電路學(xué)習(xí)CH3_2(固有頻率)

1、1 電容充電方程狀態(tài)方程CCssCui RuduiCdtCCsduRCuudt對于齊次方程0CCduRCudt11CCdudtuRC 01lnCCCtduucuRC 111,tstRCCutc ec esRC 對于齊次方程，令 1tRCCutc t e代入非齊次方程00Ctu2 1111121tttRCRCRCstsRCtRCsdcRCecec eudtRCudcedtRCc tcu e 12ttRCRCCsutc t euc e初始條件 00Cu求得：2scu 1tRCCsutue最后得到33.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法一 方程的解xybdtdybdtydb01222 齊次解

2、yh(t) 特征方程 : b2s2+b1s +b0 = 0一階方程 : yh(t) = Kest ( s= - b0 /b1)二階方程 :yh(t) = K1es1t +K2es2t , Im s1= Im s0=0, s1 s0yh(t) = (K1+ K2 t) est , Im s=0, s1 = s0 = s , yh(t) = (K1sin t + K2cos t) et , s1,2 = j yh(t) = K1sin t + K2cos t, s1,2 = j 43.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法一 方程的解（二階線性非齊次微分方程）22100132,d ydybbb

3、yx b b bdtdt 求齊次方程的通解y221020d ydybbb ydtdt線性齊次微分方程通解的一般形式齊次方程的特征方程根為ste22100b sbsb12,ss為與時間無關(guān)的常數(shù)5當(dāng) ，通解為當(dāng) ，通解為 12ss1212s ts tyAeA e 12sss12styAA t e 2 求特解y特解y與激勵x具有相同的函數(shù)形式，當(dāng)x為直流激勵時，y為一常數(shù)4 利用初始條件求系數(shù)12,A A010200tyydyydt 3 求解的一般形式 y ty tyt63.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法二 解的穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量 uC = (U0 US)et/ + US110V+uC2

4、FuC (0+)=5VS0.5HiL (0+)=2AiLRUS+uCCuC (0)=U0SiuC = ( 5 + 4t) e-t + 10iL = (2+8t) e-t齊次解暫態(tài)分量 特解穩(wěn)態(tài)分量齊次解暫態(tài)響應(yīng)特解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)7特征方程和通解22100b sbsb根12,s ststseAeAyssss21212121,為實數(shù)，和且當(dāng)121212stsssssyAA t e當(dāng)，且 和 均為實數(shù)，1212,s ssjsj 當(dāng)為兩個虛根，12cossintyAtAt e 12cossinyAtAt 1212,s ssjsj當(dāng)為共軛復(fù)數(shù)，93.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法二 解的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)分

5、量 uC = (U0 US)et/ + USRUS+uCCuC (0)=U0Si齊次解暫態(tài)響應(yīng)(TSR) 特解 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(SSR) 由電路決定的(齊次方程，特征根 ）又稱：固有響應(yīng)(natural response NR)電路特征方程的特征根 電路的固有頻率TSR: transient state responseSSR: steady state response 特征方程的根s完全由電路元件參數(shù)所決定，而與電路的激勵和初始狀態(tài)無關(guān)，因此電路特征方程的根反映了電路的固有特性。由于它的倒數(shù)具有時間的量綱，所以將s稱為電路的固有頻率。固有頻率和固有響應(yīng)ttstRCKeKeKettLstRKeKe

6、Ke電容的固有響應(yīng)電感的固有響應(yīng)113.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法1 一階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率與固有響應(yīng)C含源電阻網(wǎng)絡(luò)R+uCC+usL含源電阻網(wǎng)絡(luò)RiLL+usSCCUudtduRCSLLURidtdiL固有響應(yīng): uCNR = Kest iLNR = KestRC串聯(lián)電路RL串聯(lián)電路R含源網(wǎng)絡(luò)的等效內(nèi)阻123.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法特征根: R+uCC+usRiLL+usSCCUudtduRCSLLURidtdiL特征根: 電容電路中，令: =RC 為時間常數(shù)量綱：RC ( (時間，時間，T T 秒秒 s)s)電感電路中，令: =L/R=GL 為時間常數(shù)量綱：L/

