酉矩陣和正交矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上0 前 言正交矩陣是一類特殊的實方陣,酉矩陣是一類重要的復(fù)矩陣,它們的一些特殊性質(zhì),使得它在不同的領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,也推動了其它學(xué)科的發(fā)展. 隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展,特別是計算機的廣泛應(yīng)用,矩陣問題特別是特殊矩陣的性質(zhì)及其構(gòu)造越來越受到科學(xué)工作者以及工程人員的重視.它不僅局限于一個數(shù)學(xué)分支,而且許多理工方法和技術(shù)的發(fā)展就是矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)造的應(yīng)用與推廣的結(jié)果.在矩陣?yán)碚摰难芯恐?正交矩陣與酉矩陣在線性代數(shù)、優(yōu)化理論、計算方法等方法都占有重要的地位.戴立輝等(2002)對正交矩陣進行了詳細(xì)的研究,得到了正交矩陣的若干性質(zhì)；2005年,雷紀(jì)剛在矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用中給出了正交矩

2、陣和酉矩陣的關(guān)系并證明了酉矩陣就是等距變換；2006年,蘇育才在矩陣?yán)碚撝薪榻B了酉矩陣的概念的推廣和酉矩陣的一系列性質(zhì)；2008年,吳險峰在正交矩陣的進一步探究中給出了正交矩陣和酉矩陣的一些性質(zhì)定理,這些都為正交矩陣和酉矩陣的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).在矩陣?yán)碚撝?經(jīng)常利用矩陣來描述變換.在實空間中正交變換保持度量不變,而正交變換中對應(yīng)的變換矩陣就是正交矩陣,所以對正交矩陣的研究就顯得格外重要.同樣道理,想要得到復(fù)空間中保持度量不變的線性變換,就應(yīng)該對正交變換進行推廣,將其推廣到復(fù)數(shù)域上,那對應(yīng)的正交矩陣相應(yīng)的也推廣到復(fù)數(shù)域酉矩陣.下面將通過矩陣?yán)碚摰纳钊胙芯?對正交矩陣與酉矩陣進行比較,得到了酉矩陣的

3、若干結(jié)果. 1 歐式空間和正交矩陣1.1 歐式空間設(shè)是實數(shù)域上一個線性空間,在上定義了一個二元實函數(shù)稱為內(nèi)積,記作,它具有以下性質(zhì):1) （對稱性）;2) （線性）;3) （線性）;4) 是非負(fù)實數(shù),且當(dāng)且僅當(dāng)（正定性）.這里是中任意的向量,是任意實數(shù),這樣的線性空間稱為歐式空間.1.2 正交矩陣的定義和性質(zhì)在歐式空間中,由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣；反過來,如果第一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基,同時過渡矩陣是正交矩陣,那么第二組基一定也是標(biāo)準(zhǔn)正交基.1.2.1 正交矩陣的定義和判定正交矩陣有以下幾種等價定義及其判定定義1.1 為階實矩陣,若,則稱為正交矩陣.定義1.2 為階實矩陣,若,則

4、稱為正交矩陣.定義1.3 為階實矩陣,若,則稱為正交矩陣.定義1.4 為階實矩陣,若的個行（列）向量是兩兩正交的單位向量,則稱為正交矩陣.由正交矩陣的定義可以推出幾個重要的關(guān)于正交矩陣的判定定理：判定定理 1 為正交矩陣.判定定理 2 為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)?shù)男邢蛄拷M滿足其中且是記號.即的行向量組是歐幾里得空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基. 證明 為正交矩陣 .判定定理 3 為正交矩陣當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牧邢蛄拷M滿.其中且是記號.即的列向量組是歐幾里得空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基. 證明 為正交矩陣 .例1.1 判斷矩陣(其中是實數(shù))是否是正交矩陣.解 . 因此是正交矩陣.1.2.2 正交矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)為正交矩陣,則1)

5、 ；2) 可逆,即存在,其逆也是正交矩陣；3) 也是正交矩陣.并且當(dāng)為階正交矩陣時,當(dāng)時,即;當(dāng)時,即.證明 1) 由,可知,則.對正交矩陣,當(dāng)時,我們稱為第一類正交矩陣；當(dāng)時,則稱為第二類正交矩陣.2) 由可知可逆且又,故是正交矩陣. 3) 由1)知,是正交矩陣.而由,可以得出,故是正交矩陣.由,當(dāng)時,即;當(dāng)時,即.性質(zhì)2 設(shè)都是階正交矩陣,則1) , (為自然數(shù)),等都是正交矩陣.2) 也是正交矩陣.3) 準(zhǔn)對角矩陣為正交矩陣均為正交陣.證明 1)由可知,所以為正交矩陣.從而再由性質(zhì)1可推知(為自然數(shù)),等均為正交矩陣. 2) 因為及 故是正交矩陣.3) 準(zhǔn)對角矩陣為正交矩陣 均為正交陣.

6、性質(zhì)3 1階正交矩陣只有.性質(zhì)4 2階矩陣為正交矩陣的充要條件是為下列四型之一： ; ;. 其中;性質(zhì)5 設(shè)為階正交矩陣,且,則必不可逆,即；設(shè)為奇數(shù)階正交矩陣,且,則必不可逆,即；設(shè)是第二類正交矩陣,則必不可逆；設(shè)是奇數(shù)階第一類正交矩陣,則必不可逆.證,得,即不可逆. 知當(dāng)為奇數(shù)時, ,即.從而不可逆. 由是第二類正交矩陣,則,而,所以,即必不可逆. 由是第一類正交矩陣,則.而.所以當(dāng)是奇數(shù)時,有,即必不可逆.性質(zhì)6 階非零矩陣為正交矩陣的充要條件是對任意的階矩陣有 .證明 必要性. 設(shè)是階正交矩陣.由得.從而根據(jù)矩陣?yán)碚摽芍獙θ我怆A矩陣,有.充分性. 設(shè)對任意的階矩陣,.特別地我們可選取.

