待定系數(shù)法分解因式

1、待定系數(shù)法分解因式（附答案） 待定系數(shù)法作為最常用的解題方法，可以運(yùn)用于因式分解、確定方程系數(shù)、解決 應(yīng)用問(wèn)題等各種場(chǎng)合。其指導(dǎo)作用貫穿于初中、高中甚至于大學(xué)的許多課程之中，認(rèn) 真學(xué)好并掌握待定系數(shù)法，必將大有裨益。內(nèi)容綜述 將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，其后通過(guò)解方程或方程組便 可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫做待定 系數(shù)法。本講主要介紹待定系數(shù)法在因式分解中的作用。同學(xué)們要仔細(xì)體會(huì)解題的技巧。要點(diǎn)解析 這一部分中，通過(guò)一系列題目的因式分解過(guò)程，同學(xué)們要學(xué)會(huì)用待定系數(shù)

2、法進(jìn)行 因式分解時(shí)的方法，步驟，技巧等。例 1 分解因式思路 1 因?yàn)樗栽O(shè)原式的分解式是然后展開(kāi)，利用多項(xiàng)式的恒等，求出 m, n, 的值。解法 1 因?yàn)樗钥稍O(shè)比較系數(shù)，得由、解得把代入式也成立。思路 2 前面同思路 1，然后給 x,y 取特殊值，求出 m,n 的值。解法 2 因?yàn)樗钥稍O(shè)因?yàn)樵撌绞呛愕仁剑运鼘?duì)所有使式子有意義的x,y 都成立，那么無(wú)妨令得令得解、得或把它們分別代入恒等式檢驗(yàn)，得說(shuō)明：本題解法中方程的個(gè)數(shù)多于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，必須把求得的值代入多余的方 程逐一檢驗(yàn)。若有的解對(duì)某個(gè)方程或所設(shè)的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程 組無(wú)解，則說(shuō)明原式不能分解成所設(shè)形成的因式。例

3、 2 分解因式思路 本題是關(guān)于 x 的四次多項(xiàng)式， 可考慮用待定系數(shù)法將其分解為兩個(gè)二次式之 積。解設(shè)由恒等式性質(zhì)有：由、解得代入中，式成立。說(shuō)明 若設(shè)原式 由待定系數(shù)法解題知關(guān)于a 與 b 的方程組無(wú)解，故設(shè)原式例3在關(guān)于x的二次三項(xiàng)式中，當(dāng)時(shí)，其值為o；當(dāng)時(shí)，其值為 o；當(dāng)時(shí)，其值為10，求這個(gè)二次三項(xiàng)式。思路 1 先設(shè)出關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式的表達(dá)式，然后利用已知條件求出各項(xiàng)的系數(shù)?？?考慮利用恒待式的性質(zhì)。解法 1 設(shè)關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式為把已知條件分別代入，得解得故所求的二次三項(xiàng)為思路 2 根據(jù)已知時(shí)，其值 o 這一條件可設(shè)二次三項(xiàng)式為然后再求出a 的值。解法2由已知條件知當(dāng)時(shí)，這

4、個(gè)二次三項(xiàng)式的值都為0，故可設(shè)這個(gè)二次三項(xiàng)式為把代入上式，得解得故所求的二次三項(xiàng)式為即 說(shuō)明要注意利用已知條件，巧設(shè)二次三項(xiàng)式的表達(dá)式。例 4 已知多項(xiàng)式的系數(shù)都是整數(shù)。若是奇數(shù)，證明這個(gè)多項(xiàng)式不能分解為兩個(gè)整系 數(shù)多項(xiàng)式的乘積。思路先設(shè)這個(gè)多項(xiàng)式能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，然后利用已知條件及其 他知識(shí)推出這種分解是不可能的。證明：設(shè) （ m,n,r 都是整數(shù)）。比較系數(shù)，得因?yàn)槭瞧鏀?shù)，則與 d都為奇數(shù)，那么 mr也是奇數(shù)，由奇數(shù)的性質(zhì)得出m,r也都是奇數(shù)。在式中令，得由是奇數(shù)，得是奇數(shù)。而m為奇數(shù)，故是偶數(shù)，所以是偶數(shù)。這樣的左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)。這是不可能的。因此，題中的多項(xiàng)式不能分

5、解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。說(shuō)明：所要證的命題涉及到“不能”時(shí)，常常考慮用反證法來(lái)證明。例 5 已知能被整除，求證： 思路：可用待定系數(shù)法來(lái)求展開(kāi)前后系數(shù)之間的關(guān)系。 證明：設(shè)展開(kāi)，比較系數(shù)，得由、得,代入、得：，例6若a是自然數(shù)，且的值是一個(gè)質(zhì)數(shù)，求這個(gè)質(zhì)數(shù)。思路：因?yàn)橘|(zhì)數(shù)只能分解為1和它本身，故可用待定系數(shù)法將多項(xiàng)式分解因式,且使得因式中值較小的為1，即可求a的值。進(jìn)而解決問(wèn)題。解：由待定系數(shù)法可解得由于a是自然數(shù)，且 是一個(gè)質(zhì)數(shù),解得當(dāng)時(shí)，不是質(zhì)數(shù)。 當(dāng)時(shí)，是質(zhì)數(shù)。 =11 .培優(yōu)訓(xùn)練A級(jí) 1、分解因式 . 2、若多項(xiàng)式能被整除，則n=. 3、二次三項(xiàng)式當(dāng)時(shí)其值為-3，當(dāng) 時(shí)其值為2,當(dāng)

6、 時(shí)其值為5，這個(gè)二次三項(xiàng)式是. 4、 m, n是什么數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式能被整除？B級(jí) 5、多項(xiàng)式能分解為兩個(gè)一次因式的積，則k=. 6、若多項(xiàng)式能被整除，則 . 7、若多項(xiàng)式當(dāng)2時(shí)的值均為 0,則當(dāng)x=時(shí)，多項(xiàng)式的值也是0。 8、求證：不能分解為兩個(gè)一次因式的積。參考答案或提示:1.提示：設(shè)原式比較兩邊系數(shù)，得由、解得將代入式成立。原式2、-4。提示：設(shè)原式比較系數(shù)，得4 = 13 = 9由、解得代入得3、提示：設(shè)二次三項(xiàng)式為把已知條件代入，得解得所求二次三項(xiàng)式為4.設(shè)比較系數(shù)，得解得.當(dāng)m=-11 , n=4已知多項(xiàng)式能被整除。提示：設(shè)原式比較系數(shù)，得解得提示：設(shè)原式比較系數(shù)，得解得提示：設(shè)原式比較系數(shù)