概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(4183)第02章課后習(xí)題解答

1、習(xí)題2.1a1 .設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為PX=kh,k=1,2,N,求常數(shù)a.N解:由分布律的性質(zhì)量二iPk=1得P(X=1)+P(X=2)+P+X=N)=1aN*-=1,即a=113572 .設(shè)隨機(jī)變量X只能取-1,0,1,2這4個(gè)值,且取這4個(gè)值相應(yīng)的概率依次為一,jj，求常數(shù)c.2c4c9c16c.1,3,5,7i解：-.2c4c9c16c37C=U3 .將一枚骰子連擲兩次，以X表示兩次所得的點(diǎn)數(shù)之和，以Y表示兩次出現(xiàn)的最小點(diǎn)數(shù)，分別求X,Y的分布律.注：可知X為從2到12的所有整數(shù)值.可以知道每次投完都會(huì)出現(xiàn)一種組合情況，其概率皆為(1/6)*(1/6)=1/36,故P(X=2)=(1

2、/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36)=1/18(兩種組合(1,2)(2,1)P(X=4)=3*(1/36)=1/12(三種組合(1,3)(3,1)(2,2)P(X=5)=4*(1/36)=1/9(四種組合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)P(X=6)=5*(1/36=5/36(五種組合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)P(X=7)=6*(1/36)=1/6(這里就不寫了，應(yīng)該明白吧)P(X=8)=5*(1/36)=5/36P(X=9)=4*(1/36)=1/9P(X=10)=3*(1/36)=1/12P(X=11)=2*(1/

3、36)=1/18P(X=12)=1*(1/36)=1/36以上是X的分布律投兩次最小的點(diǎn)數(shù)可以是1到6里任意一個(gè)整數(shù)，即Y的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6一個(gè)要是1,另一個(gè)可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36以上是Y的分布律了.一個(gè)是2,另一個(gè)是大于等于2的5個(gè)值一個(gè)是3,另一個(gè)是大于等于3的4個(gè)值一個(gè)是4,另一個(gè)是大于等于4的3個(gè)值一個(gè)是5,另一個(gè)是大于等于5的2個(gè)值一個(gè)是6,

4、另一個(gè)只能是64 .設(shè)在15個(gè)同類型的零件中有2個(gè)是次品，從中任取3次，每次取一個(gè)，取后不放回.以X表示取出的次品的個(gè)數(shù)，求X的分布律.解:X=0,1,2X=時(shí)，P磕=三c彳X=1時(shí),PL一L15X=2時(shí),PL-L1512351355 .拋擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣的分布律.解:PX=k=_：j：g”；d*k,2，每次出現(xiàn)正面的概率為一,連續(xù)拋擲8次，以X表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，求X3k=1,2,3,86 .設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為X-123P111424解:25),P(-X-|,P2X31P2X32,I2)4pf-x-l=132J2P2X3)=-+-=-2441P2X2=l-PX=0-PX=l=

5、1-隘(0耐(Q冊(cè)產(chǎn)溫00餓耐(0嬲產(chǎn)=l-e-011-flle11=1-0.9048一0.0905=0,004710 .一電話交換臺(tái)每分鐘收到的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分別，求：(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率；(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率.解:(1)PX=8=PX8-PX9=0.051134-0.021363=0.029771(2)一一一:習(xí)題2.21 .求0-1分布的分布函數(shù).0湛12 .設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：X-123P0.250.50.25求X的分布函數(shù)，以及概率PL5Jf0.5.解:惚一，一.一.:一常一14x2碌F(x)=PXx=PX=1=025;富24x3除心=

6、PXx=PX=-1+PX=2+PX=3=025+0.5+0.25=1；則X的分布函數(shù)F(x)為：0.xT0.25,-1x20.75,2x31,x3P15X05=1-F(0,5)=1-025=0J53 .設(shè)Fi(x),E(x)分別為隨機(jī)變量Xi和X2的分布函數(shù)，且F(x)=aF(x)-bE(x)也是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)證明a-b=1.證:：,二:：二；二一二.：=14 .如下4個(gè)函數(shù)，哪個(gè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)：(0,x0J0,i0(2)F2(x)=sinx7QxnfOjx0sinx,0以:L心r0,r0Iii%。芯3(Lx或5 .設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=a+bjrctanx,-G；(

7、工求(1)常數(shù)a,b;(2)一卜斷切解：(1)由分布函數(shù)的基本性質(zhì)F(-3)=O,F(+3)=1得：a+b*(柒=0a+b*(；)=l解之a(chǎn)=-,bH2ITITTlJI(將x=1帶入F(x)=a+barctanx)注：arctan為反正切函數(shù)，值域(-),arctan1=-2246.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為r0,煞1F(x)=lnxT1xe11,e求-二解:PX42=F=M2注:F=PXxP0/3=F(3)-F0=1-0=1;P2X42.5=F(2.5)-F2)=Inl5-ln2=M?=lnl.25習(xí)題2.31.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：J11acos%|x|-：聞=；甘心20其他求：常數(shù)a;

