高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二三角恒等變換與解三角形

1、-1-第2講三角恒等變換與解三角形利用三角恒等變換化簡、求值核心提煉1 .兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(a,=sinacos。土cosasin6；(2)cos(a土,=cosacos。?sinasintanatan3(3)tan(af)=:廠.1 ?tanatan&2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2a=2sinacosa;(2)cos2a=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2a2tana(3)tan2a=-.1-tan2a典型例題即3；cos即.3sin所以sin=sin所以sin兀+6=45,例1(1)已知cos0-+sine=華,則5si

2、n9C.D.4,35若sin2a=普,sin(6a)=0,且7t4兀，學(xué)，則a+3的值是(A7K9_2B.4C.?；蛄睢窘馕觥?、-兀.(1)因?yàn)閏os0+sin所以23cosA3A&e+2sine=號(hào)，4.5.故選C.-2-，一一兀-一.一兀，所以22，2兀，又sin2a(2)因?yàn)?3-4,亍，所以cos2a=一誓.又3cos(3一由=一10,所以cos(a+。)=cos2a+(3-a)=cos2航cos(阡由sin2asin(331F-平*欒=乎且好匹苓2冗【答案】(1)C(2)A三角函數(shù)恒等變換“四大策略”常值代換：特別是1”的代換，1=sin2。+cos2。=tan45等；項(xiàng)的

3、分拆與角的配湊：如sin2a+2cos2a=(sin2a+cos2a)+cos2a,(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化：一般是切化弦.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2019杭州市高三模擬)函數(shù)f(x)=3sinxcos|+4cos2x(xR)的最大值等于()A.B.C.D.解析：選B.因?yàn)閒(x)=3sinxcos鄉(xiāng)+4cos2x=3sinx+2cosx+2=5Isinx+cosx+222555=2sin(x+4)+2,其中sin(j)=4,cos忙f，所以函數(shù)f(x)的最大值為|.a.a._.一.一 5.，一2.(2019浙江五校聯(lián)考)已知3tan+tan2=1,sin。

4、=3sin(2a+疆則tan(a+。)=()44A.3B-3八2-C.3D.3解析：選B.因?yàn)閟in(3=3sin(2(x+趴所以sin(x+一o=3sin(x+6)+a,-4-5-所以sin(a+砰cosacos(a+6)sina=3sin(a+砰cosa+3cos(a+6)sina，所以2sin(a+,cosa=4cos(a+,sina,eex/,nxsin(a+食4sina所以tan(a+=2tan也,cos(a+護(hù)2cosa又因?yàn)?tan-+tan2=1,所以3tan-=1-tan2萬,a所以tana=W，所以tan(a+=2tana=?1t2a331 +tanx7tsinxcosxV

5、41兩邊平方礙:sin2x+2sinxcosx+coSx=;4一13即1+sin2x=-，貝Usin2x=,sinx1+_,1+tanxcosx百二一sinxcosx42sinx(cosx+sinx)2222；28.2_sin2x33.43/）考點(diǎn)2利用正、余弦定理解三角形核心提煉1.正弦定理及其變形在ABC中，一土=一=一土=2R（RABC的外接圓半徑）.變形：a=2RsinA,sinsinAsinBsinCA=,a:b:c=sinA:sinB:sinC等.2R3.（2019寧波諾丁漢大學(xué)附中高三期中檢測(cè)1)右sin(兀+x)+cos(兀+x)=貝Usin2x=解析:sin(兀+x)+cos

6、(兀+x)=sinxcosx=12即sin x+cosx=12,sinxcosx.3答案：一3-6-2.余弦定理及其變形-7-在ABC中，a2=b2+c22bccosA;b2+c2-a2cosA=2bc3.三角形面積公式-111.SAABC=2absinC=bcsinA=2acsinB.典型例題例 2】(1)(2018高考浙江卷)在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=,C1c取BC的中點(diǎn)D,貝UCA-CB=|DA|=2.在ADC中，AD2=AC2+CD22ACCDcosC,所以ab=2bc2bc9當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào),故cosA的最小值為7.9當(dāng)A=m時(shí)，可得m=sinB+

