二次根式講義

1、 教學情況記錄表課程類別同步 串講 其他 （請注明類別:_）本次課授課目標1、 了解二次根式和最簡二次根式的概念2、 理解二次根式的加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關實數的簡單四則運算3、 會確定二次根式有意義的條件教學重點二次根式的加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關實數的簡單四則運算教學難點二次根式的混合運算教學步驟和內容1、 錯題回顧2、 知識總結1、 二次根式的概念（例1）一般地，我們把形如的式子叫做二次根式.在二次根式中，可以是一個數，也可以是一個代數式，但不管是什么形式，作為被開方數的必須滿足，當時，二次根式無意義.也就是說，當被開方數時，二次根式才有意義.注意：二次根式

2、的兩個基本特征：一是根指數為2，二是被開方數為非負數.比如等均是二次根式，而像等均不是二次根式.2、 二次根式的性質（例2）（1） 二次根式的非負性，即，這一性質也是非負數的算術平方根.（2） 一個非負數的算術平方根的平方是它本身，即.把公式反過來就得到了式子，也就是說，逆用這一性質，可以把任何一個非負數寫成一個數的平方的形式.（3） 任意一個數的平方的算術平方根等于它本身的絕對值，即.3、 積的算術平方根的性質（例3）積的算術平方根的性質：積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積，即注意：（1）在這個性質中，可以是實數，也可以是代數式，但不管是實數，還是代數式，都必須使二次根式有意義，即

3、.要防止出現(xiàn)這樣的錯誤.（2） 另外該性質并非局限于被開方數為兩個因數，它可以推廣到更多個，如.(3) 如果一個二次根式的被開方數比較大，可以運用該性質將其分解為若干個，再分別運用化簡二次根式.4、 商的算術平方根的性質（例4）商的算術平方根的性質：商的算術平方根等于被除數的算術平方根及除數的算術平方根的商，即可以簡單地說：商的算術平方根等于算術平方根的商.注意：（1）在運用商的算術平方根的性質解決有關計算時，一定要準確把握性質成立的條件，即被開方數的分子為非負數，而分母大于0.(2)如果被開方數是帶分數，應先化成假分數，如必須先化成，注意；如果被開方數是小數，應先化成分數，如必須先化成5、最

4、簡二次根式（例5）定義：一般地，如果一個二次根式滿足下面兩個條件，那么，我們把這樣的二次根式叫做最簡二次根式.(1)被開方數的因數是整數，因式是整式；(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式如都是最簡二次根式.要注意分母中不能含有根號，如不是最簡二次根式.把二次根式化為最簡二次根式時，當被開方數為小數或分數時，可運用商的算術平方根的性質變形，使被開方數化為整數；當被開方數為整數時，可以把它分解因數，再運用積的算術平方根的性質變形，化為最簡二次根式.6、 二次根式的乘法和除法（例6）（1） 把積的算術平方根的性質反過來寫為，則為二次根式的乘法法則，即二次根式相乘，把被開方數相乘，根指數不變.二

5、次根式的乘法法則可推廣到多個二次根式進行相乘的運算，如.二次根式前面有系數時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即系數之積作為積的系數，被開方數之積作為被開方數.（2) 把商的算術平方根的性質反過來寫為，則為二次根式的除法法則，即二次根式相除，就是把被開方數相除，根指數不變.注意：二次根式的乘、除法法則和積的算術平方根、商的算術平方根的性質互為逆運算，在計算和化簡二次根式時可結合題目靈活運用，但始終要注意法則及性質成立的條件.7、 分母有理化(例7）定義：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如注意：（1）有理化因式：兩個含有根式的代數式相乘，如果它們的積不含有根式，那么這兩個代數式互為

6、有理化因式.(2） 分母有理化的依據：分式的基本性質.(3） 分母有理化的方法：將分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.(4） 分母有理化因式不唯一，但以運算最簡便為宜，如的有理化因式是.8、 二次根式的合并（例8）合并被開方數相同的二次根式，把系數相加減，根指數和被開方數不變.方法及整式加減運算中的合并同類項類似，例如.二次根式的系數是帶分數的要化成假分數的形式.9、 二次根式的加減法（例9)二次根式的加減法法則：二次根式的加減運算，就是將被開方數相同的項進行合并。為此，首先應將每個二次根式化為最簡二次根式，然后將被開方數相同的最簡二次根式的項進行合并.可簡單地概括為：先化簡

7、，后合并.注意：（1） 二次根式的加減實際上就是合并被開方數相同的二次根式，因此在進行二次根式加減時，能否準確化簡二次根式是關鍵.化成最簡二次根式后，被開方數不同的二次根式不能合并，如就是最簡結果，不能再合并.（2） 二次根式的加法也滿足加法交換律和結合律.10、 二次根式的混合運算（1） 運算順序：及數、整式和分式的混合運算一樣，二次根式的混合運算，也應先算乘除，后算加減；有括號時，先算括號內的.（2） 二次根式混合運算的結果應寫為最簡形式，這個形式可以是最簡二次根式，也可以是幾個非同類最簡二次根式的和或差.（3） 在運算過程中，每個二次根式都可以看成是一個“單項式”，因此實數運算中的運算律

8、（結合律、交換律、分配律等）和所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等）在二次根式的運算中仍然適用.三、例題講解 1、下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？（1） ；（2）；（3） （4）2、 化簡：（1）；（2）；（3）；（4）3、 化簡：（1）；（2）4、 化簡：（1）；（2）5、 化簡6、 計算：（1）；（2）；（3）；（4）7、 把下列各式分母有理化：（1） ；（2）.8、 合并被開方數相同的二次根式：（1） ； （2）9、 （1）；（2)10、 （1）（ （2）4、 中考鏈接1、 若實數滿足，則_2、 計算=_3、 計算_4、 計算_5、 計算：_6、 _7、 _8、先化簡，再求值：，其中9、計算：（1) (2)10、計算：（1） （2）5、 鞏固提高1、化簡的結果是（ )A.10 B.2 C. D.202、計算_3、計算_4、計算_5、計算：_6、計算：_7、計算_8、計算：（1）（2）9、（岳陽）下列二次根式中屬于最簡二次根式的是（ ）A B C D10、如果，那么（ ）Ax0 Bx6 C0