7、R ( (時間，時間，T T 秒秒 s)s) s=-1/ 具有頻率量綱，稱為電路的固有頻率110,RCssRC 0,RLsRsL 133.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法電路的固有頻率1 一階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率R+uCC+Us固有響應(yīng) uCNR = Kest , iLNR = Kest 時間常數(shù) 、固有頻率 s=-1/ 決定了固有響應(yīng) y 衰減的快慢 y=Kest RiLL+usKKsdtdyt00Kty143.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率1 一階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率固有響應(yīng) uCNR = Kest , iLNR = Kest 時間常數(shù) 、固有頻率 s=-1/ 決定

8、了固有響應(yīng) y 衰減的快慢 y=Kest 153.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法R+uCC+Us電容電路: uC = US + Kest (s=-1/)若 uC (0) =0則 K= US ， uC = (1- e-t/ ) US (t 0)t 0 2 3 4 5 uC 0 0.63uS 0.87uS 0.95uS 0.98uS 0.99uS uS當(dāng)t=(35) 時, uC已達穩(wěn)態(tài)StCudtdu00uStuC163.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法例3-5已知 uC (0) =2V, 求uC (t) (t 0)i1=2, uOC=4i1+2i1=12 VR0: 10+uC0

9、.1F+12V4+uC0.1F4+ 2i1 2Ai1t=0解:(1) 求左網(wǎng)絡(luò)的戴維寧等效uOC:44+ 2i1 2Ai1+uOC44+ 2i1 i1+u設(shè) i1=1, 則 u=4+4+2=10 V R0=10 =1, 則 uC = 12 +Ke-t代入初始值: uC (0) = 2 = 12 + K K= -10 因此: uC = 12 -10e-t V (t 0)173.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng)微分方程：+uS+uCRLiCSCCCuudtduRCdtudLC22特征方程： s2 + 2s + 02 = 0令LCLR120

10、衰減因子諧振頻率則齊次方程220220cccd uduudtdt齊次方程：220CCCd uduLCRCudtdt183.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng)022022dtdudtudcc特征方程 02202ss特征根2/12022, 1sLCLR120齊次方程 特征根即電路的固有頻率，它將確定固有響應(yīng)的形式。固有頻率 s1 和 s2 可以有四種情況(1) 當(dāng) 0時，s1, s2 為不相等的負實數(shù)；(2) 當(dāng)=0時，s1, s2 為相等的負實數(shù)；(3) 當(dāng)0 0時，s1, s2 為不相等的負實數(shù)；Ras1s242

11、-0.2679-3.732131.5-0.382-2.618 0.26793.73210.3822.6181.07740.0774,41.17080.1708,3ttCttCuteeRuteeR 過阻尼(2) 當(dāng)=0時，s1, s2 為相等的負實數(shù)； 122 ,11,1,1tcRsAAutt e ，臨界過阻尼(3) 當(dāng)0 0即 時:CLR22022, 1s0 )(2121teKeKtutstscs2 s1ResjIms0固有響應(yīng)：022022dtdudtudcc齊次方程 若： =2.5, 0 =2 , uC (0) =1, uC(0) = 0 , C=1F則： s1 = -1, s2 = -4

12、)0( 31344teeuttC)0( 34344teeittLOt1uC iLuCiLtm253.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng) (過阻尼)對iL 求導(dǎo)可得 tm 值從物理意義上講： 從初始時刻開始，電容通過電感和電阻放電，其中一部分電能轉(zhuǎn)換為磁能被電感儲存，另一部分被電阻消耗；由于串聯(lián)回路中電阻更大(R2 4L/C)，所以能量消耗比能量轉(zhuǎn)換儲存更迅速；到 t=tm 時，電流達到最大值，以后磁能不再增加，而是隨著電流的衰減而逐漸釋放，連同電能一起被電阻消耗掉。因此電容電壓單調(diào)衰減，形成非振蕩放電過程。OtU