7、這里表示位于第行第列交叉位置上的元素為1,其余元素均為零的階矩陣.記，那么 記的個列分別為,于是有 所以易知而由矩陣是1階矩陣,可知綜合以上數(shù)式,可得進而得到 由此即知為正交矩陣.正交矩陣的性質(zhì)主要有以上幾點,另外還有以下性質(zhì),例如性質(zhì)7 正交矩陣的實特征值的模為1,且屬于不同特征值的特征向量相互正交. 證明 設(shè)為正交矩陣,為的實特征值,為對應(yīng)的實特征向量,則,取共軛轉(zhuǎn)置得,再右乘有.利用得.由于,所以,故有.設(shè)1和-1是正交矩陣的不同特征值,設(shè)其對應(yīng)的特征向量分別是,即,則易得由是正交矩陣，則故而因此即正交矩陣對應(yīng)不同的特征值的特征向量是相互正交的.性質(zhì)8 如果是正交矩陣的特征值,那么也是它

8、的特征值.證明 設(shè)是的特征值,則.由于是正交矩陣,于是.但與的特征值全部相同,而是的特征值.因此是的特征值.性質(zhì)9 奇數(shù)維歐式空間的旋轉(zhuǎn)一定以1作為它的一個特征值. 證明 設(shè)旋轉(zhuǎn)對應(yīng)的正交矩陣為,那么由于為奇數(shù),且,于是,故,即1為的一個特征值.性質(zhì)10 設(shè)均為階正交矩陣.(1)當(dāng)時,則是的特征值；(2)當(dāng)且為偶數(shù)時,則1是的特征值；(3)當(dāng)且為奇數(shù)時,則1是的特征值.證明 (1)只需證事實上, 其中從而,得證是的特征值.(2,3)只需證事實上,當(dāng)且為偶數(shù)時,當(dāng)且為奇數(shù)時,從而得證1是的特征值.性質(zhì)11 設(shè)均為階正交矩陣,為的特征多項式,則當(dāng)為偶數(shù)時, 其中為奇數(shù)時, 其中當(dāng)為偶數(shù)時, 其中為

9、奇數(shù)時, 其中證明 正交矩陣的特征多項式為其中為的一切階主子式的和乘以.令為的階主子式,為階主子式的代數(shù)余子式,為的余子式.若,則因為的階主子式,所以為的階主子式,故的一切階主子式之和等于的一切階主子式之和.為偶數(shù)時,有奇數(shù)項,由且為所有的之和乘以為所有的之和乘以其中故為奇數(shù)時,有偶數(shù)項,由且為所有的之和乘以為所有的階主子式之和乘以其中相差一個符號.故所以,若,當(dāng)為偶數(shù)時,的特征多項式有奇數(shù)項,它以為中間項,左右對稱項的系數(shù)相同,其中包括首項系數(shù)與常數(shù)項；當(dāng)為奇數(shù)時,的特征多項式有偶數(shù)項,處于對稱位置的左右兩端系數(shù)僅差一個符號,因首項系數(shù)為1,且為-1,故也包括在內(nèi).若,則故的一切階主子式之和

10、與的一切階主子式之和僅差一個符號.為偶數(shù)時,有奇數(shù)項,由且為所有的之和乘以為所有的之和乘以其中故為奇數(shù)時,有偶數(shù)項,由且為所有的階主子式之和乘以為所有的階主子式之和乘以其中相差一個符號.故所以若,當(dāng)為偶數(shù)時,的特征多項式有奇數(shù)項,它以為中間項,左右兩邊對稱項的系數(shù)相差一符號,因首項系數(shù)為1,為,故也包括在內(nèi)；當(dāng)為奇數(shù)時,的特征多項式有偶數(shù)項,處于對稱位置的左右兩端系數(shù)相同,其中包括首項系數(shù)與常數(shù)項均為1,也包括在內(nèi).性質(zhì)13 正交矩陣的一切階主子式之和與一切相應(yīng)階主子式之和或相等或僅差一符號.性質(zhì)14 正交矩陣可以對角化,即存在復(fù)可逆陣使得,其中為的全部特征值,即.性質(zhì)15 對稱正交矩陣的行列

11、式證明 由對稱正交矩陣的特征值只有1或.設(shè)的個特征值中有個,則剩下的就是個1.由故所以例如對稱正交陣有性質(zhì)16 當(dāng)階正交矩陣為基礎(chǔ)循環(huán)矩陣時,則它的全部特征值為實根,且為個次單位根.證明 設(shè)為基礎(chǔ)循環(huán)矩陣.可知的特征多項式為則其特征根為.故為次單位根.2正交變換的定義和性質(zhì)在標(biāo)準(zhǔn)正交積下,正交變換與正交矩陣對應(yīng),本文中提到在探討性質(zhì)應(yīng)用之前,先得了解正交矩陣的出處,正交矩陣來自于正交變換的定義,設(shè)(V)是歐幾里得空間的線性變換,如果保持內(nèi)積不變,也就是說,對任意的,有.正交變換是保內(nèi)積的,也即保長度和夾角,則變換前后的圖形全等.2.1正交變換定義的探討 在解析幾何中,我們學(xué)過正交變換的定義,正

