二次函數(shù)學案

1、第二十六章 二次函數(shù)第一課時 二次函數(shù)【知識復習】1、函數(shù)定義、一次函數(shù)定義：已知函數(shù)y=(12k)x+k，（1）k= 時，它是一次函數(shù)；（2）k= 時，它是正比例函數(shù)。2、反比例函數(shù)定義：已知函數(shù)是正比例函數(shù),則 m = 已知函數(shù)是反比例函數(shù),則 m = 【新知探究】1、思考：（1）正方形邊長為a（cm），它的面積s（cm2）是多少？（2）矩形的長是4厘米，寬是3厘米，如果將其長與寬都增加x厘米，則面積增加y平方厘米，試寫出y與x的關(guān)系式（3）某公司的生產(chǎn)利潤原來是10萬元，經(jīng)過連續(xù)兩年的增長達到了y萬元，如果每年增長的百分數(shù)都是x，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系請觀察上面列出的式子，s是不是a的函

2、數(shù)？y是不是x的函數(shù)。為什么？如果是函數(shù)，請你結(jié)合學習一次函數(shù)概念的經(jīng)驗，給它下個定義2、定義：形如_的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中_是自變量，a，b，c是_且_03、鞏固：1）、寫出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b，常數(shù)項c（1）y= -2x2 a_，b_，c_（2）y= -2x2 +4x a_，b_，c_（3）y= -2x2 +4x-6 a_，b_，c_2）、把下列二次函數(shù)化成一般式（1）y= （x+3）2 +4（x-1） （2）y= -2（x+3）2 +4【例題分析】例1、m取哪些值時，函數(shù)是以x為自變量的二次函數(shù)？若函數(shù)是以x為自變量的一次函數(shù)，則m取哪些值？例2、寫出下列各函數(shù)關(guān)系

3、，并判斷它們是什么類型的函數(shù)（1）寫出圓的面積y（cm2）與它的周長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系；（2）菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積S（cm2）與一對角線長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系【課堂檢測】1、下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？（1）（2）（3） （4）2、（1）當a 時，關(guān)于x的函數(shù)是二次函數(shù)？（2）當k= 時，函數(shù)為二次函數(shù)？3、寫出下列二次函數(shù)的a，b，c(1)a_，b_，c_(2)ypx2a_，b_，c_(3) a_，b_，c_(4)a_，b_，c_4、正方形鐵片邊長為15cm，在四個角上各剪去一個邊長為x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一個無蓋的盒子(1)求盒子的表面積S

4、（cm2）與小正方形邊長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當小正方形邊長為3cm時，求盒子的表面積5.用一根長為40 cm的鐵絲圍成一個半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間的函數(shù)關(guān)系式這個函數(shù)是二次函數(shù)嗎？請寫出半徑r的取值范圍第二課時 二次函數(shù)yax2的圖象與性質(zhì)【知識復習】一次函數(shù)，反比例函數(shù)的圖象分別是 、 ?！締栴}引入】二次函數(shù)的圖象是什么呢？【新知探究】1、對于函數(shù)，自變量x的取值范圍是什么？2、描點法畫函數(shù)的圖象前，想一想，列表時如何合理選值？以什么數(shù)為中心？當x取互為相反數(shù)的值時，y的值如何？（1）列表：x3210123yx2（2）描點；（3）連線.3、觀察函數(shù)的圖象，

5、你能得出什么結(jié)論？【例題分析】例1在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們有何共同點？有何不同點？（1）（2）共同點：都以 軸為對稱軸，頂點都在 不同點：的圖象開口向 ，頂點是拋物線的最 點，在對稱軸的 邊，曲線自左向右下降；在對稱軸的 邊，曲線自左向右上升的圖象開口向 ，頂點是拋物線的最 點，在對稱軸的左邊，曲線自左向右 ；在對稱軸的右邊，曲線自左向右 例2、已知函數(shù)不畫圖象，回答下列各題(1)開口方向_；(2)對稱軸_；(3)頂點坐標_；(4)當x0時，y隨x的增大而_；(5)當x_時，y0；(6)當x_時，函數(shù)y的最_值是_例3、二次函數(shù)yax2的圖象大致如下，請將圖中拋物線字

