2015屆高三數(shù)學(xué)上冊(cè)期中調(diào)研檢測(cè)試題3

1、2014-2015學(xué)年度第一學(xué)期高三級(jí)理科數(shù)期中考試試卷【試卷綜述】本試卷試題主要注重基本知識(shí)、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測(cè)評(píng)學(xué)生，有利于學(xué)生自我評(píng)價(jià)，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時(shí)對(duì)觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查?！绢}文】第一部分選擇題(共40分)【題文】一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）【題文】1若集合，且，則集合可能是（ ） A B C D 【知識(shí)點(diǎn)】交集的運(yùn)

2、算.A1【答案】【解析】A 解析：因?yàn)?，所以B是A的子集，所以集合可能是1,2，故選A?！舅悸伏c(diǎn)撥】先由已知條件得到B,再結(jié)合交集的定義即可?！绢}文】2下列說法正確的是（ ）A命題“若x21，則x1”的否命題為“若x21，則x1”B命題“x0，x2x10”的否定是“x00，xx010”C命題“若xy，則sin xsin y”的逆否命題為假命題D若“”為真命題，則p，q中至少有一個(gè)為真命題【知識(shí)點(diǎn)】命題真假的判斷.A2【答案】【解析】D 解析：命題“若x21，則x1”的否命題為“若，則x1”，故A錯(cuò)誤；命題“”的否定是“x0 0，xx01 0”，故B錯(cuò)誤；命題“若xy，則sin xsin y”為

3、真命題，所以它的逆否命題為真命題，故C錯(cuò)誤；若“”為真命題，則p，q中至少有一個(gè)為真命題，故D正確；故選D。【思路點(diǎn)撥】利用命題間的關(guān)系依次判斷即可?！绢}文】3已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，為其前n項(xiàng)和.若，則=（ ）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的性質(zhì).D2【答案】【解析】B 解析：因?yàn)?，所以，即，代入可解?20，故選B?！舅悸伏c(diǎn)撥】先利用，解出，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出?！绢}文】4將正方形（如圖1所示）截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為（ ） 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖.G2【答案】【解析】B 解析：由題意可知幾何體前面在右側(cè)的射影為線段

4、，上面的射影也是線段，后面與底面的射影都是線段，輪廓是正方形，AD1在右側(cè)的射影是正方形的對(duì)角線，B1C在右側(cè)的射影也是對(duì)角線是虛線故選B【思路點(diǎn)撥】直接利用三視圖的畫法，畫出幾何體的左視圖即可【題文】5在中，已知,則的面積是（ ）A B C或 D 【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理；三角形面積公式.C8【答案】【解析】C 解析：根據(jù)正弦定理：,即，解得或，則或，所以=或，故選C。【思路點(diǎn)撥】先利用正弦定理求出C,再得到A，然后利用三角形面積公式求出面積即可?！绢}文】6設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（ ）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；兩直線垂直的充要條件.B11 H2【答案】【解析】D 解析：因?yàn)?/p>

5、，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，又因?yàn)榍芯€與直線垂直，所以，解得，故選D?！舅悸伏c(diǎn)撥】先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，求出斜率，再結(jié)合兩直線垂直的充要條件可求得a的值?！绢}文】7在中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，則（ ）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的線性運(yùn)算.F1【答案】【解析】B 解析：根據(jù)題意畫出圖形如下：,即，解得，則，故選B?！舅悸伏c(diǎn)撥】先利用平行四邊形法則求出向量，再利用可得結(jié)果?！绢}文】8已知函數(shù),把函數(shù)的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A B CD 【知識(shí)點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式B9 D2【答案】【解析】B 解析：當(dāng)x（-，0時(shí)，由g（

6、x）=f（x）-x=2x-1-x=0，得2x=x+1令y=2x，y=x+1在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（-，0上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（0，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=0當(dāng)x（0，1時(shí)，x-1（-1，0，f（x）=f（x-1）+1=2x-1-1+1=2x-1，由g（x）=f（x）-x=2x-1-x=0，得2x-1=x令y=2x-1，y=x在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（0，1上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（1，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=1當(dāng)x（1，2時(shí)，x-1（0，1，f（x）=f（x-1）+1=2x-1-1+1=2x-2+1，由g（x）=f（x）-x=2x-2+1-x=0，得2x-2=

