數(shù)列通項(xiàng)公式用求法及構(gòu)造法

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的常用求法構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式一、構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推 公式變形成為f(n+1) f(n)=A (其中A為常數(shù))形式，根據(jù)等差數(shù)列的定義知f(n)是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出 f(n)的通項(xiàng)公式，再根據(jù)f(n)與an,從而求出an的通項(xiàng)公式。例1在數(shù)列an中，a1 = - , an41 = 3a ( n w N +)求數(shù)歹U an通項(xiàng)公式.2an 33an解析：由an41- an 43住P,an+1On=3an+13On=0 ,兩邊同除以ah+1On住P,an 1 an 3 ，設(shè)bn=/,則bn+1-

2、 bn=3 ,根據(jù)等差數(shù)列的定義知， an3數(shù)列bn是首項(xiàng)b1=2,公差d=的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得bn=2+ i (n-1) =1n+1 333數(shù)列通項(xiàng)公式為an= n5CC 2例2在數(shù)列 ch中，Sn是其前n項(xiàng)和，且SnW0, a1=1, an=7Sn； (n>2),求Sn與an2 ,一20 2解析：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1代入& =纂得，Sn-Sn-仔矣，變形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1?兩邊除以SnSn-1得，J-白=2,. / 是首相為1,公 2n 2n _12n差為2的等差數(shù)列.七=1+2 (n-1) =2n-1, . Sn= 2h(n>

3、;2),n=1 也適合，.二 Sn=in(n>1)當(dāng) n)2 時(shí)，ai=Sn-Sn-1=21-21：3 =- 2_2 0，n=1 不滿足此式，2n t 2n y 4n2 _8n 31 n =14n2 -8n 3n -2 - a1=_2、構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用乘、除、去分母、添項(xiàng)、去項(xiàng)、取對(duì)數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推公 式變形成為f (n+1) =Af (n)(其中A為非零常數(shù))形式，根據(jù)等比數(shù)列的定義知f(n)是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，先求出f(n)的通項(xiàng)公式，再根據(jù)f(n)與a。，從而求出an的通項(xiàng)公式。例3在數(shù)列an中，ai=2, an=an-i2(n>2),

4、求數(shù)列an通項(xiàng)公式。解析：= ai=2, an=an-i2(n>2)>0,兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，lg an=2lg an-i.繪=2,根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列 lg an是首相為lg2,公比為n i2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得lg an=2n-ilg2= lg22n i 數(shù)列通項(xiàng)公式為an=22 一評(píng)析：本例通過兩邊取對(duì)數(shù)，變形成logan =2logan形式，構(gòu)造等比數(shù)列og an,先求出log an的通項(xiàng)公式，從而求出an的通項(xiàng)公式。例4在數(shù)列an中，ai=i, an+i=4an+3n+i,求數(shù)列an通項(xiàng)公式。解析：設(shè)an+i+A (n+i) +B=4 (an+An+B

5、), (A、B為待定系數(shù))，展開得 3A=3 A =i3B - A =ia+i=4an+3An+3B-A ,與已知比較系數(shù)得.2 '-an+i+ (n+i) +2=4 (an+n+f ),根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列 ai+n+l 是首項(xiàng)為|,公比為q=3的等比數(shù)列，. an+n+f = -8- x 33333n-i 數(shù)列通項(xiàng)公式為an= 1- X3n-i-n- 1例5在數(shù)列an中，ai=i , an+ian=4n ,求數(shù)列 an通項(xiàng)公式。解析：an+ian=4nanan-i=4 ni兩式相除得手 =4 ,n i_ '-ai,a3,a=與 a 2,a 4, a6 是首相分別為ai

6、,a 2,公比都是 4的等比數(shù)列，又,ai=i, an+ian=4n ,a2=44 2, , a!=n42等差等比混合構(gòu)造法i anan4數(shù)列有形如f(an，an*anan=)=0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以 ，先求出13,再求得a an例6.設(shè)數(shù)列an滿足a1 = 2, aan、(n w N),求 an.an 31 .一解：原條件變形為an書,an +3 an+ =an.兩邊同乘以，得an an 1113 anan 1, 11. 3(，+!)an211113-,.-=3an 12a n22.a =2 3nl -1四、輔助數(shù)列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列，但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出一個(gè)