6、母的序號填入括號內(nèi)(1)y2x2如圖( )； (2)如圖( )； (3)yx2如圖( )；(4)如圖( )；(5)如圖( )； (6)如圖( )例4、已知正方形周長為Ccm，面積為S cm2（1）求S和C之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象；（2）根據(jù)圖象，求出S=1 cm2時，正方形的周長；（3）根據(jù)圖象，求出C取何值時，S4 cm2 小結(jié)：1、拋物線yax2的性質(zhì)圖象（草圖）開口方向頂點對稱軸有最高或最低點最值a0當x_時，y有最_值，是_a0當x_時，y有最_值，是_2、拋物線yx2與yx2關(guān)于_對稱，因此，拋物線yax2與yax2關(guān)于_對稱，開口大小_3、當a0時，a越大，拋物線的開口越_；

7、當a0時，a 越大，拋物線的開口越_； 因此，a 越大，拋物線的開口越_，反之，a 越小，拋物線的開口越_【課堂檢測】1、函數(shù)yx2的圖象開口向_，頂點是_，對稱軸是_，當x_時，有最_值是_2、二次函數(shù)ymx有最低點，則m_3、若二次函數(shù)yax2的圖象過點（1，2），則a的值是_4、二次函數(shù)y(m1)x2的圖象開口向下，則m_5、（08河北）如圖所示，直線過A（4，0）和B（0，4）兩點，它與二次函數(shù)y=ax2的圖象在第一象限內(nèi)交于P點，若AOP的面積為.（1）求P點的坐標；（2）求二次函數(shù)的解析式；第三課時 二次函數(shù)yax2k的圖象與性質(zhì)【知識復習】1、若函數(shù)是二次函數(shù)，則m_2、拋物線y

8、2x2的頂點，坐標為_，對稱軸是_當x_時，y隨x增大而減??；當x_時，y隨x增大而增大；當x_時，y有最_值是_3、拋物線y2x2的開口方向是_，它的形狀與y2x2的形狀_，它的頂點坐標是_，對稱軸是_【問題引入】一次函數(shù)與的圖象的關(guān)系是怎樣的？ 你能由此推測二次函數(shù)與的圖象之間的關(guān)系嗎？那么與的圖象之間又有何關(guān)系？【新知探究】1、在同一直角坐標系中，畫出二次函數(shù)yx21，yx21的圖象解：先列表：x3210123yx21yx21描點并畫圖：2、觀察圖象得： 開口方向頂點對稱軸有最高（低）點最值yx2yx21yx213、發(fā)現(xiàn)：把拋物線yx2向_平移_個單位，就得到拋物線yx21；把拋物線yx

9、2向_平移_個單位，就得到拋物線yx21拋物線yx2，yx21與yx21的形狀_4、小結(jié)：函數(shù)的圖象，可以由函數(shù)的圖象上下平移所得。【例題分析】例1、拋物線y2x23的頂點坐標為_，對稱軸為_當x_時，y隨x的增大而減小；當x_時，y有最_值是_，它可以由拋物線y2x2向_平移_個單位得到例2、一條拋物線是有的圖象平移得到的，且頂點縱坐標是-2，求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式【課堂檢測】1、填表函數(shù)開口方向頂點對稱軸最值對稱軸左側(cè)的增減性y5x23y7x212、拋物線yx22可由拋物線yx23向_平移_個單位得到的3、拋物線yx2h的頂點坐標為（0，2），則h_4、拋物線y4x21與y軸的交點坐標為_

10、，與x軸的交點坐標為_5、如圖，有一拋物線拱橋，當水位線在AB位置時，拱橋離水面2m，水面寬4m，水面下降1m后，水面寬為（ ）A5m B6m Cm D2m第四課時 二次函數(shù)ya(x-h)2的圖象與性質(zhì)【問題引入】函數(shù)的圖象，可以由函數(shù)的圖象上下平移所得，那么函數(shù)的圖象，是否也可以由函數(shù)平移而得呢？畫圖試一試，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？【新知探究】例1在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象， ，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標解： 觀察：拋物線是由拋物線向 平移 個單位得到的；拋物線是由拋物線向 平移 個單位得到的思考：如果要得到拋物線，應將拋物線作怎樣的平移？例2、不畫出圖象，你能說明拋