7、sinC,32+,2J2.3故m=sinB+-sinC=sinB+半in號(hào)一B33323.2.3.31=3sinB+32cosB+2sinB2、333 sinB+cosB+3sinB=V3sinB+cosB=2sinB+,因?yàn)锽E0,271所以B+65兀，6所以TtsinB+-12-解析：選B.設(shè)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,因?yàn)锳C-AB=|AC-AB|=3,所以bccosA=a=3.又cosA=52a21-e=1-y,2bc2bc2.2所以cosA5,所以0sinA血,5所以ABC的面積S=1bcsinA=3tanA2ab,因此在解三角形中，若涉及已知條件中含邊長之間的關(guān)系，且與面積有關(guān)的

8、最值問題，一般利用1,八S2absinC型面積公式及基本不等式求解，有時(shí)也用到三角函數(shù)的有界性.求三角形中范圍問題的常見類型求三角形某邊的取值范圍.求三角形一個(gè)內(nèi)角的取值范圍，或者一個(gè)內(nèi)角的正弦、余弦的取值范圍.求與已知有關(guān)的參數(shù)的范圍或最值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練.點(diǎn)廠2一.一一,1.在ABC中，ACAB=|ACAB|=3,則ABC面積的最大值為(3214A.,21B：1C.2D.3.21B.2D.2+2-13-1_1解析：選C.根據(jù)題息，有，ABC=泌2=bcsinA,c應(yīng)用余弦TE理，可礙b2+c22bccosA=2bcsinA，令t=于是t2+12tcosA=2tsinA.于b是2tsinA+2tc

9、osA=t2+1,所以22sinA+=t+，從而t+136,當(dāng)且僅當(dāng)tan0=艘時(shí)等號(hào)成立，即MP2+sin9costan2MQ2的最小值為36.9.已知2cos2x+sin2x=Asin(3x+(j)+b(A0),貝UA=,b=.解析：由于2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=V2sin(2x+-4)+1,所以A=戒，b=1.答案：.21.一 4 一一三JL10.若0,2,cos4-a所以m=tanA,=2,故選D.+cos2=2/2cos2a,則sin2a-18-所以cosa+sina=0或cosa-sina由cosa+sina=0得tana=1,因?yàn)殚L0,所以cosa+s

10、ina=0不滿足條件；由cosasina=,兩邊平方得1sin2a=,416.15所以sin2a=16,15答案:籍11.(2019金麗衢十二校聯(lián)考二模)在左ABC中， 內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,acosB=bcosA,4蕓2a2c2,其中，是/ABC的面積，貝UC的大小為.解析：ABC中，acosB=bcosA,所以sinAcosB=sinBcosA,所以sinAcosBcosAsinB=sin(AB)=0,所以A=B,所以a=b;1又ABC的面積為S=absinC,且4S=2a2c2,所以2absinC=2a2c2=a2+b2c2,a2+b2c2所以sinC=cosC,2ab

11、丸所以C=.4,兀答案：丁412.(2019紹興市一中高三期末檢測(cè))ABC中，D為線段BC的中點(diǎn)，AB=2AC=2,tan/CAD=sin/BAC，貝UBC=.解析：由正弦定理可知sin/CAD=2，又tanZCAD=sin/BAC，則sin/CAD=sin(ZCADsinZBADcosZCAD+/BAD),利用三角恒等變形可化為解析:2由已知礙2(cosa+sina)=2寸2(cosasina)(cosa+sina),-19-1cosZBAC=2，據(jù)余弦7E理BC=4AC2+AB22ACABcosZBAC=廿 1+42=3.答案：.313. (2019惠州第一次調(diào)研)已知a,b,c是ABC中角A,B,C的對(duì)邊，a=4,b(4,6),sin2A=sinC,貝Uc的取值范圍為.c一4c.一一一一解析：由贏！=侍慕！=疝A所以c=8cosA，因?yàn)?6=b2+c2-2bccosA，所-20-2以16b2=64cos2_16bcos2A，又b乒4,所以cos2A=64:16b=16(4b)=W4+b所以c2=64cos2A=64X言=16+4b.因?yàn)閎(4,6),所以32c240,所以4/2c/3sinBcosC=sinBcos2-B3=