13、0uC iLuCiLtm+uCRLiC263.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng) (臨界阻尼)特征根2/12022, 1sLCLR1 , 20固有響應(yīng)：022022dtdudtudcc齊次方程 若： =6, 0 =6 , uC (0) =1, uC(0) = 0 , C=1F則： s1 = s2 = -6)0( )61 (6tetutC)0( 366teitLOt1uC iLuCiLtm(2) 當(dāng)0即 時: s1,2=CLR20 )( 21tetKKtutcs1 s2ResjIms0273.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法

14、低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng) (臨界阻尼)特征根2/12022, 1sLCLR1 , 20固有響應(yīng)：022022dtdudtudcc齊次方程 從上兩種情況：電路固有響應(yīng)仍然是非振蕩性的，但如果電阻稍稍減小一點點，以致R2 4L/C，則響應(yīng)將為振蕩性。因此，符合條件R2 = 4L/C時的響應(yīng)處于臨近振蕩狀態(tài)，稱為臨界阻尼(critically damped) 。Ot1uC iLuCiLtm(2) 當(dāng)0即 時: s1,2=CLR20 )( 21tetKKtutcs1 s2ResjIms0283.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方

15、法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng) (欠阻尼)特征根2/12022, 1sLCLR1 , 20固有響應(yīng)：022022dtdudtudcc齊次方程 若： =4, 02 =200 , uC (0) =1, uC(0) = 0, C=1F則： s1 = -4+j13.56, s2 = -4-j13.56)0( )75 .7356.13sin(043. 140tetutC)0( )56.13(sin746.144tetitL(3) 當(dāng)0即 時:CLR2djjs2202, 1220d其中為振蕩角頻率s1ResjIms0s2-d-dtKtKeuddtCsinco

16、s21Ot1uC iLuCiL293.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng) (欠阻尼)可見： uC(t) 是衰減振蕩性的，振幅Ke t 隨時間作指數(shù)衰減。 00 (0R2 4L/C)、能引起衰減振蕩的情況稱為欠阻尼(underdamped) 。tKtKetuddtCsincos)(21)/(KK )cos()(1221KKArctgKtKetudtC將上式改寫為OtuC(t)Ke t 包絡(luò)線 Ke t 包絡(luò)線周期 =d2U0uC(t) = Ke t cos ( dt + )303.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分

17、析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng) (欠阻尼)衰減因子： = L/2R 稱為衰減因子， 越大，衰減振蕩的振幅衰減得就越快，反之則越慢。 振蕩角頻率： d 稱為振蕩角頻率， d 越大，衰減振蕩的速度就越快，周期T越小，反之則速度越慢、周期T越大。 包絡(luò)線(envelope)： 按 Ke t 變化的曲線， 將振蕩信號包裹在中間，其衰減速度取決于 。 )/(KK1221KKArctgKOtuC(t)Ke t 包絡(luò)線 Ke t 包絡(luò)線周期 T =d2U0uC(t) = Ke t cos ( dt + )313.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三

18、電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng) (欠阻尼)當(dāng)振幅從K從衰減到0.01K時，可認為振蕩終止設(shè)經(jīng)歷了N個振蕩周期，時間為NT ： Ke NT 0.001K NT= ln(100)=4.6 振蕩周期 N=4.6/(T)= 4.6 d /(2 )tKtKetuddtCsincos)(21)/(KK1221KKArctgKOtuC(t)Ke t 包絡(luò)線 Ke t 包絡(luò)線周期 T =d2U0uC(t) = Ke t cos ( dt + )323.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有響應(yīng)

19、(無阻尼)特征根2/12022, 1sLCLR1 , 20固有響應(yīng)： uC=K1cos 0t + K2sin 0t 022022dtdudtudcc齊次方程 若： =0, 02 =8 , uC (0) =1, uC(0) = 0, C=1F則： s1 = j2.83, s2 = -j2.83)0( )83. 2cos(ttuC)0( )83. 2sin(83. 2ttiL(4) 當(dāng)=0 即 R=0 時: s1,2= j 0s1ResjIms0s20-00t1uC iLuCiL333.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率RLC串聯(lián)電路的固有頻率和固有