12、交變換就是保持點之間距離不變的變換,正交變換也是高等代數(shù)與線性代數(shù)中常見的定義,其表述方式為： 定義2.1.1 設(shè)是歐氏空間的一個線性變換,如果保持向量內(nèi)積不變,即對,都有,則它是正交變換.定義2.1.2 設(shè)是歐氏空間的一個線性變換,如果保持向量的長度不變,即對,有,則此線性變換叫做正交變換. 因此由上述可知,在線性變換的前提條件下,保持向量的長度不變與保持向量的內(nèi)積不變是等價的.探討1 事實上,我們可以對定義2.1.1作一個修改.在此之前,我們先看下面 的命題：命題 設(shè)是歐氏空間的一個變換,如果保持向量內(nèi)積不變,即有,則它一定是線性的,因而也是正交變換.證明 先證. 對,有 ,故即其次再證

13、即是線性變換,因此也是正交變換. 由命題可知,定義1中是線性變換是多余的,因此定義可以修改為：定義1 歐氏空間中的一個變換,若它保持向量內(nèi)積不變,即有,則為正交變換.探討2 由定義1到定義1,將條件中線性變換降弱為變換,于是我們就問可以將定義2中的線性變換也降弱為變換？事實上,這是不行的,我們用一道考研題來說明.中國人民大學(xué)1991年考研試題：歐式空間中,保持向量長度不變的變換是否一定是正交變換？若是給出證明,若不是舉出反例.答 不一定是正交變換.例如設(shè)內(nèi)積如通常所述,定義.令,則,顯然.即變換保持長度不變,但不是線性變換.設(shè),則,而,顯然.故不是正交變換. 探討3 在解析幾何中,正交變換是保

14、持點之間距離不變的變換,下面將研究,在歐式空間中,保持向量距離不變的變換是否為正交變換？下面以一道山東大學(xué)考試題說明：設(shè)歐氏空間定義為距離,問保持距離不變的變換是否為正交變換？答 不一定是正交變換,比如在中的向量平移令,則 顯然它保持距離不變,不是線性變換.但, 而,所以不是線性變換,也不是正交變換.總之,由以上討論線性變換在歐氏空間的前提條件下,它保持向量的內(nèi)積與保持向量長度以及保持向量距離不變是等價,但是在僅為歐氏空間的變換前提下上述三者之間不存在等價關(guān)系. 2.2正交變換的判定定理 設(shè)是維歐式空間的一個線性變換,則以下命題等價:是正交變換;是線性變換,是標(biāo)準(zhǔn)正交積,則也是標(biāo)準(zhǔn)正交積;是線

15、性變換,在任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交積下的矩陣是正交矩陣;對任意的,有,對任意的,有,對任意的,有,證明 用兩步循環(huán)法:其中見課本教材定理4.下面證明 是正交變換是線性變換.故對任意的,有. 是正交變換 對任意的,有.兩邊開方即得.設(shè),有取,則由,有由即.又 得.故是正交變換. 2.3正交變換的性質(zhì)性質(zhì)1 正交變換的行列式等于+1或者-1.行列式等于+1的正交變換稱為旋轉(zhuǎn),或者稱為第一類的；行列式等于的正交變換稱為第二類的.證明 正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣,的行列式等于的行列式. 所以正交變換的行列式等于+1或者-1. 行列式等于+1的正交變換稱為旋轉(zhuǎn),或者稱為第一類的； 行列式等于的正交變

16、換稱為第二類的. 性質(zhì)2 第二類正交變換一定以-1作為它的一個特征值.證明 設(shè)是一個第二類正交變換對應(yīng)的矩陣,則.由于所以即-1是的一個特征值. 性質(zhì)3 正交變換是歐氏空間的一個自同構(gòu)映射.證明 設(shè)是的正交變換,在任一標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為正交矩陣,它有逆矩陣,故有逆變換,因而是到上的雙射.對于任意的,由是正交變換知,所以是到的一個自同構(gòu)映射. 性質(zhì)4 正交變換的乘積、正交變換的逆變換還是正交變換.證明 設(shè)是的正交變換,及 知都是的線性變換. 3正交矩陣的應(yīng)用3.1正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用在正交矩陣中,有一類初等旋轉(zhuǎn)矩陣,我們也稱它為Givens矩陣.這里,我們將利用正交矩陣可以表示成若干初等

17、旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積,給出化歐式空間的一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的另一種方法. 設(shè)向量,令,則稱階矩陣 i列 j列為初等旋轉(zhuǎn)矩陣.初等旋轉(zhuǎn)矩陣,是由向量的第兩個元素定義的,與單位矩陣只在第行和第列相應(yīng)的四個元素上有差別.設(shè)是由向量定義的初等旋轉(zhuǎn)矩陣,則有如下的性質(zhì):<1> 是正交矩陣;<2> 設(shè),則有;<3> 用左乘任一矩陣,只改變的第行和行元素（用右乘任一矩陣,只改變的第列和列元素）. 證明 <1> ,故,是正交矩陣. <2> 由得定義知,用左乘向量,只改變的第兩個元素,且所以左乘,使的第個分量非負(fù),第個分量為0,其余分量不變.<3>

18、 根據(jù) <2> 及矩陣乘法即可以得出結(jié)論. 引理 3.1.1 任何階實非奇異矩陣,可通過左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣化為上三角矩陣,且其對角線元素除最后一個外都是正的.定理 3.1.1 設(shè)是階正交矩陣<1> 若,則可表示成若干個初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積,即;<2> 若,則可以表示成若干個初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積再右乘以矩陣,即,其中是初等旋轉(zhuǎn)矩陣.證明 由于是階正交矩陣,根據(jù)引理3.1.1知存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣使這里是階上三角陣,而且得對角線上的元素除最后一個外都是正的,所以有 (3-1-1)由是正交矩陣和(3-1-1)式得 即 (3-1-2)設(shè) 其中,則 由上式得 所以 (3-1-