8、(2)P0*；(3)X的分布函數(shù)F(x).解：(i)由概率密度的性質(zhì)/“卜他二L(27n/甯、=asin-+asin-=a+a=1acosxdx=asinx|=asinasin一一J_2U221A=?。叫：=(力唱血(0)=*+刎一些常用特殊角的三角函數(shù)值正弦余弦正切余切0010不存在無(wú)/61/2V3/2V3/3V3兀/4M2/2M2/211無(wú)/3V3/21/2V3V3/3無(wú)/210不存在0冗0-10不存在(3)X的概率分布為：f芯0,xV2F(x)=J-C1+的冀).一無(wú)乂3J上上2 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=白限電一8X+00,求：(1)常數(shù)a;(2)P0X1；(3)X的分布函數(shù)

9、.解：(1)。f(x)dx=aexdx+1、-辿=a+a=1,即a=庠球煢修)癖由。3 3)X的分布函數(shù)(弓嘰x0L3 .求下列分布函數(shù)所對(duì)應(yīng)的概率密度：(1) ：仍我0x(指數(shù)分布)x00,x0sinxj0x-cosx?解：&6)nQj”唱(均勻分布)其他4 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為!茍0x12X,1x(2)pgXa解：x,Ox1例2設(shè)Xf(x)=2-x,x*注意分段求.工，0x1*7O)=2Ix2LQ其它尸(*)=rjwJ-oo/。x0oai)=加j.+1(2-rWrx2Qx2產(chǎn)(X)=；22x-lLx00x1TIx2i2（1） P*X-=1-F（-=1=1-=-L2）2728S（2）（

10、2）pf-X-）=Ff-）-F（-）=（2*-l-2-匕2）2J2/I225 .設(shè)K在（0,5）上服從均勻分布，求方程4代+4Kx-K-2=0有實(shí)根的概率.（利用二次式的判別式）解：KU（0,5）0x5f（K）=5（口，其他方程式有實(shí)數(shù)根，則-二-三2K-1故方程有實(shí)根的概率為：1PK2=I-dx=0.6_6 .設(shè)XU（2,5）現(xiàn)在對(duì)X進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.解:PK3）=l-F（3）=l-=-至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率為:5-237 .設(shè)修理某機(jī)器所用的時(shí)間X服從參數(shù)為人=0.5（小時(shí)）指數(shù)分布,求在機(jī)器出現(xiàn)故障時(shí)，在一小時(shí)內(nèi)可以修好的概率.解:岑8 .設(shè)顧客在某

11、銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分計(jì)）服從參數(shù)為人A的指數(shù)分布，某顧客在窗口等待Y的分布律YP0-8413-(1-0,6915)=0.532810-3即C=3POX1x0,12l-0(x)c=l-PXPXc+PXc=(3,5)-1-虱35)=0.9998-0。002=0599601234510.設(shè)XN(0,1)設(shè)x滿足P|x|x0,95即:1.65子711.XN(100)，求:(i)工7：加；理(2)一：一解：(i)叩1(用-+型卜4(2.5)-1-。(均卜0.9938-0.0668=0927(2)-。/10+d-10x/10-d-10=*(-j-4(-j0.9二中g(shù)卜站d經(jīng)查表I即d=3.32

12、12 .某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(10.05QO6：)，規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.05:0.12內(nèi)為合格，求一螺栓不合格的概率.解：螺栓合格的概率為：P(10t05-042Jf10.05+012=P953J?-*k0.06/0.06/=儀2)-1-蟻2=0.9772*2-1二0.9544螺栓不合格的概率為1-0.9544=0.045613 .測(cè)量距離時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差X(單位:m)服從正態(tài)分布N(20,4()2).進(jìn)行3次獨(dú)立測(cè)量.求:(1)至少有一次誤差絕對(duì)值不超過(guò)30m的概率；(2)只有一次誤差絕對(duì)值不超過(guò)30m的概率.解：P-300,0,y0”胴二1航/；如A二iliy

