一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(2)

1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一、目標(biāo)認(rèn)知 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；2 .能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求簡單的關(guān)于根的對(duì)稱式的值；3 .能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩個(gè)數(shù)是否是方程的根；4 .能夠利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出以兩個(gè)已知數(shù)為根的一元二次方程.重點(diǎn)對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的掌握，以及在各類問題中的運(yùn)用.難點(diǎn)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系b c工十建=一，工肛=如果一元二次方程 ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根是xi, X2,那么aa .注意它的使用條件為 a*0, A > 0

2、.三、規(guī)律方法指導(dǎo)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的用法：不解方程，檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的根；已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知系數(shù)；不解方程，求已知一元二次方程的根的對(duì)稱式的值；已知方程的兩根，求這個(gè)一元二次方程；已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求這兩數(shù)；已知方程的兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值；討論方程根的性質(zhì)。四、經(jīng)典例題透析1 .已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值.也J1 .已知方程x2-6x+m 2-2m+5=0 個(gè)木為2,求另一個(gè)根及m的值.也思路點(diǎn)撥：本題通常有兩種做法，一是根據(jù)方程根的定義，把 x=2代入原方程，先求出 m 的值，再通過解方程求另一個(gè)根；二是

3、利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及m的值.解：法一：把x=2代入原方程，得22-6X 2+m2-2m+5=0即 m2-2m-3=0解得 m1=3, m2=-1當(dāng)m1=3, m2=-1時(shí)，原方程都化為x2-6x+8=0xi=2, x2=4:方程的另一個(gè)根為 4, m的值為3或-1.法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x.2 + 1=6則 2i = m -2 + 5= 4 - f 工= 4二4 或m-3 m - -1. I2.判別一元二次方程兩根的符號(hào).但2.不解方程，判別2x2+3x-7=0兩根的符號(hào)情況但思路點(diǎn)撥：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可求根的判別式,但只能 用于判定根存

4、在與否，若判定根的正負(fù)，則需要考察xi x2或xi+x2的正負(fù)情況.解：, =32-4 X 2X (-7)=65 >0.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩個(gè)根為xi, x2,c 7八. 原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根.總結(jié)升華：判別根的符號(hào)，需要“根的判別式”，“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來進(jìn)行確定另外本題中xi -x2<0,可判定根為一正一負(fù)，若xi-x2> 0,仍需考慮xi+x2的正負(fù)，從而判別是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根 .舉一反三：【變式i】當(dāng)m為什么實(shí)數(shù)時(shí)，關(guān)于 x的二次方程 mx2-2(m+i)x+m-i=0的兩個(gè)根都是正數(shù)思路點(diǎn)撥：正、負(fù)根的問題應(yīng)這樣想：如正數(shù)根，應(yīng)確保兩根

5、之和大于零，兩根之積大于零,根的判別式大于等于零.解：設(shè)方程的二根為 xi5 x2,且xO, x2>0,演H 0A = - 2 恤 +4.(資-1)> 042(幽+ 1)西 +勺=> 0m?n- cX1 “町> U則有L制由=-2(m+i) 2-4m(m-i) >0,解得：3,mw0,.m>?；?m<0,上面不等式組化為：冽之_-33 2葉 + 1) > 0或(2> 2葉+ 1) > 0由得 m>1；不等式組無解.mAl當(dāng)m>1時(shí)，方程的兩個(gè)根都是正數(shù).總結(jié)升華：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，不要忘記aw 0的條件.【變式2】k