19、3)于是由(3-1-1)和(3-1-3)式得<1> 當(dāng)時,;<2> 當(dāng)時,.記,是初等旋轉(zhuǎn)矩陣,故定理1結(jié)論成立. 引理 3.1.2 設(shè),秩,則可以通過左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣,把變?yōu)榈男问?其中是階上三角陣,是矩陣.證明 由引理3.1.1知,其中是階正交矩陣,是階上三角陣,又根據(jù)定理3.1.1知，其中是初等旋轉(zhuǎn)矩陣.<1> 當(dāng)時,令<2> 當(dāng)時,于是有顯然,是階上三角陣. 當(dāng)時,與除最后一行對應(yīng)元素絕對值相等、符號相反外,其余元素對應(yīng)相等. 當(dāng)時,所以由<1>、<2>知本定理的結(jié)論成立.設(shè)是歐式空間的子空間的一組基,記,則是秩

20、為的矩陣. 若滿足引理3.1.2的條件,則存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣使得 (3-1-4)且 (3-1-5)由(3-1-4)和(3-1-5)兩式知,對和做同樣的旋轉(zhuǎn)變換,在把化成的同時,就將化成了,而的前個列向量屬于子空間.綜上所述可得化歐式空間的子空間的一組基為一組基為準(zhǔn)正交基的方法為(其中):<1> 由已知基為列向量構(gòu)成矩陣;<2> 對矩陣施行初等旋轉(zhuǎn)變換,化為,同時就被化為正交矩陣,這里是階上三角陣;<3> 取的前個列向量便可得的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.顯然,上述方法是求子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的另一種方法.下面,我們通過實例說明此方法的應(yīng)用：例 3.1.1 求以向量為基的

21、向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解 矩陣 對分塊矩陣依次左乘,其中得 則 取則就是由得到的的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.3.2利用正交矩陣化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形任意一個階矩陣可對角化的充要條件是有個線性無關(guān)的特征向量,那么對稱矩陣的對角化需要什么條件,怎樣進行對角化?下面的討論將給出答案.3.2.1 對稱矩陣可對角化的相關(guān)理論證明定理 3.2.1 實對稱矩陣的特征值都是實數(shù). 證 設(shè)是階實對稱陣,是的特征值,是屬于的特征向量,于是有.令,其中是的共軛復(fù)數(shù),則,考察等式,其左邊為,右邊為.故=,又因是非零量,故,即是一個實數(shù).因?qū)崒ΨQ矩陣的特征值為實數(shù),所以齊次線性方程組為實系數(shù)方程組,由知必有實的基礎(chǔ)解系,從而對應(yīng)的

22、特征向量可以取實向量.此定理的逆命題不成立.例如,均為實數(shù),而不是對稱的.定理 3.2.2 設(shè)是實對稱矩陣,定義線性變換: (3-2-1)則對任意向量,有或.證 只證明后一等式即可.定理 3.2.3 設(shè)是實對稱矩陣,則中屬于的不同特征值的特征向量必正交.證 設(shè)是的兩個不同的特征值,分別是屬于的特征向量,則,.定義線性變換如定理3.2.2中的(3-2-1),于是,.由,有.因為,所以.即正交.定理 3.2.4 對任意一個級實對稱矩陣,都存在一個級正交矩陣,使成為對角形且對角線上的元素為的特征值.證 設(shè)的互不相等的特征值為,它們的重數(shù)依次為.則對應(yīng)特征值,恰有個線性無關(guān)的實特征向量,把它們正交化并

23、單位化,即得個單位正交的特征向量,由知,這樣的特征向量共可得個.由定理3知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交,故這個單位特征向量兩兩正交.以它們?yōu)榱邢蛄孔鞒烧痪仃?則,其對角矩陣中的對角元素含個,個,恰是的個特征值.3.2.2 對稱矩陣對角化的具體方法及應(yīng)用舉例定理3.2.4說明,對任何一個實對稱矩陣總有正交矩陣存在,使它化為對角形.定理3.2.4的證明過程也給出了將實對稱矩陣對角化找出正交陣的方法,具體步驟如下：求出實對稱矩陣的全部特征值.對每個,由求出的特征向量.用施密特正交法,將特征向量正交化,再單位化,得到一組正交的單位向量組.以這組向量為列,作一個正交矩陣,它就是所要求的正交陣.根據(jù)上

24、述討論,下面舉例說明.例 3.2.1 求一正交矩陣,將實對稱矩陣化為對角陣.解 由于,的特征值為,.對,由得基礎(chǔ)解系;對,由得基礎(chǔ)解系,與恰好正交,所以,兩兩正交.再將,單位化,令得,于是得正交陣, 則.例 3.2.2 設(shè),求.解 先將對角化求出正交陣.,.由,分別得基礎(chǔ)解系,.則,則.利用求.定理3.2.5 任意的一個實二次型都可以經(jīng)過正交的線性替換變成平方和其中平方項的系數(shù)就是矩陣的特征多項式全部的根.3.2.3利用正交矩陣化簡直角坐標(biāo)系下的二次曲面方程二次曲面的一般方程是 (3-2-2)令則(3-2-2)可以寫成 (3-2-3)經(jīng)過轉(zhuǎn)軸,坐標(biāo)變換公式為 其中為正交矩陣且在新坐標(biāo)系中,曲面

25、的方程就是 根據(jù)上面的結(jié)果,有行列式為1的正交矩陣使得 也就是說,可以作一個轉(zhuǎn)軸,使得曲面在新坐標(biāo)系中的方程為 其中這時,再按照是否為零的情況,作適當(dāng)?shù)囊戚S與轉(zhuǎn)軸就可以把曲面的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程.譬如說,當(dāng)全不為零時,就作移軸變換 于是方程就可化為其中例3.2.3 二次曲面的直角坐標(biāo)系方程.作直角坐標(biāo)變換,把它化成標(biāo)準(zhǔn)方程,并指出是什么二次曲面.解 首先把方程左端的二次項部分經(jīng)過正交替換化成標(biāo)準(zhǔn)型.二次型的矩陣是.則存在正交矩陣使得于是作正交替換可把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形.因此,作直角坐標(biāo)替換,二次曲面在新的直角坐標(biāo)系中的方程為由此可以看出,是單葉雙曲面.3.3正交矩陣在矩陣分解中的作用一些重要的涉及