7、新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，從而利用這個(gè)數(shù)列求其通項(xiàng)公式。例 7.在數(shù)列an 中，a1 = 1 , a2 = 2 , an 也21斛析： 在 an2 = - an書+-an兩邊減去 an書,33 an書-an ）是以a2-a1 =1為首項(xiàng)，以21 小= §an書 +3an ,求 an。得 an 2 - an 1 = _ (an 1 - an)31 -1為公比的等比數(shù)歹I,3an書-an =(-1)1,由累加法得3an=(an -an) 缸an/) (a2 -a1) a1= (1)2 +(1)2 +(1) +1 +1 = 33313= -1 _(一尸17_3(廣4 43練習(xí)*1、在數(shù)列

8、an中，a1二1, an+1=3an+2n (nN*),求數(shù)列 an通項(xiàng)公式 解：由 an+1=3an+2n (nCN*)得，an+1+2n+1=3 (an+2n) (nCN*),設(shè)bn= an+2n貝 bn+1=3bn,甘=3,根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列bn是首相b1=3,公比為q=3的等比數(shù)歹！J, 根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得bn=3n,即an+2n=3n,數(shù)列通項(xiàng)公式為an=3n-2n 注意：2n+1-2n=2n2、在數(shù)歹U an中，a1 =1 , an書=an -2n +3 ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：、由an噂=an -2n+3得，(an書+2n*)-(an +2n) = 3 ,根據(jù)等差數(shù)列

9、的定義知，數(shù)列a。+2n是首項(xiàng)為3,公差為3的等差數(shù)列，所以an +2n =3n ,所以 an =3n -2n3、已知數(shù)列an滿足 a1 =2 , an+=nan ,求an3n 1解：由條件知 亙土 =,分別令n = 1,2,3,.,；(n1),代入上式得(n1)個(gè) ann 1等式累乘之，即絲.曳包,亙-2 3:：心=包=工a1a2 a3an12 3 4na1n2 2又.a1 = 一，二 an =3 3n4 .數(shù)列a n滿足a1=1, an=；an+1 (n>2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：由 an = an,+1 (n>2)得 an 2= (an, 2),而 a1 2=1 2=

10、1,221數(shù)列 an2是以 n 4為公比，一1為首項(xiàng)的等比數(shù)列an -2=- (-) 2；an=2 (-) n225.數(shù)列如中，a =1但=2,3an-2 =2an書+an,求數(shù)列Q 的通項(xiàng)公式。2_1 -斛.由 3an 七2an 書 +an 行 anH2 - an 由an,設(shè) an 七一kan 七 一 h（an+ kan ）332 1 . 一1 .1比較系數(shù)得 k+h=-,-kh=-,解得 k=1,h =-一或k = 一一，h = 13 33311右取 k =1,h =一 ,則有 an七an+ = q（an由-an）33I -1.二*川是以-3為公比，以a-L, , an 1 - an -（

11、 - 2） -1為首項(xiàng)的等比數(shù)列由逐差法可得 an = (an - an j) - (an1 - an j) -，(a2 -a1), a1«1廣，曠一（42«3）+i+11-(-1廣31 131 = 3 1 一(一1尸14_3；7 3 （仆二一一 （一一）4 43對(duì)于任意正整數(shù)n,都有等式:6.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,an2+2an =4Sn成立，求Qn 的通項(xiàng)an.斛：an *2an =4Sn = an + 2an= 4Sn J , 22an -and 2an -2and-4(Sn -SnJ)- 4an即an是以2為公差(an+an)(an-anj.-

12、2)=0, - an+an#。， an an j = 2 .的等差數(shù)列，且a12 2a1 = 4a1 = a1 =2.an =2 2（n -1） =2n7 .設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且a2 a：nannan= 0, （nCN*）,求數(shù) 列的通項(xiàng)公式an.解：由題設(shè)得（an an）（an -an-n）=。.an >0 ， an a >0 ，an +an>0.an =a1 (aLa1) (a3-a2)(an-anA1 2 3 n二中8 .數(shù)列&n中，ai =1 ,前n項(xiàng)的和Sn = n2an,求an書. 2解：a"Sn -Sn, =n2an -(n-1)2a