6、為何值時(shí)，方程 2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0(1)兩根互為相反數(shù)；(2)兩根互為倒數(shù)；(3)有一根為零，另一根不為零.X1=-X2,思路點(diǎn)撥：兩根“互為相反數(shù)”、“互為倒數(shù)”，“有一根為零，另一根不為零”等是對(duì)兩 根的性質(zhì)要求，在滿足這個(gè)要求的條件下，求待定字母的取值.方程的根互為相反數(shù)，則_即Xi+X2=0；互為倒數(shù)，則Xi=M ,即X1 «2 = 1,但要注意考察判別式0.解：設(shè)方程的兩根為 X1 , x2,4k 2k-則 Xi+X2=' ： ' ,' 'XiX2=(1)(2)(3)312代+ 1)要使方程兩根互為相反數(shù)，必須兩根的和是

7、零,2k即 X1 +X2= i+1當(dāng) k=0 時(shí)， =(4k)2-4X2(k+1)(3k-2)=16 >0當(dāng)k=0時(shí)，方程兩根互為相反數(shù) .要使方程兩根互為倒數(shù)，必須兩根的積是3k-2X1X2=1,即當(dāng) k=4 時(shí)， =(4k) 2-4 x 2(k+1)(3k-2)=-144 <0.k為任何實(shí)數(shù)，方程都沒有互為倒數(shù)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根要使方程只有一個(gè)根為零，必須二根的積為零，且二根的和不是零,即 X1X2=0,解得 k= 322k八一 w 0又當(dāng) k= 3 時(shí)，Xi+X2=在+1,264當(dāng) k= 3 時(shí)， =(4k) 2-4 x 2(k+1)(3k-2)= 9 >0,2.k= 3時(shí)，

8、原方程有一根是零，另一根不是零總結(jié)升華：研究兩個(gè)實(shí)數(shù)根問題時(shí)，應(yīng)注意二次項(xiàng)系數(shù)不得為零，=b2-4ac不得小于零.3 .根的關(guān)系，確定方程系中字母的取值范圍或取值.山C3.關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的兩根的平方和小于5,求k的取值范圍.山解：設(shè)方程兩根分別為X1 , X2 ,Xl+X2=3,X1 , X2=k+1,Xi2+X22=(xi+X2)2-2xiX2=32-2(k+1) <5 k> 1又丁 =(-3)2-4(k+1) >05k< 45由得：1 < k< 4 .總結(jié)升華：應(yīng)用根的判別式，已知條件，構(gòu)造不等式，用不等式組的思想，確定字母的

9、取值 范圍.舉一反三：【變式1】已知：方程x2+2(m-2)x+m 2+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和比兩根的積 大21,求m的值.思路點(diǎn)撥：本題是利用轉(zhuǎn)化的思想將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，就可求得m的值.解：:方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，1 =2(m-2) 2-4 X 1 x (m2+4) > 0解這個(gè)不等式，得m<0設(shè)方程兩根為X1 , X2,X1+x2=-2(m-2)X1 , X2=m2+4 X12+X22-X 1X2=21 (X+X2)2-3X1X2=21-2(m-2) 2-3(m2+4)=21整理得：m2-16m-17=0解得：m1二17

10、, m2=-1又< m< 0,m=-1.總結(jié)升華：1.求出mi=l7, m2=-l后，還要注意隱含條件m<0,舍去不合題意的m=17.【變式2】設(shè)與戶是方程x2-7mx+4m 2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且(4-1)(戶-1)=3 ,求m的值.思路點(diǎn)撥：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系把等式(4-1)( £-1)=3轉(zhuǎn)化為關(guān)于 m的方程.解：由于口與戶是方程x2-7mx+4m 2=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有&+£=7相磔二4溺匕所以，有(4-1)( g-1)= °6-(口+E )+1=4m 2-7m+1=3 .所以，得方程4m2-7m-2