26、到了正交矩陣,包括: 定理 3.3.1設(shè)是可逆的階實方陣.求證：存在正交陣和正定陣,使,且這個分解式是唯一的;存在正交陣和正定陣,使,且這個分解式是唯一的.證明 可逆正定,從而存在正定陣,使.則 即 故現(xiàn)假設(shè)還有另一分解,即.則 ,為正交陣,而的特征值為實數(shù)且是正的 可對角化,即 分解式是唯一的.后者對用已證結(jié)果可得.推論1 設(shè)是一個階實可逆矩陣,是極分解,其中是正定矩陣,是正交矩陣,則 .證明 充分性.；必要性. 由及均為正定矩陣知它們均有正定平方根且和的平方根是唯一的,所以,故.定理 3.3.2 任一實滿秩矩陣可分解成一個正交陣與一個主對角線元素都大于零的上三角陣之積,且這種分解是唯一的,

27、這個分解也稱為矩陣的QR分解.證明 設(shè),其中為的列向量.為實滿秩矩陣 線性無關(guān)則可用施密特正交化方法,令 (3-3-1) 其中再將單位化,令 , (3-3-2)則為標(biāo)準(zhǔn)正交基,而為正交陣 由(3-3-1)和(3-3-2)解出,得 其中為上三角陣且為正實數(shù).再證唯一性 設(shè)還有正交陣及對角線元素為正實數(shù)的上三角陣,使.下證. 令,則,則既是正交陣又是上三角矩陣,即為對角矩陣,但與的主對角線元素為正實數(shù),從而 而由是正交陣 即 .事實上,設(shè)是任一階實滿秩矩陣,則可唯一地分解成以下形式之一： 其中為正交陣,為主對角元均正的上三角矩陣；其中為正交陣,為主對角元均正的上三角矩陣；其中為正交陣,為主對角元均

28、正的下三角矩陣；其中為正交陣,為主對角元均正的下三角矩陣；證明 已經(jīng)證明.此時非奇異,按可得從而令則仍為主對角元都為正的上三角矩陣,令則仍為正交陣,從而同理,對與用的結(jié)果可證明和.例3.3.1將分解為正交矩陣與上三角矩陣之積.解 令,其中為的列向量,對用施密特正交化方法得到正交向量,即再單位化得,即令 ,則為正交矩陣,為上三角矩陣,并且. 注 可見在掌握分解定理時,對證明的思路及步驟也必須熟練掌握.這樣在求矩陣的分解時才能用到.例3.3.2 （華中師大1994,1996）設(shè)是n階實可逆陣.求證存在階正交陣和,使得,其中且為的全部特征值. 證明 由定理3.3.1知,存在正交陣和使 (3-3-3）

29、其中的特征值均為正,且為的全部特征值由為正定陣,從而存在正交陣,使得 (3-3-4)將(3-3-4)代入(3-3-3)得 ,即 (3-3-5) 其中,均為正交陣. 注 我們可以將(3-3-5)改寫為,這就是的一個分解即實可逆陣表示為（正交陣）（正定陣）（正交陣）之積.例3.3.3（浙江大學(xué),天津師范大學(xué)）設(shè)為階實矩陣,且,則矩陣,其中,分別為階和階的正交矩陣,而.證明 由題意知不是正定陣 從而存在正交陣,使 (3-3-6)又 不失一般性,不妨設(shè),令 ,由(3-3-6)得 (3-3-7) 將分塊,令 (3-3-8)由于為正交陣用左乘,右乘(3-3-8)兩端得 (3-3-9)令 ,則為實矩陣,且

30、(3-3-10) (3-3-11)由(3-3-11)得 (3-3-12)由于 有個線性無關(guān)的解,將它們正交單位化后構(gòu)造矩陣,這樣由,可得 但 令,由于從而為正交陣,并(3-3-8)(3-3-13)式 由(3-3-14)式得 (3-3-15)其中由(3-3-15)知 .（證法二）由假設(shè)存在階與階可逆矩陣,使對,作分解, 其中,分別為m階與n階正交矩陣,分別為非奇異的正三角矩陣與下三角矩陣,則 (3-3-16)其中為的 階順序主子陣,為的 階下三角順序主子陣,所以是階可逆矩陣,因而存在正交矩陣,使得 ，其中,. （3-3-17)令 將(3-3-17)代入(3-3-16)得 且,.例3其實矩陣分解的

31、一個類型,也就是矩陣的奇異值分解問題,而由矩陣的奇異值分解,我們可以得到矩陣的另一種分解模式,即矩陣的極因子分解問題.定理3.3.3設(shè)為階實方陣,那么 必有分解式,其中為正交陣； 當(dāng)時,式中的分解是唯一解.證明 由矩陣的奇異值分解,知存在正交陣,使得,其中. , 其中 (3-3-18) (3-3-19) 其中 用左乘(3-3-18)式兩邊,得 其中 用右乘(3-3-19) 式兩邊得 令 即 由可唯一確定,而當(dāng)非奇異時存在,可唯一決定.例3.3.4 設(shè)為任意n階實矩陣,且 ,則,這里為正交矩陣.證明 由矩陣的極因子分解,我們有 ,其中,為正交陣, ,這里為正交陣.注 當(dāng)是非奇異矩陣時,本條極易證