13、=f/l：y)二二JJ11flT.ply4t即fy(y)=fY(y)=fx(h(y)l(y)i=i*-=-OJ1 0.其他注：由XU(0,1)，丫=3X+1，當(dāng)X=0時(shí),Y=3*0+1=1;,當(dāng)X=1時(shí),丫=3*1+1=4？必。不一“工)一|心二11fyCy)=f(h(y)lhr(y)l=l-=-oy4即；-一(0,其他注：，當(dāng)x=0時(shí),丫二點(diǎn)二o；,當(dāng)x=1時(shí),Y=g1二24 .設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為(32&出二更1I0Ia其他.求以下Y的概率密度：(1)Y=3X;(2)Y=3-X;(3)二：解：(1)Y=g(x)=3X,X=h(y)=-,h(y)=：Y21Y2fy(y)=fx(h(y)l

14、hr(y)=-*-=Oclo(2)Y=g(x)=3-X,X=h(y)=3-Y,-1fY(y)=fx(h(y)lH(y)|=；*(:璋-Y)z”.A3y4,0.其他注意是絕對(duì)值&S=0(h的I的|=手白占uVA3五z、I,0y0是,15 .設(shè)X服從參數(shù)為入=1的指數(shù)分布，求以下Y的概率密度:(1)Y=2X+1;(2)二三(3).二解：Y=g(x)=2X+1,-2,二X的概率密度為：Jx0,0,x0fy(y)=fK(h(y)lh)|=Ae-x*即&(y)=二心;二1;=.忘;工地4)二:111111fY(y)=虱血)1N(y)|=/丫3=蠲qrw!1仁XAjLJL工豳/秒*2威瞅fv(y)=4(h

15、(y)l踮).看$=看產(chǎn)1I6.XN(0,1)求以下Y的概率密度:其他二三二廠二,1解：(1).一一:A一二；一二二/一11fvfx)=-Je-2ff2-00X0yo(2)Y=g(x)=2X1+11X=h(y)=j,hr(y)=j422獰iq苧)tify(y)=&(h(y)|hf(y)|=-=e2*=/千V2n2JlEl27ir(y-l)fi士即一.0,y1自測(cè)題一,選擇題1,設(shè)一批產(chǎn)品共有1000件,其中有50件次品，從中隨機(jī)地，有放回地抽取500件產(chǎn)品,X表示抽到次品的件數(shù)，則PX=3=C.aE9下33=PX=4=。2；T：。,2T(二項(xiàng)分布)3 .設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，下列結(jié)

16、論中不一定成立的是D.A.F(+oo)=1B.F-句=0C.0F(x)1D.F(x)為連續(xù)函數(shù)4 .下列各函數(shù)中是隨機(jī)變量分布函數(shù)的為BA.三：1 f1+r0,B.F2(x)=xz0D.31F4(x)二+不arctanXj-co工10廠,八則吊數(shù)a=A.10不曉得為何課后答案為D1A.-10B.潮C.D.10500解：F(x)r+a.ad一二.1xa工Vb6 .如果函數(shù)f(x)=0其他是某連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，則區(qū)間a,bl可以是CA.0,1B.0,2C.D.1,27 .設(shè)隨機(jī)變量X的取值范圍是卜1,1,以下函數(shù)可以作為X的概率密度的是A:-1%1(2,-1xlA,。，其他噸其他fx,-

17、1X1(x2,-1X1C.=.；”/X；j0x28.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=2則P-1X&1)=B.0,其他A.0B.0.25C.0.5D.1解：P14Xl=f-dx=-1=-J-124-149.設(shè)隨機(jī)變量XU(2,4)則P3X4=A.(需在區(qū)間2,4內(nèi))a.P225i3,25b.PUz25c.P3(Sx45d.P4,5z0)的泊松分布，且PX二0)二；P(二2,則入=2亦解:分別將.i.P.5 .設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為OfxaF(x)=O4?azb其中0ab,則P，Y-卜_0.4.l22J解#1噌=償)-刑=04-0=04LZ22/2l6 .設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，c是一個(gè)常

18、數(shù)，則PX=c=0.7 .設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為(：鏟,籃V0-(x+1),0x2山、，Li口I則X的概率密度為f(x)，則當(dāng)x0是f(x)=-e.2iHp_2xrSn8 .設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為F(x)=J其中概率密度為則f(i)=二.-ax0耍使：二01其他9 .設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=2a3.41*21fl?：pxi=i-pUi=；,pU(X)為其分布函數(shù)，則Q(X)+0(-X)=1.11 .設(shè)XN內(nèi)吟,其分布函數(shù)為F(x)g(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則F(x)6(x)之間的關(guān)系是12 .設(shè)XN(2,4)則PX2=0.5.13 .設(shè)XN(5,9),已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值3(05)=06915，為使PXq0.6915，則常數(shù)a6.5.解：F(a)二01Uj=F，?4514 .設(shè)XN(0,1)貝UY=2X+1的概率密度,心)=弱=e3解：Y-l1Y=