20、響應(yīng) (無阻尼)固有響應(yīng)： uC=K1cos 0t + K2sin 0t OtuC(t)U0周期 =02K K= 0，包絡(luò)線Ke t 變成 K ，因此振蕩信號就變成幅度恒定的等幅振蕩。能量在L、C之間無損失地交替轉(zhuǎn)換儲存。諧振角頻率： 當(dāng)電路等幅振蕩時的角頻率0 = 1/ LC，稱為諧振(resonant)角頻率，是電路的固有頻率（s = j 0）。特點：特點： 瞬時儲能瞬時儲能 w(t) = 初始儲能初始儲能 w(0)34+uC10.25HiL1FRLC3.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率(例)已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 0；求i

21、L(t)，t0。解：電路處于臨界阻尼狀態(tài)。iL(t) = K1e 2 t + K2te 2 t A，t0iL(0) = K1 = 021 , 220LCLR21,24)0()0()0()0()0(KKLuLuuLuiCCRLL由上兩式可得 K1 = 0， K2 = 4 因此 iL(t) = 4te 2 t A , t035+uC10.25HiL1FRLC3.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法三 電路的固有頻率 2 二階網(wǎng)絡(luò)的固有頻率(例)已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 0；求iL(t)，t0。解：電路處于臨界阻尼狀態(tài)。iL(t) = 4te 2 t A , t0頂點計算：令diL

22、/dt = 0，可得 4te 2 t(1-2t)=0，即t=0.5S，代入原式可得 iL(0.5) = 40.5e 2 0.5 = 2/e = 0.7376 Ot0.74iL(A)0.536+uC30.5HiL0.25FRLC3.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法(例)已知 uC(0)= 2V，iL(0)= 1A；求uC(t)、 iL(t)，t0。解：代入初始條件得K1 = 6, K2 = 4即 uC(t) = 6e 2 t 4e 4 t V ，t0iL(t) = CduCdt= 4e 4 t 3e 2 t A ，t0Ot6e 2 t4e 4 tOt1iL(A)uC(V)24e 4 t3

23、e 2 t81 , 320LCLR4, 2132, 1sttceKeKu422137+uC11HiL1FRLC3.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法(例)已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 1A；求uC(t) ，t0。解：23 1 212200d2321s1,2jjduC(0) = K1 = 1， uC(0) = K1 + dK2 =iL(0)CuC(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) ，t0= 1K1 = 1， K2 = 3因此uC(t) = e t ( cos23t +323sint ) V， t038+uC11HiL1FRLC3.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析

24、方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法(例)uC(t) = e t ( cos23t +323sint ) V或uC(t) = 2e t cos233Vt Ot22uC(t)12e t2e t393.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法(例)已知 uC(0)= 1V，iL(0)= 1A；求uC(t) 、iL(t) ，t0。s1, 2 = j 0 = j LC1= j 2uC(t) = K1 cos 0t + K2 sin 0t即 uC(t) = cos 2t + 1/8 sin 2t = 1.008 cos(2t 7) V ，t0iL(t) = CduCdt= 8 sin 2t + cos 2t = 8.

25、06 cos(2 t + 82.875) A，t0+uC1/16 HiL4FLC解：=0 , uC(0) = K1 = 1， uC(0) = 0K2 =iL(0)C= 1/4 K1 = 1， K2 = 1/8403.3 低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法低階網(wǎng)絡(luò)的分析方法(例)已知: R2 0 =1 過阻尼625- ,625- 2452, 1s強制響應(yīng) iLNR=1iL(0)=0=1+K1+K2iL(0)=u(0)/L=0= s1K1+ s2K2得求K1 K2：K1 =s2s1 s2K2 =s1 s2s1= 5+24=665 2466因此完全解的形式tstsLeKeKi21211 固有響應(yīng) ：0 =1 ， G/(2C )=G/2ttLeei)625()625(64625646251463.3 低階