11、物線與之間的關(guān)系嗎?小結(jié)：（a、h是常數(shù)，a0）的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標歸納：開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標【課堂檢測】1、拋物線y3(x2)2的開口方向是_，頂點坐標為_，對稱軸是_當x_時，y隨x的增大而增大；當x_時，y有最_值是_，它可以由拋物線y3x2向_平移_個單位得到2、要得到拋物線，可將拋物線( )A向上平移4個單位 B向下平移4個單位C向右平移4個單位 D向左平移4個單位3、頂點為(5，0)，且開口方向、形狀與函數(shù)的圖象相同的拋物線是( )AB C D4、已知a0，(1)拋物線yax2的頂點坐標為_，對稱軸為_(2)拋物線yax2c的頂點坐標為_，對稱軸為_(3)拋物線ya

12、(xm)2的頂點坐標為_，對稱軸為_5、不畫出圖象，請你說明拋物線與之間的關(guān)系6、將拋物線向左平移后所得新拋物線的頂點橫坐標為 -2，且新拋物線經(jīng)過點（1，3），求的值第五課時 二次函數(shù)ya(xh)2k的圖象與性質(zhì)【知識復習】函數(shù)的圖象，向上平移2個單位，可以得到函數(shù) 的圖象；函數(shù)的圖象，向右平移3個單位，可以得到函數(shù) 的圖象?！締栴}引入】函數(shù)的圖象，如何平移，才能得到函數(shù)的圖象呢？【新知探究】例1、在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標解：列表：x-3-2-10123觀察：它們的開口方向都向 ，對稱軸分別為 、 、 ，頂點坐標分別為 、 、 請同學們完

13、成填空，并觀察三個圖象之間的關(guān)系歸納：二次函數(shù)的圖象的上下平移，只影響二次函數(shù)+k中的 值；左右平移，只影響 的值，拋物線的 不變，所以平移時，可根據(jù)頂點坐標的改變，確定平移前、后的函數(shù)關(guān)系式及平移的路徑此外，圖象的平移與平移的順序無關(guān)思考：你能說出函數(shù)+k（a、h、k是常數(shù)，a0）的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎？小結(jié)：+k開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標例2、向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線，求b、c的值【課堂檢測】1、填表：解析式開口方向頂點坐標對稱軸y(x2)23y(x3)22y3(x2)2y3x222、拋物線有最_點，其坐標是_當x_時，y的最_值是_；當x_時，y隨x增大

14、而增大3、將拋物線向右平移3個單位，再向上平移2個單位，所得的拋物線的解析式為_4、一拋物線和拋物線y2x2的形狀、開口方向完全相同，頂點坐標是(1，3)，則該拋物線的解析式為( )Ay2(x1)23By2(x1)23Cy(2x1)23Dy(2x1)235、把二次函數(shù)ya(xh)2k的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)的圖象(1)試確定a，h，k的值；(2)指出二次函數(shù)ya(xh)2k的開口方向、對稱軸和頂點坐標第六課時 二次函數(shù)yax2bxc的圖象與性質(zhì)【知識復習】函數(shù)的圖象，向 平移 個單位，可以得到函數(shù)的圖象；函數(shù)的圖象，向右平移3個單位，可以得到函數(shù) 的圖象，函數(shù)

15、的圖象，如何平移，才能得到函數(shù)的圖象呢？【問題引入】對于二次函數(shù)y=ax+bx+c （ a0 ）的圖象及圖象的形狀、開口方向、位置又是怎樣的？通過變形能否將y=ax+bx+c轉(zhuǎn)化為的形式嗎？【新知探究】例1、通過配方，確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標，再描點畫圖解：配方因此，拋物線開口向 ，對稱軸是直線x= ，頂點坐標為（ ， ） 由對稱性列表：描點并畫圖：提示：列表時選值，應以對稱軸x=1為中心，函數(shù)值可由對稱性得到（2）描點畫圖時，要根據(jù)已知拋物線的特點，一般先找出頂點，并用虛線畫對稱軸，然后再對稱描點，最后用平滑曲線順次連結(jié)各點思考：對于二次函數(shù)，你能用配方法求出它的對稱軸和頂點坐