32、明.由 得這證明是正交矩陣 以上均說明了矩陣分解與正交陣之間的關(guān)系,但作為正交陣分解本身而言,也是特殊的.例3.3.5 設(shè)是正交矩陣,求證存在正交陣,使得.證明 是正交陣存在可逆陣,使得顯然存在正交陣,使得而 .例3.3.6 設(shè)為階矩陣,且,證明：秩+秩.（廈門大學(xué)06）解 由于,則.因此為的化零多項式.從而有.所以的最小多項式的根只能為-1或1.又的特征多項式與最小多項式有相同的根,因此的特征值為-1或1.假設(shè)的特征值中有個-1（或1）,則的另外的個特征值必為-1（或1）.故而存在正交矩陣,使得 則有 因此 同理可得 則有 從而有 秩+秩 . 3.4正交矩陣在方程組的求解中的應(yīng)用如果線性方程

33、組的系數(shù)陣是列正交矩陣,則其有唯一解例3.4.1 設(shè)為正交矩陣,且求解矩陣方程解 的第一行為單位向量,因而 的第一列為單位向量,因而 將矩陣的正交三角分解代入方程的正規(guī)化方程得,即所以正規(guī)化方程的解為此即原方程的最小二乘解.如果是實矩陣,則 例3.4.2 用分解解線性方程組其中 解 將的三個列向量正交化,可得 再單位化,得 則由于所以由可得 所以將代入原方程組成立.所以它是原方程組的解.例3.4.3 方程組顯然無解,但列滿秩矩陣的正交分解為 因此原方程兩端同乘以得顯然這是原方程組的最小二乘解.理論中,經(jīng)常利用矩陣來描述變換. 在實空間中正交變換保持度量不變,而正交變換中對應(yīng)的變換矩陣就是正交矩

34、陣,所以對正交矩陣的研究就顯得格外重要. 同樣道理,想要得到復(fù)空間中保持度量不變的線性變換,就應(yīng)該對正交變換進行推廣,將其推廣到復(fù)數(shù)域上,那對應(yīng)的正交矩陣相應(yīng)的也推廣到復(fù)數(shù)域就是酉矩陣.4 酉空間和酉矩陣4.1 酉空間4.1.1 酉空間的定義設(shè)是復(fù)數(shù)域上一個線性空間,在上定義了一個二元復(fù)函數(shù),稱為內(nèi)積,記作,它具有以下性質(zhì):1) ,是的共軛復(fù)數(shù);2) ;3) ;4) 是非負(fù)實數(shù),且當(dāng)且僅當(dāng).這里是中任意的向量,是任意復(fù)數(shù),這樣的線性空間稱為酉空間. 例4.1.1 在線性空間,對向量定義內(nèi)積為 顯然上述內(nèi)積滿足定義4.1.1中的條件.這樣就成為一個酉空間.4.1.2 酉空間的重要結(jié)論由于酉空間的

35、討論與歐氏空間的討論很相似,有一套平行的理論,因此在這只簡單地列出重要的結(jié)論,而不詳細(xì)論證. ,是的共軛復(fù)數(shù). .由和,設(shè),則因為在酉空間V中對于是一個非負(fù)實數(shù),所以可以像空間那樣,定義向量的長度為這樣,中任意非零向量的長度總是一個正實數(shù),長度是1的向量稱為單位向量顯然都有 在一個酉空間中,柯西布涅柯夫斯基不等式仍然成立設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)時等號成立注意：酉空間中的內(nèi)積一般是復(fù)數(shù),故向量之間不易定義夾角,但仍引入向量,當(dāng)時稱為正交的或互相垂直.在一個酉空間里,同樣可以定義正交組和標(biāo)準(zhǔn)正交組的概念酉空間的一組兩兩正交的非零向量叫做的一個正交組若一個正交組的每一個向量都是單位向量,則稱這個正交組

36、是一個標(biāo)準(zhǔn)正交組 在一個有限維酉空間中,同樣可以定義正交基和標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念正交化方法對于酉空間的向量仍然適用,任意一組線性無關(guān)的向量可以用施密特過程正交化,并擴充為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,并且對于的任意一個基,可以通過正交化方法將它化為標(biāo)準(zhǔn)正交基設(shè)是酉空間的一個有限維線性子空間，令則也是的子空間,叫做的正交補我們有 4.2 酉矩陣4.2.1 酉矩陣的定義與正交矩陣相平行的概念是酉矩陣設(shè),其中表示復(fù)數(shù)域上的全體階矩陣的集合.記 (是的共軛復(fù)數(shù)),定義4.2.1 一個滿足的階復(fù)矩陣叫做一個酉矩陣定義4.2.2 若階復(fù)方陣滿足則稱為酉矩陣.定義4.2.3 若階復(fù)方陣滿足則稱為酉矩陣.定義4.2.4 若階復(fù)

37、方陣滿足則稱為酉矩陣.定義4.2.5 若階復(fù)方陣的個行(列)向量是兩兩正交的單位向量,則稱為酉矩陣.從定義4.2.1-4.2.4知,酉矩陣是可逆矩陣.根據(jù)定義4.2.5可得,階酉矩陣的個行(列)向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.4.2.2 酉矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)階矩陣為酉矩陣,則 酉矩陣的行列式的模(或絕對值)等于1.即或者. 的伴隨矩陣也是酉矩陣. 都是酉矩陣. 證明 由得,從而或者.由所以為酉矩陣.因為,所以是酉矩陣.因為,所以是酉矩陣.因為,所以是酉矩陣.例4.2.1 令則 ,(1)因為所以 即,所以是酉矩陣.(2) 因為所以故由(1)知所以是酉矩陣.(3) 即 也是酉矩陣.(4) ;,而.因此,也

