全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)試題及參考答案版

1、絕 密 啟 封 并 使 用 完 畢 前試題類型：新課標(biāo)出2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分，共24題，共150分，共4頁(yè)?？荚?結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū) 域內(nèi)。2 .選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑字跡的簽字筆書寫，字 體工整，筆跡清楚。3 .請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4 .作圖可先用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5 .保持卡

2、面清潔，不要折疊、不要弄破，不準(zhǔn)使用涂改液、修正液、刮紙刀。第I卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)集合 S=x|(x2)(x3)父0, T=x|x>0,則 SI T=A. 12,3】B. 21J 3, 二 C. 3, 二 D. 0, 21U3, 二【答案】D【解析】易得 s=H 2】Ub, +8), .1.sHt =(0, 2Uh + s),選 D【考點(diǎn)】解一元二次不等式、交集(2)若 z=1+2i ,貝U/一=zz -1【答案】C 【解析】易知z=1-2i,故zZ1=4, .L=i,選CZZ -1【考點(diǎn)】共輾復(fù)數(shù)、復(fù)

3、數(shù)運(yùn)算 (3)已知向量BA。里，品=(由I22 12A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】A3 3_3-【解析】法一：cos. ABC二就C好小，ABC =30'法二：可以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系，易知ZABx =60 , ZCBx =30；/ABC =30：【考點(diǎn)】向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算(4)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15C , B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫 約為5：'C .下面敘述不正確的是20匕的月份

4、平均衽3 平均“，A.各月的平均最低氣溫都在0：C以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于20 ：匕的月份有5個(gè)【答案】D八月，六月為20、左右，故最多3個(gè)【解析】從圖像中可以看出平均最高氣溫高于有七月、 【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別一、一 32(5)右 tan « =-,貝U cos & +2sin 2a =A.6425B.4825C. 1D.16256425【答案】A22cos '二，4sin、icos、i 1，4tan、£【解析】cos :工，2sin2= =22 =2cos :工一sin 二 1 ta

5、n 二【考點(diǎn)】二倍角公式、弦切互化、同角三角函數(shù)公式421(6)已知 a =23, b=33, c=253 ,則A. b :二 a ：c B. a ：； b ：； c C. b ： c ：a D. c ： a ： b【答案】A42212【解析】 a =23 =43, b=33, c =253=5"故cab【考點(diǎn)】指數(shù)運(yùn)算、募函數(shù)性質(zhì)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的a=4, b=6,那么輸出的n=A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】列表如下426-2426-24646460610162001234【考點(diǎn)】程序框圖(8)在ABC中，B =?, BC邊上的高等于1BC,則

6、 43cosA =A.嚕 B.嚕 C.聿 D. -30【答案】C【解析】如圖所示，可設(shè)A 2 59 cos A =2,2 、510二一兀nr/麗占/內(nèi)三Q* 卡工©_*a b-a- - -9 = 3+*/1=打 + 1Cmt)Cbd=ad=i,貝(Jab =72, dc=2,二 ac=75,由余弦定理知,【考點(diǎn)】解三角形(9)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面 體的三視圖，則該多面體的表面積為A. 18 36.5 B. 54 18,5 C. 90 D. 81【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)平行六面體，上下底面為俯視圖的一半，各個(gè)側(cè)面平行四邊形，故表面積為【考點(diǎn)】

7、三視圖、多面體的表面積(10)在封閉的直三棱柱ABC- ABC內(nèi)有一個(gè)體積為V 的球.若 AB, BQ AB=6, BC=8, AA=3,則V的最大值是A. 4 n B. 9 C. 6 n D.當(dāng)23【解析】由題意知，當(dāng)球?yàn)橹比庵膬?nèi)接球時(shí)，體積最大，選取過(guò)球心且平行于直三棱柱底面的截面，如圖所示，則由切線長(zhǎng)定理可知,內(nèi)接圓的半徑為2,又AA=3<2M2,所以內(nèi)接球的半徑為 弓，即V的最大值為 黑4=等 232【考點(diǎn)】?jī)?nèi)接球半徑的求法2(11)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：與十 a23 =1(a >b >0)的左焦點(diǎn)，A, B分別為C的左，右 b頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF，

8、x軸.過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M與y軸交于點(diǎn)E,若直線BM®過(guò)OE的中點(diǎn)，則C的離心率為A. 3B. C. 2 D. 1【解析】日行 ON OB _ a 勿倚 mF 一BF -a c,【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)、相似(12)定義“規(guī)范01數(shù)列” an如下:項(xiàng)為0, m項(xiàng)為1,且對(duì)任意k<2m,數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，若m=4,則不同白“規(guī)范01數(shù)列”共有()MFOEA. 18 個(gè)B. 16 個(gè)C. 14 個(gè)D. 12 個(gè)【答案】C【解析】【考點(diǎn)】數(shù)列、樹(shù)狀圖第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分.第(13)題第(21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答 第(22)題第(24)題為選考題，