16、標嗎？配方：=由此可見函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的形狀、開口方向均相同，只是位置不同，可以通過平移得到。小結(jié)：二次函數(shù)的圖像特征（1）二次函數(shù) ( a0)的圖象是一條拋物線；（2）對稱軸是直線x=，頂點坐標是為（，）（3） 當a0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線上的最低點；當a0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線上的最高點。例2、已知拋物線的頂點在坐標軸上，求的值【課堂檢測】1、二次函數(shù)的對稱軸是 2、二次函數(shù)的圖象的頂點是 ，當x 時，y隨x的增大而減小3、拋物線的頂點橫坐標是-2，則= 4、二次函數(shù)y2x2bxc的頂點坐標是（1，2），則b_，c_5、已知拋物線的頂點A在直線上，求拋物線的頂

17、點坐標第七課時 用函數(shù)的觀點看方程與不等式【知識復習】1、求二次函數(shù)yx23x4與y軸的交點坐標為_，與x軸的交點坐標_2、二次函數(shù)yx23x4的頂點坐標為_，對稱軸為_3、一元二次方程x23x40的根的判別式_4、二次函數(shù)yx2bx過點（1，4），則b_5、一元二次方程yax2bxc（a0），0時，一元二次方程有_，0時，一元二次方程有_，0時，一元二次方程_【問題引入】給出三個二次函數(shù)：（1）；（2）；（3）它們的圖象分別為：觀察圖象：與x軸的交點個數(shù)，分別是 個、 個、 個你知道圖象與x軸的交點個數(shù)與什么有關(guān)嗎？另外，能否利用二次函數(shù)的圖象尋找方程，不等式或的解？【新知探究】例1已知函數(shù)

18、的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題（1）圖象與x軸、y軸的交點坐標分別是什么？（2）當x取何值時，y=0？這里x的取值與方程有什么關(guān)系？（3）x取什么值時，函數(shù)值y大于0？x取什么值時，函數(shù)值y小于0？例2、如圖，由圖可得：a_0；b_0；c_0；b24ac_0 例3、 已知二次函數(shù)yx2kx9（1）當k為何值時，對稱軸為y軸；（2）當k為何值時，拋物線與x軸有兩個交點；（3）當k為何值時，拋物線與x軸只有一個交點【課堂檢測】1、求拋物線y2x27x15與x軸交點坐標_，與y軸的交點坐標為_2、拋物線y4x22xm的頂點在x軸上，則m_3、看圖填空： a_0；b_0；c_0；b24ac_04、看圖填

19、空：abc_0； abc_0； 2ab _05、已知二次函數(shù)的圖象如圖，則方程的解是 ，不等式的解集是 ，不等式的解集是 6、已知二次函數(shù)，（1）試說明：不論m取任何實數(shù)，這個二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個交點；（2）m為何值時，這兩個交點都在原點的左側(cè)？（3）m為何值時，這個二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸？第八課時 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式【問題引入】一般地，函數(shù)關(guān)系式中有幾個獨立的系數(shù)，那么就需要有相同個數(shù)的獨立條件才能求出函數(shù)關(guān)系式例如：我們在確定一次函數(shù)的關(guān)系式時，通常需要兩個獨立的條件：確定反比例函數(shù)的關(guān)系式時，通常只需要一個條件：如果要確定二次函數(shù)的關(guān)系式，又需要幾個條件呢？【新

20、知探究】例1、某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所示，現(xiàn)測得水面寬16m，涵洞頂點O到水面的距離為24m，在圖中直角坐標系內(nèi)，涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么？例2、根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關(guān)系式（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知拋物線的頂點為（1，-3），且與y軸交于點（0，1）；（3）已知拋物線與x軸交于點M（-3，0）、（5，0），且與y軸交于點（0，-3）；（4）已知拋物線的頂點為（3，-2），且與x軸兩交點間的距離為4小結(jié)：確定二次函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時，可根據(jù)題目中的