11、=0 .1 m = - 解這個(gè)方程，4或m=2 .1 m - 經(jīng)檢驗(yàn)，4或m=2都能使判別式 A=(7m)2-4X (4m2)=33m2>0,1 m - 所以 4 , m=2都符合題意.總結(jié)升華：如果所求m的值使方程沒有實(shí)數(shù)根，就是錯(cuò)誤的結(jié)果，所以檢驗(yàn)的步驟是十分 必要的.討論方程的實(shí)數(shù)根的問題，只有在判別式的值是非負(fù)數(shù)時(shí)才有意義，在解決問題時(shí)應(yīng)注意這個(gè)重要的條件.4 .求簡單的關(guān)于根的對(duì)稱式的值.在關(guān)于一元二次方程的根 x1與x2的式子中，如果交換這兩個(gè)字母的位置后式子不變(我們常把這種式子叫做對(duì)稱式)，就可以通過恒等變形， 轉(zhuǎn)化為用x1+x2與x1x2表達(dá)的式子，從而可以利 用根與系

12、數(shù)的關(guān)系解決.1 12 i + 一如 而+無2,4/ , (1+x1)(1+x2)都是對(duì)稱式，它們可以變形為用x1+x2與x1x2表達(dá)的式子，如(1+x 1)(1+x 2) = 1+(x 1+x2)+x1x2,3 21 1 +巧=(x+x2)2-2x1x2, 等等.4.如果&與£是方程2x2+4x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求思路點(diǎn)撥:注意到交換 a與戶的位置時(shí)，代數(shù)式 a*+.+ f不變，所以代數(shù)式/ +a£+f是關(guān)于a與戶的對(duì)稱式.解：A=b2-4ac=8>0,1"方程有實(shí)根.a+ S- -2, aS=-, 2or +q£ + /= 3+用&

13、#39;一磔二卜2/一1 二4-422舉一反三:【變式1】已知&與g是方程3x2-也X-2g=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式值.思路點(diǎn)撥:的位置互換時(shí)，式子的形式不變，所以它們都是對(duì)稱式，可以轉(zhuǎn)化為含有 G+E與您 的式子，利用根與系數(shù)的關(guān)系簡化計(jì)算.解：由于a=3 >o,2/ <0,所以a >0,方程一定有實(shí)根.于是1+± + 1竺42為+”),八=-=二："=此把一一 ，L =:1 -+a1 1+ *3顯3 +布 3& +廝3+753總結(jié)升華:這是一個(gè)無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程，如果分別求出根&與P的值，計(jì)算過程將冗長而煩瑣,利用根與系

14、數(shù)的關(guān)系就可以有效地達(dá)到簡化計(jì)算過程的目的,讀者如果用求根后代入的方法演算一遍，將會(huì)有深刻的體會(huì).5.利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩個(gè)已知數(shù)是否方程的根，能夠求出以兩個(gè)已知數(shù)為根的一元二次方程.事實(shí)上，我們有這樣的定理：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)X1與X2使彳導(dǎo)Xi+X2=-p,且XlX2=q,那么X1與X2是方程x2+px+q=0的兩個(gè)根.證明如下：由于 xi+X2=-p, XlX2=q,那么方程x2+px+q=0可以化為x2-(x l+x2)x+x 1x2=0 , x 2-x 1 x-x 2x+x 1x2=0 , x(x-x i)-x2(x-x 1)=0 , (x-x i)(x-x 2)=0 ,

15、 - x=x 1 或 x=x2.這就是說，x1和x2是方程x2+px+q=0的兩個(gè)根.5.判斷下列方程后面括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)是不是方程的根: (1)x2-8x-20=0 , (10, -2);(2)6y 2+19y+10=0 ,).(3)a2-2 近 a+3=0, ( +也 -尤 + 布解：10+(-2)=+8=-(-8),10X (-2)=-20 ,10 與-2 是方程 x2-8x-20=03J19的兩個(gè)根;(2、(2J5+310+ 6 ,1- - 3與-2是方程6y2+19y+10=0的兩個(gè)根;雖然有 (+”)(-+尸+3,但是 (,匚+ " )+(-也 + 】E )=+2 出 手-(-2 返);所以丹+ 與-+/ 不是方程a2+2 ,一a-3=0的根.冊(cè))作一個(gè)以-