《因式分解》全章復(fù)習(xí)與鞏固知識(shí)講解

1、因式分解全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）撰稿：康紅梅責(zé)編：李愛國(guó)1. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算；掌握提公因式法和公式法（直接運(yùn)用公式不超過(guò)兩次）這兩種分解因式的基本方法；了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】卜|提公因式L平方差公式公式法因式分解IJi完全平方公式十字相乘法一|分組分解法【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.要點(diǎn)二、提公因式法1. 把

2、多項(xiàng)式ma+mb+rn分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式m，另一個(gè)因式是（G+b+c）,gpma+mb+mc=m-（a+b+c'），而（G+b+d）正好是ma+mb+m:除以m所得的商，提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律要點(diǎn)三、公式法平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：222. ab=abab完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方.即a2+2ab+b2=（a+b）2,a22ab+b2=（a-b）2.形如a2+2ab+b2,a22ab+b2的式子叫做完全平方式.要點(diǎn)詮釋：（1）平方差公式的特點(diǎn)：

3、左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.要點(diǎn)四、十字相乘法和分組分解法十字相乘法利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法，一，2pq=c2.對(duì)于二次二項(xiàng)式x十bx+c,右存在Jb，貝x+bx+c=（x十pj（x+q）分組分解法對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即

4、把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解一一分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.要點(diǎn)五、因式分解的一般步驟因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法，添、拆項(xiàng)法等.因式分解步驟(1) 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；(2) 如果各項(xiàng)沒有公因式那就嘗試用公式法；(3) 如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解.(4) 結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止.【典型例題】類型一、提公因式法分解因式1、分解因式：_2.2_2一.2abc+8ac-4abc；32(2)m(m+n)+m(m+n)m(m+n)(mn).【答案與

5、解析】解：(1)2a2bc2+8ac2-4acb=2ac(abc+4c-2b).32(2)m(mn)m(mn)m(mn)(mn)2=m(mn)(mn)(mn)(mn),、，2_2=m(mn)(m2mnn2n).【總結(jié)升華】在提取公因式時(shí)要注意提取后各項(xiàng)字母，指數(shù)的變化，另外分解要徹底，特別是因式中含有多項(xiàng)式的一定要檢驗(yàn)是否能再分，分解因式后可逆過(guò)來(lái)用整式乘法驗(yàn)證其正確與否.2、利用分解因式證明：25'512能被120整除.27【思路點(diǎn)撥】25=5,進(jìn)而把25整理成底數(shù)為5的藉的形式，然后提取公因式并整理為含有120的因數(shù)即可.【答案與解析】證明：257512=(52j512=514一5

6、12=51252-1=51224_11_-=5524=511120-257-512能被120整除.【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵是用因式分解法把所給式子整理為含有120的因數(shù)相乘的形式.類型二、公式法分解因式3、放學(xué)時(shí)，王老師布置了一道分解因式題：(x+yf+4(x-y)2-4(x2-y2),小明思考了半天，沒有答案，就打電話給小華，小華在電話里講了一句，小明就恍然大悟了，你知道小華說(shuō)了句什么話嗎？小明是怎樣分解因式的.【思路點(diǎn)撥】把(x+y)、(x-y)分別看做一個(gè)整體，再運(yùn)用完全平方公式解答.【答案與解析】解：把(x+y卜(x-y侑作完全平方式里的a,b；原式=(x+y)2+2(x_yJzaC

7、x+yXx_y)=(X+y)_2(x_y仔2=(3y_X).【總結(jié)升華】本題主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把(x+y)、(x-y)看作完全平方式里的a,b是解題的關(guān)鍵.舉一反三：2_2_【變式】下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x-4x+2)(x4x+6)+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程.解：設(shè)x2-4x=y原式=(y+2/y+6)+4(第一步)2=y+8y+16(第二步)2,=(y+4)(第三步),2.八2=(x-4x+4)(第四步)回答下列問(wèn)題：(1) 該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的().A、提取公因式B.平方差公式C、兩數(shù)和的完全平方公式D.兩數(shù)差的完全平方公式該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底.(填