7、x-1令y=2x-2，y=x-1在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（1，2上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（2，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=2依此類推，當(dāng)x（2，3，x（3，4，x（n，n+1時(shí)，構(gòu)造的兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)依次為（3，1），（4，1），（n+1，1），得對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)分別為x=3，x=4，x=n+1故所有的零點(diǎn)從小到大依次排列為0，1，2，n+1其對(duì)應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=n-1故選B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義，構(gòu)造兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)，再通過數(shù)列及通項(xiàng)公式的概念得所求的解【題文】第二部分非選擇題(共 110分)【題文】二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共

8、30分）（一）必做題（9 13題）【題文】9已知復(fù)數(shù)（其中，是虛數(shù)單位），則的值為 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的條件.L4【答案】【解析】2 解析：=，所以，則，故答案為2.【思路點(diǎn)撥】先利用復(fù)數(shù)相等的條件求出，再得到即可?！绢}文】10若，則常數(shù)T的值為_【知識(shí)點(diǎn)】定積分.B13【答案】【解析】3 解析：因?yàn)椋獾?，故答案?.【思路點(diǎn)撥】 先由題意得到,再解出T的值即可?！绢}文】11設(shè)滿足約束條件,則的最大值是 【知識(shí)點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃E5【答案】【解析】5 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示做直線L：2x+y=0，然后把直線L向可行域平移，結(jié)合圖象可知當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z最大，由可得A（2，1

9、），即當(dāng)x=2，y=1時(shí)，zmax=5故答案為：5【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域內(nèi)直線在y軸上的截距最大值即可【題文】12已知的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)比為56：3， 則 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)I3【答案】【解析】10 解析：根據(jù)題意，的展開式為，又有其展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)比為56：3，可得，即，解可得，故答案為10.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，首先寫出的展開式，進(jìn)而根據(jù)其展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)比為56：3，可得，化簡并解可得n的值?！绢}文】13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為橢圓

10、E ：的左頂點(diǎn)，B、C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且OAB30°，則橢圓E的離心率等于 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)H5【答案】【解析】 解析：AO是與X軸重合的，且四邊形OABC為平行四邊形，BCOA，B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，B、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對(duì)稱的由題知：OA=a，四邊形OABC為平行四邊形，所以BC=OA=a可設(shè)代入橢圓方程解得：設(shè)D為橢圓的右頂點(diǎn)，因?yàn)镺AB=30°，四邊形OABC為平行四邊形，所以COD=30°對(duì)C點(diǎn)：，解得：a=3b，根據(jù)：得：，故答案為：【思路點(diǎn)撥】首先利用橢圓的對(duì)稱性和OABC為平行四邊形，可以得

11、出B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對(duì)稱，進(jìn)而得到BC=OA=a；設(shè)，從而求出|y|，然后由OAB=COD=30°，利用，求得a=3b，最后根據(jù)得出離心率【題文】（二）選做題（14 15題，考生只能從中選做一題）【題文】14在極坐標(biāo)系中,曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為_【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；兩點(diǎn)間的距離公式N3【答案】【解析】 解析：由得，代入得，解得或（舍），所以曲線與的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為，故答案為：【思路點(diǎn)撥】聯(lián)立與消掉即可求得，即為答案【題文】15如圖,已知圓中兩條弦與相交于點(diǎn),是延長線上一點(diǎn),且,若與圓相切, 則線段的長為 【知識(shí)點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；圓的切線的性質(zhì)定理的

12、證明N1【答案】【解析】 解析：，可設(shè)AF=4k，BF=2k，BE=k0由相交弦定理可得：，解得,根據(jù)切割線定理可得：，解得故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用相交弦定理和切割線定理即可得出【題文】三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）【題文】16（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）用五點(diǎn)作圖法列表，作出函數(shù)在上的圖象簡圖（）若，求的值【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式；函數(shù)的圖像及性質(zhì).C4 C5 C6 C7【答案】【解析】（）見解析；（） 解析：（）= （）【思路點(diǎn)撥】（）先利用三角公式對(duì)原函數(shù)化簡，然后列表再化出圖像；（）先由原函數(shù)求出，再利用二倍角公式結(jié)合兩角差的正弦公式