13、n：(n2-1)an =(n-1)2an一.J_nz1 r 一 ) ann 1anan.a2 a n -1 n-2. 111 an - ai 二二一 -anan 2a1n 1 n 3 2 n(n 1)1, , an i (n 1)(n 2)9.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 弧滿足ai =1 , an =2a2j (n>2).求數(shù)列a的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對(duì)數(shù)得：log2n =l+2logan log；n+ 1 = 2(log 片十 1),設(shè) bn = logan+1,則 bn =2bn4In是以2為公比的等比數(shù)列,bi nogl + in.bn =1父2n=2n，logan+1=2n=，logan=2nq

14、_1,. _02n an =2總結(jié)而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。遞推式一般為：am = pan + f (n); an = pan+qn(1)通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列an+k的形式求解。一般地，形如an=pan+q (pwl, pqw。)型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè) an書+k=p (an+k)與原式比較系數(shù)可得pk k=q,即k=-、，從而得等比數(shù)列 an+k。(2)通過分解系數(shù),可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列an -a。的形式求解。這種方法適用于 an七 =pan.+qan型的遞推式，通過對(duì)系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列an-an： 設(shè)an也-kan+ =

15、h(an+ -kan),比較系數(shù)得 h + k = p,hk =q ,可解得 h,k。3、構(gòu)造法構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析， 聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法 的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公 式.(1)構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.(2)構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列

16、相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一種簡(jiǎn)(4)構(gòu)造對(duì)數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對(duì)數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹?jiǎn)單，使問題得以 解決.補(bǔ)充一般方法：一、定義法這種方法適應(yīng)直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法, 于已知數(shù)列類型的題目.例1.等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,且a1, a3, a9成等比數(shù)列,c2S5 =a5.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：設(shè)數(shù)列an公差為d(dA0)2.a1, a3, a9成等比數(shù)列，a3 =a1a9, 22.即(a1 +2d) =a1(a1 +8d),得 d =a1d d #0; a1 =d S5 "d 二 (a124

17、d)2l 5 45a12由得：3 an =53 a1 =53(n -1)5d=353二一 n5二、累加法求形如 an-a n-1=f(n) 通項(xiàng)，可用累加法，即令(f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列)的數(shù)列 n=2, 3, n 1得到n1個(gè)式子累加求得通項(xiàng)。1an 二an例2.已知數(shù)列an中，a1 = 1,對(duì)任意自然數(shù)n都有Mn+D，求an .1一 .一，an an 解：由已知得an J - an/n(n +1),1(n -1)n ,a3 1a2 =3M4 ,1a2 * =2M3 , 以上式子累加，利用n(n +1) n n +1 得111111!- 11_.an- a1 = 23(n

18、-2)(n-1) (n-1)n n(n+1)=2 n + 1,31an三、累乘法咄=f(n)對(duì)形如an的數(shù)列的通項(xiàng)，可用累乘法，即令 n=2, 3, - n-1得到n-1個(gè)式子累乘求得通項(xiàng)。1例3.已知數(shù)列以中，a1 =3 ,前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系是S =n(2n-1)an ,求 通項(xiàng)公式an.解：由 & =n(2n -1)an 得 Sn=(n -1)(2n -3)an J.兩式相減得：(2n+1)an =(2n-3)an, ,an2n -3 2n +1 ,an _2 2n -1ai 5將上面n1個(gè)等式相乘得：an(2n -3)(2n -5)(2n -7)|l|3 1 _3ai -

19、(2n 1)(2n -1)(2n -3)|l|7 5 - (2n 1)(2n -1)1an .(2n 1(2n -1)四、公式法若已知數(shù)列的前 n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)an可用公式Snn =1an = *Sn-SnJn 之2 求解。例4.已知數(shù)列L )的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn = 2an+(-1)n,n>1求數(shù)歹an 的 通項(xiàng)公式；解：由 a1 =s =2a1 1,彳3 a =1.當(dāng) n 上2時(shí)，有 an =Sn-Sn_L =2(an - an,)+ 2 乂(7),an =2七2 (-1廣，an A =2. 2 (-1廣,a2 = 2a1 - 2.a =21al -2n1 (-1) 2n(-1) 川 2 (T尸=2n1 (-1)n(-2)n'(-2尸(-2):*_(_1產(chǎn)-(-2尸 3=，2