9、考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共3小題，每小題5分x -y 1 _0(13)設(shè)x, y滿足約束條件x-2y <0,則2 = * + 丫的最大值為.x 2y -2 <0【答案】|【解析】三條直線的交點(diǎn)分別為-1), 1 -2J, (0, 1),代入目標(biāo)函數(shù)可得-3, 3, 1,故最小值為-10【考點(diǎn)】線性規(guī)劃(14)函數(shù)y =sin x-J3cosx的圖像可由函數(shù)y =sinx+T3cosx的圖像至少向右平移 個(gè)單 位長(zhǎng)度得到.(n )cosx =2sin lx 3,故可前者的圖像可【答案】V 3【解析】 / y =sin x - 3cosx =2sin lx - , y =s

10、in x 3 3由后者向右平移 4個(gè)單位長(zhǎng)度得到3【考點(diǎn)】三角包等變換、圖像平移 (15)已知f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=ln(-x)+3x,則曲線y=f(x )在點(diǎn)(1, -3)處的切線方程是【答案】2x y 1 =011【解析】法一：f'(x) =+3=1+3,二 f'(-1尸2,二 f'(1)=-2,故切線萬(wàn)程為 2x + y+1=0 xx.1法二：當(dāng) x>0 時(shí)，f (x)= f( - x Tn x-3 x 二 f'(x)=-3,二 f'(1 )=-2 ,故切線萬(wàn)程為 x【考點(diǎn)】奇偶性、導(dǎo)數(shù)、切線方程(16)已知直線l ：

11、 mx +y +3m 一擲=0與圓x2 +y2 =12交于A, B兩點(diǎn)，過(guò)A, B分別作l的垂線與x【解析】如圖所示，作AE_LBD于E,軸交于C,D兩點(diǎn)，若|AB|=273,則|CD|=7 AB| =2疝 OA =2 石，: OF =3 ,即，直線l的傾斜角為30°【考點(diǎn)】直線和圓、弦長(zhǎng)公式三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 (17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列 以的前n項(xiàng)和S=1 +入an,其中入W0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5=H，求入.32【答案】(1) ; (2)【解析】解：(1) ;Sn =1 0., -0當(dāng) n 之2 日寸，0

12、n = Sn Sn _1 =1 +，-On 1 Z.an_1 = &0n ，-On J.即(九一12=九!，;九#0, an #0, J.九一1 00,即九01即詈=六，(n之2 ),an 11. Q是等比數(shù)列，公比q=2 ,1 T當(dāng) n=1 時(shí)，Si =1 十九& =a1,(2)若& =311 - -15=31 -132【考點(diǎn)】等比數(shù)列的證明、由Sn求通項(xiàng)、等比數(shù)列的性質(zhì)（18）（本小題滿分12分）下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖.（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；建立y關(guān)于t的回歸

13、方程（系數(shù)精確到0.01）,預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量. 附注：參考數(shù)據(jù):777Z yi =9.32 ,工 tiyi =40.17 ,£ (y -y)2 =0.55 , H =2.646.i 1i 4. i 1n1 (ti -t)(yi _y)i 1r=.”(ti -1 ) " (y i -y)回歸方程y=a+bt中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1=0.92+0.10t ,1.82億噸【解析】（1）由題意得t =1 2 3 4 5 6 7 二47'、yiy = 1 1.33177因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說(shuō)明y

14、與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸方程來(lái)擬合y與t的關(guān)系n'、-f)(yi -y)(2) b=H)2i W2.890.10328所以y關(guān)于t的線性回歸方程為y =a+bt = 0.92+0.10t將t =9代入回歸方程可得，y =1.82預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約為1.82億噸【考點(diǎn)】相關(guān)性分析、線性回歸 （19）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐 P-ABC時(shí)，PZ底面 ABCD AD/ BQ AB=AD=AC=3, PA=BC=4, M為線段AD上一點(diǎn)，A附2MD N為PC的中點(diǎn).證明MN/平面PAB（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】（1）

15、見(jiàn)解析；（2）挈252【解析】（1）由已知得AM =-AD =2 ,取BP的中點(diǎn)T ,連接AT,TN ,31由 N 為 PC 中點(diǎn)知 TN/BC , TN =- BC =23分又AD/BC ,故TN平行且等于AM ,四邊形AMNT為平行四邊形，于是 MN / /AT .因?yàn)?ATU平面PAB, MN S平面PAB ,所以 MN/平面PAB6 分（2）取BC中點(diǎn)E,連接AE,則易知AE_LAD,又PA_L面ABCD ,故可以A為坐標(biāo)原M 0, 2, 0點(diǎn)，以AE為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 A(0, 0, 0 P(0, 0, 4 C(V5, 2, 0 1 N故平面PM