13、即可?！绢}文】17（本小題滿分14分）在三棱柱ABCA1B1C1中，已知，在底面的射影是線段的中點(diǎn)（）證明：在側(cè)棱上存在一點(diǎn)，使得平面，并求出的長；（II）求二面角的余弦值【知識(shí)點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定G5 G11【答案】【解析】（）見解析；（） 解析：()證明:連接AO,再中,作于點(diǎn)E,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以,所以，又得.()如圖,分別以O(shè)A,OB, 所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,由,得點(diǎn)E的坐標(biāo)是,由()知平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量是,由得可取,所以.【思路點(diǎn)撥】()連接AO，在AOA1中，作OEAA1于點(diǎn)E，則E為所求可以證出OEBB1

14、，BCOE而得以證明在RT中，利用直角三角形射影定理得出EO()如圖，分別以O(shè)A，OB，OA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A1B1C的法向量是，利用夾角求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值【題文】18（本小題滿分14分）袋中裝著標(biāo)有數(shù)學(xué)1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：（）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；（）隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望；【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差K4 K5 K6【答案】【解析】（）；（） 解析

15、：() 一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A,一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同的事件記為B，則事件A和B是對(duì)立事件。, 答：一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率為.5分（2）由題意, 所以隨機(jī)變量的概率分布列為2345P14分【思路點(diǎn)撥】（）根據(jù)題意，一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A，一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同的事件記為B，易得事件A和事件B是互斥事件，易得事件B的概率，由互斥事件的意義，可得答案，（）由題意有可能的取值為：2，3，4，5，分別計(jì)算其取不同數(shù)值時(shí)的概率，列出分步列，進(jìn)而計(jì)算可得答案【題文】19（本小題滿分12分）已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中

16、（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）設(shè)，求（）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性；數(shù)列的求和D1 D4【答案】【解析】（）見解析；（）（） 解析：（）由已知， ，兩邊取對(duì)數(shù)得，即 是公比為2的等比數(shù)列.（）由（）知（1）=（）由（1）式得 又 【思路點(diǎn)撥】（）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，兩邊同加1后取常用對(duì)數(shù)可得數(shù)列bn的遞推式，由等比數(shù)列的定義可得結(jié)論；（）由（）求出bn，進(jìn)而得到cn，利用錯(cuò)位相減法可得Sn；（）由，得，取倒數(shù)可得到，由此可求得an+1；【題文】20（本小題滿分13分）已知橢圓 的離心率為，過的左焦點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為.（）求橢圓的方程；（）設(shè)的右焦點(diǎn)為，在

17、圓上是否存在點(diǎn)，滿足,若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）;若不存在，說明理由.【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程H5 H8【答案】【解析】（）；（）圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足 解析：（1）因?yàn)橹本€的方程為，令，得，即 1分 ，又， ， 橢圓的方程為.分（2）存在點(diǎn)P，滿足 圓心到直線的距離為，又直線被圓截得的弦長為，由垂徑定理得，故圓的方程為.分設(shè)圓上存在點(diǎn)，滿足即，且的坐標(biāo)為，則， 整理得，它表示圓心在，半徑是的圓。 分故有，即圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)。圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)，滿足.分【思路點(diǎn)撥】（）由a2=b2+c2，及F1的坐標(biāo)滿足直線l的方程，聯(lián)立此三個(gè)方程，即得a2，b2，從而得橢圓方程；（）根據(jù)弦長，利用垂徑定理與勾股定理得方程，可求得圓的半徑r，從而確定圓的方程，再由條件，將點(diǎn)P滿足的關(guān)系式列出，通過此關(guān)系式與已知圓C2的方程聯(lián)系，再探求點(diǎn)P的存在性【題文】21（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù).（）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；（）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)一切恒成立；（）若，且為常數(shù)，求證：的極小值是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用B12【答案】【解析】（）函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，證明