21、條件靈活選擇，以簡單為原則二次函數(shù)的三種形式：（1）一般式：，給出三點坐標可利用此式來求（2）頂點式：，給出兩點，且其中一點為頂點時可利用此式來求（3）交點式：，給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點、時可利用此式來求【課堂檢測】1、根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關(guān)系式（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知拋物線的頂點為（-1，2），且過點（2，1）；（3）已知拋物線與x軸交于點M（-1，0）、（2，0），且經(jīng)過點（1，2）2、二次函數(shù)圖象的對稱軸是x= -1，與y軸交點的縱坐標是 6，且經(jīng)過點（2，10），求此二次函數(shù)的關(guān)系式3、已知二次函數(shù)的圖象

22、與一次函數(shù)的圖象有兩個公共點P（2，m）、Q（n，-8），如果拋物線的對稱軸是x= -1，求該二次函數(shù)的關(guān)系式4、某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物，如圖所示，大門地面寬AB=4m，頂部C離地面高度為44m現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面28m，裝貨寬度為24m請判斷這輛汽車能否順利通過大門第九課時 二次函數(shù)的最值【知識復習】把二次函數(shù)yax2bxc(a0)配方成ya(xh)2k形式為_，頂點坐標是_，對稱軸是直線_當x_時，y最值_；當a0時，x_時，y隨x增大而減??；x_時，y隨x增大而增大【問題引入】在實際生活中，我們常常會碰到一些帶有“最”字的問題，如問題：某商店將每件進

23、價為80元的某種商品按每件100元出售，一天可銷出約100件該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低1元，其銷售量可增加約10件將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大？在這個問題中，設(shè)每件商品降價x元，該商品每天的利潤為y元，則可得函數(shù)關(guān)系式為二次函數(shù)那么，此問題可歸結(jié)為：自變量x為何值時函數(shù)y取得最大值？你能解決嗎?【例題分析】 例1求下列函數(shù)的最大值或最小值（1）； （2）例2、當2x5時，求二次函數(shù)的最值（思考：改成當-2x0時？當0x3時？）通過上面的例子，你是否能夠總結(jié)一下求二次函數(shù)的最值的方法？小結(jié)：例3、某產(chǎn)品每件成本是120元，試

24、銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間關(guān)系如下表：x（元）130150165y（件）705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，要獲得最大銷售利潤，每件產(chǎn)品的銷售價定為多少元？此時每日銷售利潤是多少？（分析：日銷售利潤=日銷售量每件產(chǎn)品的利潤）【課堂檢測】1、拋物線y2x23x5的頂點坐標為_當x_時，y有最_值是_2、把二次函數(shù)yx24x5配方成ya(xh)2k的形式，得_，這個函數(shù)有最 值為_3、對于二次函數(shù)，當x= 時，y有最小值4、已知二次函數(shù)有最小值 1，則a與b之間的大小關(guān)系是 （ ）Aab Ba=b Cab D不能確定5、已知二次函數(shù)的最小值為1，求m的值6

25、、心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x（單位：分）之間滿足函數(shù)關(guān)系：y值越大，表示接受能力越強（1）x在什么范圍內(nèi)，學生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內(nèi)，學生的接受能力逐步降低？（2）第10分時，學生的接受能力是多少？（3）第幾分時，學生的接受能力最強？第十課時 實際問題與二次函數(shù)【情景引入】生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，比如在2004雅典奧運會的賽場上，很多項目，如跳水、鉛球、籃球、足球、排球等都與二次函數(shù)及其圖象息息相關(guān)你知道二次函數(shù)在生活中的其它方面的運用嗎？【新知探究】例1、如圖2631，一位運動員推鉛球，鉛球行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系是，問此運動員把鉛球推出多遠？思考：此題根據(jù)已知條件求出了運動員把鉛球推出的實際距離，如果創(chuàng)設(shè)另外一個問題情境：一個運動員推鉛球，鉛球剛出手時離地面m，鉛球落地點距鉛球剛出手時相應的地面上的點10m，鉛球運行中最高點離地面3m，已知鉛球走過的路線是拋物線，求它的函數(shù)關(guān)系式你能解決嗎？試一試例2如圖2632，公園要建造圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線路線落下，為使