38、為酉矩陣.性質(zhì)2 （酉矩陣的乘積和乘方）設(shè)和是酉矩陣,則,也是酉矩陣.證明 因為,所以是酉矩陣,同理可證也是酉矩陣.(為正整數(shù))是酉矩陣.,；,；,；,也是酉矩陣.,也是酉矩陣.,（,為正整數(shù)）也是酉矩陣.設(shè),是酉矩陣,則, 也是酉矩陣.證明 因為所以是酉矩陣.因為 所以是酉矩陣.定理 與酉矩陣酉相似的矩陣也為酉矩陣.即為酉矩陣,為酉矩陣,則也為酉矩陣.證明 由為酉矩陣,則. 所以是酉矩陣.性質(zhì)3 設(shè)是酉矩陣,則對的任一行(列)乘以模為1的數(shù)或任兩行(列)互換,所得矩陣仍為酉矩陣.證明 設(shè)其中是的兩兩正交單位向量.顯然 ()及也都是的兩兩正交的單位向量.由定義4.2.5知結(jié)論成立.性質(zhì)4 設(shè)是

39、上（下）三角的酉矩陣,則必為對角矩陣,且主對角線上的元素的模等于1.證明 不妨設(shè)是上三角的酉矩陣.則其逆矩陣（上三角）等于其共軛轉(zhuǎn)置（下三角）,所以只能是對角矩陣.又故可得的主對角線上的元素的模等于1.性質(zhì)5 二階矩陣為酉矩陣的充分必要條件是為下列三種形式之一 這里,為整數(shù).證明 必要性 設(shè)是二階酉矩陣,于是即展開得 （4-1） （4-2） 由（4-1）式得 ,于是可設(shè) （4-3）其中和為非負(fù)實數(shù),且當(dāng)時,即可得定理中的形式.當(dāng)時,即可得定理中的形式.當(dāng)且時. 顯然,（4-2）式中第一個等式與第二個等式等價,把（4-3）代入（4-2）的第一個等式,得 根據(jù)實部、虛部同時為零,有 利用和差化積公

40、式,可得 以上兩式左端平方求和,可得 再次利用和差化積公式,有另外,（4-2）中第三個等式與第四個等式等價,把（4-3）代入（4-2）的第三個等式,與上述推導(dǎo)同理可得所以即可得定理中的形式.充分性 設(shè)為定理中的三種形式之一. 當(dāng)為形式或形式時,通過簡單計算可知,為酉矩陣. 當(dāng)為形式時,由于在必要性的證明過程中,每一步推導(dǎo)都是可逆推的,因此可以全部反推回去,即得.所以為酉矩陣.性質(zhì)6 設(shè),是酉矩陣,若是反矩陣,則也是酉矩陣,因此證明 因為 因此,當(dāng)是反矩陣時,記也是酉矩陣,從而注 酉矩陣的和未必是酉矩陣.性質(zhì)7 對任意的階酉矩陣和階可逆矩陣有.性質(zhì)8 對任意的階酉矩陣和階酉矩陣有.性質(zhì)9 設(shè)是酉

41、矩陣,則的特征值的模為1,即分布在復(fù)平面的單位圓上.證明 設(shè),則由可得于是而,故即性質(zhì)10 設(shè)為酉矩陣,是的特征值,則是的特征值,而是的特征值.證明 設(shè)是的特征值,則.而又可知是的特征值,但與的特征值全部相同,因此是的特征值,而,所以是的特征值.性質(zhì)11 設(shè)是酉矩陣,則屬于的不同特征值的特征向量正交.證明 設(shè)是的屬于特征值的特征向量,是的屬于特征值的特征向量.由可得 所以,而,從而故,即與正交.性質(zhì)12 設(shè)是酉矩陣,且為矩陣,則必為對合矩陣,從而的特征值等于1或.證明 由得.又因矩陣的特征值為實數(shù),所以的特征值等于或1.性質(zhì)13 矩陣為酉矩陣的充分必要條件是這里表示行列式的模,表示的共軛復(fù)數(shù).

42、證明設(shè)是酉矩陣. 則且.在等式兩邊左乘的逆矩陣并注意到,可得所以.設(shè)則 故而,兩邊取行列式并注意到,得,但由的非奇異性知.從而,注意到及,可得于是有.由知為酉矩陣.性質(zhì)14 維酉空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基到另一個標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是一個酉矩陣性質(zhì)15 酉空間的線性變換,滿足,就稱為的一個酉變換. 酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是酉矩陣.性質(zhì)16 如矩陣滿足則叫做埃爾米特矩陣.在酉空間中令是埃爾米特矩陣,則也是對稱變換.性質(zhì)17 若是埃爾米特矩陣,則存在酉矩陣使得是對角型矩陣.性質(zhì)18 設(shè)為埃爾米特矩陣,二次齊次函數(shù)叫做埃爾米特二次型.必有酉矩陣,當(dāng)時 .證明 因為為埃爾米特矩陣,所以,其中為實數(shù).令

43、,則 5酉矩陣的應(yīng)用5.1酉矩陣在矩陣的分解中的應(yīng)用定理5.1.1 設(shè)是一個級可逆復(fù)矩陣,則可以分解成其中是酉矩陣,是一個上三角矩陣其中對角線元素都是正實數(shù),并證明這個分解是唯一的；也唯一地存在酉矩陣和主對角線元素為正數(shù)的下三角矩陣使得.證明 設(shè),其中為的列向量 可逆,即為實滿秩矩陣 線性無關(guān)則可用施密特正交化方法,令 （5-1） 其中 再將單位化,令 , （5-2）則為標(biāo)準(zhǔn)正交基,而為酉矩陣 由（5-1）和（5-2）解出,得 . 其中為上三角陣且為正實數(shù).再證唯一性 設(shè)還有酉矩陣陣及對角線元素為正實數(shù)的上三角陣,使.下證.令,則,則既是酉矩陣又是上三角矩陣,即為對角矩陣,但與的主對角線元素為