16、N的法向量n=（0, 2, 1）二直線AN與平面PMN所成角的正弦值為 噂25【考點(diǎn)】線面平行證明、線面角的計(jì)算 （20）（本小題滿分12分）已知拋物線C: y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1, l2分別交C于A, B兩點(diǎn), 交C的準(zhǔn)線于P, Q兩點(diǎn).若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR/ FQ（2）若PQF勺面積是 BBF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） y2=x-1【解析】法一：1由就設(shè) F（2，0）.設(shè) li: y =a,l2 ： y =b ,則 ab =0 ,且a2b2111 a bA（t，a）, B（2 ,b）,P（ -2, a）,Q

17、（-, b）, R（ 一工）.記過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x （a+b）y+ab=0 .由于F在線段AB上，故1+ab=0.記AR的斜率為k1 , FQ的斜率為k2 ,則1, a -b a -b 1 _ -ab k1 2 - 2= bb -b = k2 .1 a a -ab a a所以AR/ FQ.5分法二：證明：連接RF, PF,由 AP=AF, BQ=BF及 AP/ BQ 得/ AFR/ BF（=90° , 丁. / PFQ=90° , R是PQ的中點(diǎn), . RF=RP=RQ.PARI AFAR /PAR/ FAR /PRA：/FRA /BQ+/ BFQ=1

18、80° / QB=/PAF=2/PAR / FQB：/ PAR / PRA：/ PQF.AR/ FQ.(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0), 貝SABF =21b _a| FD| =21b -a| x1 _2 , S型QF =-2-由題設(shè)可得11b _a| x1 _1aj ,所以x1 =0(舍去)，x1 =1.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由女人8=卜口£可得2=±(*#1).a b x -1而 a2b =y ,所以 y2 =x _i(x#i).當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合.所以，所求軌跡方程為y2=x112分【考點(diǎn)】拋物線、軌跡

19、方程(21)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù) f (x )=acos2x+(a _1 (cosx+1 ),其中 a>0,記 f(x)的最大值為 A.(1)求 f'(x )；(2)求 A;證明：|f'(xjM2A.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1) f' x - -2a sin 2x - a -1 sin x(2)當(dāng) a 之1 時(shí),| f (x)|斗 acos2x+(a -1)(cosx+1)| <a+2(a-1) =3a-2= f (0)因止匕，A=3a2.當(dāng) 0<a<1 時(shí)，將 f(x)變形為 f (x) = 2acos2x + (a -1)cos x-1

20、 .令 g(t) =2at2 +1(a-1)t -1 ,則 A 是 |g(t)| 在-1,1上的最大值,一. 1 - ag(1)=a, g(1)=3a2 ,且當(dāng)t =時(shí)，g(t)取得極小值，4a/、221 - a (a _ 1) a ' 6a 1極小值為g ()= -1 = .4a 8a8a.1 - a11令1<<1,解得 a<-(舍去)，a>-.4a351 一，當(dāng) 0<a«一時(shí),g(t)在(-1,1)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn),|g(1)尸a, |g(1)|=23a, |g( 1)|<|g(1)|, 5所以 A =2-3a .11 -a當(dāng)<a<

21、;1 時(shí)，由 g(-1)-g(1) = 2(1-a)>0,知 g(1)>g(1)>g(一).54a21 -a(1 -a)(1 7a)1 -a a 6a 1又| g(丁)| T gLDL1>0,所以 A=|g()|=-4a8a4a 8a2 -3a,0 :二 a <15a2 6a 1 1(，a a < 18a 53a -2,a ,1(3)由得 | f (x)田-2asin 2x-(a -1)sin x|42a + |a -1| .1當(dāng) 0 <a W時(shí)，| f (x)怪 1 +a <2-4a <2(2 3a) = 2A.5,1. a 13當(dāng)一&l

22、t;a <1 時(shí)，A = +之1 ,所以 | f (x)區(qū)1+a <2A .58 8a 4當(dāng) a 之1 時(shí)，| f'(x)F3a1 W6a4=2A,所以 | f'(x) |W 2A.【考點(diǎn)】導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性、不等式證明請(qǐng)考生在22、23、24題中任選一題作答，作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目題號(hào)后的 方框涂黑。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。(22)(本小題滿分10分)選彳41:幾何證明選講如圖，。中AB的中點(diǎn)為P,弓P PC； PD分別交AB于E, F兩點(diǎn)。(I)若/ PFB=2Z PCD 求/ PCD勺大?。?II)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)

23、G,證明OGL CD【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)連結(jié) PB,BC ,則 NBFD =/PBA+/BPD,/PCD =/PCB+/BCD .因?yàn)?AP = BP,所以 /PBA=/PCB,又/BPD=/BCD,所以/BFD=/PCD.又 ZPFD +/BFD =180' ,/PFB =2/PCD ,所以 3/PCD =18。"， 因此 /PCD =60 .(2)因?yàn)?PCD=/BFD ,所以/PCD +/EFD =180，由此知C,D,F,E四點(diǎn)共圓，其圓心既 在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故G就是過(guò)C,D,F,E四點(diǎn)的圓的圓心, 所以G在CD的垂直平分線上，因此 OG_LCD.【考點(diǎn)】幾何證明選講(23)(本小題滿分10分)選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方