|OF|，那么OPF的面積為()A.B.C.D.答案B解析由F是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，P(x0，y0

22、)，x0>0，y0>0，那么解得所以P，所以SOPF|OF|·y0×3×.8離心率為的雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OMMF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)16，那么雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是()A32B16C84D4答案B解析由題意知F2(c,0)，不妨令點(diǎn)M在漸近線yx上，由題意可知|F2M|b，所以|OM|a.由16，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16.應(yīng)選B.9(2022·華中師大附中月考)過雙曲線1(a>0，b>

23、;0)的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與漸近線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，那么雙曲線的離心率為_答案解析由題意知1，e.10.(2022·焦作模擬)左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2的雙曲線C：1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線l：x2y0相互垂直，點(diǎn)P在雙曲線C上，且|PF1|PF2|3，那么雙曲線C的焦距為_.答案3解析雙曲線C：1(a>0，b>0)的漸近線為y±x，一條漸近線與直線l：x2y0相互垂直，可得2，即b2a，由雙曲線的定義可得2a|PF1|PF2|3，可得a，b3，即有c，即焦距為2c3.11(2022·臨川一中模擬)如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙

24、曲線1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且F2AB是等邊三角形，那么雙曲線的離心率為_答案1解析設(shè)F1F22c，連接AF1，F(xiàn)2AB是等邊三角形，且F1F2是O的直徑，AF2F130°，F(xiàn)1AF290°，|AF1|c，|AF2|c，2acc，e1.12.(2022·臨川一中模擬)雙曲線1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是虛軸的上端點(diǎn).假設(shè)在線段BF上(不含端點(diǎn))存在不同的兩點(diǎn)Pi(i1,2)，使得·0，那么雙曲線離心率的取值范圍是_.答案解

25、析設(shè)c為半焦距，那么F(c,0)，又B(0，b)，所以BF：bxcybc0，以A1A2為直徑的圓的方程為O：x2y2a2，因?yàn)?#183;0，i1,2，所以O(shè)與線段BF有兩個(gè)交點(diǎn)(不含端點(diǎn))，所以即故解得<e<.13(2022·長(zhǎng)沙模擬)雙曲線C：1(a>0，b>0)，假設(shè)存在過右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且3，那么雙曲線離心率的最小值為()A.B.C2D2答案C解析因?yàn)檫^右焦點(diǎn)的直線與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且3，故直線與雙曲線相交只能交于左、右兩支，即點(diǎn)A在左支，點(diǎn)B在右支，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦點(diǎn)F(c,0)，因?yàn)?，所以cx13(cx2)，3x2x12c，因?yàn)閤1a，x2a，所以x1a,3x23a，故3x2x14a，即2c4a，2，即e2.所以雙曲線離心率的最小值為2.14(2022·張家口模擬)過雙曲線1(b>a>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近