44、正實數(shù),而由是酉矩陣 即 ，所以分解是唯一的.后者同理證明.定理5.1.2 （三角化定理）任意的復(fù)方陣酉相似于上三角矩陣.即對任意階矩陣,存在酉矩陣,使得,其中為矩陣的特征值,稱形如這樣的分解叫做矩陣的特征值分解.例5.1.1 設(shè)為階實矩陣,為階單位矩陣.求證 ,其中為虛數(shù)單位.（清華大學(xué)06）證明 由性質(zhì)1,知存在可逆的酉矩陣,使得從而有 由于為階實矩陣,所以的特征多項式為次實多項式,又實多項式的復(fù)根是成對共軛出現(xiàn)的,因此的復(fù)特征值是成對共軛出現(xiàn)的.當(dāng)?shù)乃刑卣髦刀疾皇牵ɑ颍?則的特征值不存在（或）.則此時 ,且有 ,而此時從而得 當(dāng)?shù)奶卣髦抵写嬖谟校ɑ颍?則一定有一特征值（或）存在.并且有

45、幾個（或）存在,相應(yīng)的就有幾個（或）存在.又由于 ,從而知 （）中不為零的個數(shù)（）中不為零的個數(shù)從而可得定理5.1.2´ 任意階矩陣,存在酉矩陣,使得,其中,且為矩陣的特征值.例5.1.2 設(shè)為級矩陣,求證(1) 存在正整數(shù)使得秩()秩(); (2) 若存在正整數(shù)使得秩()秩(),則對于任意正整數(shù),秩()秩().證明 由性質(zhì),知存在酉矩陣,使得,其中,且為矩陣的特征值.不妨假設(shè),則可得 ,為可逆矩陣,因此對任意的正整數(shù),有 , （5-3）又對任意,且, （5-4）因此可令,則由（5-4）式,知 （5-5）由（5-5）得對任意的,有 從而由（5-3）和（5-5）得且對任意的正整數(shù),也有

46、 通過上述的討論,對矩陣的分解有了一定的認(rèn)識.定理5.1.3 (矩陣的酉相抵標(biāo)準(zhǔn)形)設(shè)復(fù)矩陣的秩是,則有酉矩陣和使得 其中為正實數(shù),為的所有非零特征根,而矩陣中右下角的O為零矩陣.定理5.1.4（矩陣的奇異值分解）設(shè)且則存在階和階的酉矩陣使得其中人造衛(wèi)星常常需要將一些照片發(fā)回地面控制中心.大部分照片的規(guī)格是（像素）,即每幅圖片實際上包含超過個數(shù)據(jù),因此將這些數(shù)據(jù)全部傳輸需要大量的計算并花費大量的時間.所以往往在傳輸之前必須對原始數(shù)據(jù)進行壓縮.以下我們需要敘述利用奇異值分解進行圖像壓縮的過程.用矩陣表示要傳輸?shù)脑紨?shù)據(jù).設(shè)是的一個奇異值分解.其中對角矩陣的對角元素（即的奇異值）從小到大排列.假定

47、我們選擇前個大奇異值進行圖像傳輸,就是說僅傳輸奇異值以及相對應(yīng)的左右奇異向量則我們實際上傳輸了個數(shù)據(jù),而不是原來的個數(shù)據(jù).比值稱為圖像的壓縮比（其倒數(shù)稱為數(shù)據(jù)壓縮率）.利用矩陣的截尾奇異值分解可根據(jù)實際接收的數(shù)據(jù)還原圖像,即顯然,較大的可以獲得保真度較高的還原數(shù)據(jù),較小的可以獲得較高的傳輸效率.在實際應(yīng)用時,可以根據(jù)不同的需要適當(dāng)選擇以獲得滿意的還原數(shù)據(jù).定理5.1.5（方陣的極分解）任一復(fù)方陣可表示為其中為酉矩陣,為半正定方陣,且由唯一決定.5.2 利用酉矩陣化正規(guī)矩陣為對角形矩陣在高等代數(shù)中,我們知道實對稱矩陣一定正交相似于對角矩陣,并且討論過對已知實對稱矩陣,求正交矩陣使得為對角矩陣的一

48、般歩驟,類似的我們可以討論,當(dāng)是正規(guī)矩陣時,求酉矩陣,使得為對角矩陣.引理 5.2.1（規(guī)范方陣譜定理）復(fù)方陣酉相似于對角陣的充要條件是為復(fù)正規(guī)陣.即對復(fù)方陣,若存在階酉矩陣,使得的充分必要條件是是復(fù)正規(guī)陣.證明 必要性顯然. 充分性 由三角化定理知,任意復(fù)方陣必可酉相似于上三角陣,即存在階酉矩陣,使得 （5-6） 由條件得 （5-7） 把（5-6）及其共軛轉(zhuǎn)置式代入等式（5-7）直接計算可得 從而酉相似于對角陣. 特別地,由于酉陣是復(fù)正規(guī)陣,因此根據(jù)引理5.3知,任一酉矩陣均酉相似于對角陣,且對角線上元素的模長都為1.即酉方陣必酉相似于為實數(shù)證明 由是酉方陣,則.故,即知矩陣的正規(guī)性是檢驗矩陣是否可對角化的一個簡單方法,任意正規(guī)矩陣都可在經(jīng)過一個酉變換后變?yōu)閷蔷仃?反過來,所有可在經(jīng)過一個酉變換后變?yōu)閷蔷仃嚩际钦?guī)矩陣. 在高等代數(shù)中,我們知道實對稱矩陣