8、“徹底”或“不徹底”)若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果.(2) 請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(x2-2xJ(x2-2x+2)+1進(jìn)行因式分解.【答案與解析】解：(1)運(yùn)用了C,兩數(shù)和的完全平方公式；24(2) x-4x+4還可以分解，分解不徹底；結(jié)果為(x-2).(3) 設(shè)x2-2x=y.22x-2xx-2x21=yy21,2=y2y1,2=y12,=(x2-2x1)2,.4=01)、計(jì)算：(1-4)(1-)(1-)(1)(1)1 20062 20052232422004220052【思路點(diǎn)撥】先把括號(hào)里的式子通分，再把分子分解因式，利用乘法約分即可剩下【答案與解析】解：(1)(1)(1

9、)"(12)(12)223242200422005220052-120052.2222-1|3-142-12341 20061003x=20052005【總結(jié)升華】本題既考查了對(duì)因式分解方法的掌握,又考查了代數(shù)式求值的方法，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)算和分解.舉一反三：2.2_2_2.2_.2一【變式】設(shè)a=3-1,a?=5-3，a”=(2n+1)(2nT)(n為大于0的自然數(shù)).(1)探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語(yǔ)言表述你所獲得的結(jié)論；(2)若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”.試找出a1,a2,，an,這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并指出當(dāng)n滿足什

10、么條件時(shí)，an為完全平方數(shù)(不必說(shuō)明理由)22cc解：(1)a”=(2n+1)(2n1)=4n2+4n+14n2+4n1=8n,又n為非零的自然數(shù)，an是8的倍數(shù).這個(gè)結(jié)論用文字語(yǔ)言表述為：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)(2)這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)為16,64,144,256.(2) n為一個(gè)完全平方數(shù)的2倍時(shí)，為為完全平方數(shù)類型三、十字相乘法和分組分解法分解因式5、分解因式：(1)(x22j(x22)2(x2+4x2-x2-4x-204a2-4ab+b2-6a+3b-4【答案與解析】解：(1)原式=(x2_2_2Xx2_2+1)=(x+2Xx_2Xx+1Xx-1)原式=(x

11、2+4x)-(x2+4x)-20=(x2+4x_5Xx2+4x+4)2=x5x1x2(2) 原式=(2a-b,-3(2a-b)-4=(2a-b-4J(2a-b+1)【總結(jié)升華】做題之前要仔細(xì)觀察，注意從整體的角度看待問(wèn)題舉一反三：_、_.765【變式】下列何者是22x83x+21x的因式？()A.2x+3B.x2(11x-7)C.x5(11x-3)D.x6(2x+7)【答案】C;解：22x7-83x6+21x5=x5(22x2-83x+21)=x5(11x-3)(2x-7),一，2,則x(11x7)是多項(xiàng)式的一個(gè)因式.C6、已知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為300厘米，兩鄰邊分別為x厘米、y厘米，且x3+x2y

12、-4xy2-4y3=0,求長(zhǎng)方形的面積.3223【思路點(diǎn)撥】把x+xy4xy-4y=0化簡(jiǎn)成(x+yjx+2yjx2y),可得x=2y,由題意可得x+y=150，解方程組«x2y即可.xy=150【答案與解析】解：x3+x2y-4xy2-4y3=02一2x(x+y)4y(x+y)=0(x+yjx+2y)(x_2y)=0x=2y,x=y,x=2y(不合題意，舍去)又由題意可得xy=150x=2y解方程組ixy=150解之得，x=100,y=50長(zhǎng)方形的面積=100x50=5000平方厘米.【總結(jié)升華】本題是因式分解在學(xué)科內(nèi)的綜合運(yùn)用，主要考查了分組分解法，提取公因式法和運(yùn)用平方差公式法.舉一反三：【變式】因式分解：1-4