第5章級(jí)數(shù)理論與含參量積分

1、五章 級(jí)數(shù)理論與含參量§1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一基本內(nèi)容：1.級(jí)數(shù)收斂的定義：設(shè)un 為一個(gè)數(shù)列，將其各項(xiàng)依次用“ + ”號(hào)連接所得的表達(dá)式u1 + u2 + + un + ¥稱為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱為級(jí)數(shù)，記為åun 或åun .n=1令 sn = u1 + u2 +L+ un 稱為級(jí)數(shù)åun 的第n 個(gè)項(xiàng)部分和，sn 稱為級(jí)數(shù)åun 的部分和數(shù)列.若åun 的部分和數(shù)列sn 收斂，則稱級(jí)數(shù)åun 收斂，并稱其極限 s = lim s 為級(jí)數(shù)å nunn®¥的和.即 s = åu

2、n .若sn 發(fā)散,則稱級(jí)數(shù)åun 發(fā)散.2. 性質(zhì)（1）級(jí)數(shù)收斂的準(zhǔn)則級(jí)數(shù)åun 收斂的充分必要條件是： "e > 0 , $N ,當(dāng) n > N 時(shí), "p Î N ,有+| un+1 + un+2 +L+ un+ p | < e .（2）級(jí)數(shù)收斂的必要條件是lim un = 0 .n®¥（3） 線性運(yùn)算性質(zhì)若åun 與å vn 均收斂， c, d Î R ，則å(cun + dvn ) 收斂，且å(cun + dvn ) = cåun + d

3、 åvn .（4） 去掉、增加或改變一個(gè)級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，不改變其斂散性.（5） 給一個(gè)收斂的級(jí)數(shù)任意加括號(hào)組成的新級(jí)數(shù)仍收斂且其和不變.3. 正項(xiàng)級(jí)數(shù)（同號(hào)級(jí)數(shù)）的斂散性.（1） 若åun 的各項(xiàng)級(jí)數(shù)符號(hào)相同，則稱之為同號(hào)級(jí)數(shù)，同號(hào)級(jí)數(shù)可分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)與負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù).（2） 正項(xiàng)級(jí)數(shù)åun 收斂的充要條件是其部分和數(shù)列有上界.（3） 比較判別法及其極限形式比較判別法：設(shè)åun 與å vn 為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若$N ，當(dāng) n > N 時(shí)，有un £ vn ，則（i）若å vn 收斂，則åun 收斂.（ii）若å

4、un 發(fā)散，則å vn 發(fā)散.比較判別法的極限形式：若 lim un = l ，則n®¥ vn()當(dāng)0 < l < +¥ 時(shí)， åun 與å vn 具有相同的斂散性；（）當(dāng)l = 0 時(shí)，若å vn 收斂，則åun 收斂；（）當(dāng)l = +¥ 時(shí)，若å vn 發(fā)散，則åun 發(fā)散.（4）比式判別法及其極限形式比式判別法：設(shè)åun 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若$N Î N ，有（）當(dāng) n > N 時(shí)， $q > 0 ，使得 un+1 £ q <

5、 1 ，則åu 收斂；nun（）當(dāng) n > N 時(shí)，有 un+1 ³ 1，則åu 發(fā)散，nun比式判別法的極限形式：un+1設(shè)åu 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且lim= q ，則nun®¥n（）當(dāng) q < 1時(shí)， åun 收斂；（）當(dāng) q > 1 或 q = +¥ 時(shí)， åun 發(fā)散；（）當(dāng) q = 1 時(shí)，該判別法失效.（5）根式判別法極其極限形式根式判別法：設(shè)åun 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若$N Î N ，有（）當(dāng) n > N 時(shí)， $q > 0 .使得 n un £

6、; q < 1，則åun 收斂 ；() 當(dāng)n > N 時(shí),有 n un ³ 1，則åun 發(fā)散.根式判別法的極限形式：設(shè)åun 為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且limun= q ，則nn®¥() 當(dāng)q < 1時(shí)， åun 收斂；() 當(dāng)q > 1 時(shí)， åun 發(fā)散；() 當(dāng)q = 1 時(shí)，本判別法失效.(6)判別法設(shè) f 為1, + ¥)上的非負(fù)遞減函數(shù),那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)å f (n) 與無窮相同的斂散性.4. 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)交錯(cuò)級(jí)數(shù).若交錯(cuò)級(jí)數(shù)å(-1)n+1u (u >

7、; 0) ， 滿足：nn+¥òf (x)dx 具有1() lim un = 0 ，n®¥()un 單調(diào)遞減；則å(-1)n+1u 收斂，且其和的符號(hào)與第一項(xiàng)符號(hào)相同，和的絕對(duì)值不超過第一項(xiàng)的絕對(duì)值.n級(jí)數(shù)，且| Rn |£ un+1 .注意，級(jí)數(shù)的仍是(2) 絕對(duì)收斂與條件收斂級(jí)數(shù)()定義設(shè)åun 為一任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，若å| un |收斂，則稱åun 絕對(duì)收斂；若åun 收斂，而å| un |發(fā)散，則稱åun 條件收斂.() 絕對(duì)收斂必收斂，反之不真.() 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的任一重排

8、級(jí)數(shù)(更序級(jí)數(shù))仍收斂且其和不變；條件收斂級(jí)數(shù)總可以適當(dāng)?shù)刂嘏? 使之收斂于任一預(yù)先給定的數(shù).若åun與å vn 均絕對(duì)收斂，其和分別為 A 與 B ，則乘積(åun )(åvn ) 按任意方式排列所得級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂， 且其和為 AB .注意：級(jí)數(shù)乘積常用的排列方法為正方形法與對(duì)角線法.（3）一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別變換：設(shè) ai , bi(i = 1,2,L, n) 為兩組實(shí)數(shù)，令()Bk = b1 + b2 +L+ bk ,則有：(k = 1,2,L, n)nå aibi= (a1 - a2 )B1 + (a2 - a3 )B2 +L+ (a

9、n-1 - an )Bn-1 + an Bn .i=1()判別法若åun 收斂，而數(shù)列vn 單調(diào)有界，則åunvn 收斂.判別法.若åun 的部分和序列有界，而vn 單調(diào)收斂于0 ，則åunvn 收斂.（）二 難點(diǎn)與有用結(jié)果1. 所有級(jí)數(shù)組成的集合與所有數(shù)列組成的集合之間有個(gè)一一對(duì)應(yīng).2. 設(shè)åun ， å vn 與å wn 為三個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，且$N ，當(dāng) n > N 時(shí)，有un £ vn £ wn ，若åun與å wn 均收斂，則å vn 收斂（迫斂性）.3.給一個(gè)一般

10、項(xiàng)級(jí)數(shù)加括號(hào),若每個(gè)括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)符號(hào)相同,則新級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的斂散性.4.若lim un+1 = l ³ 0 ,則lim n u= l ,故在理論上在正項(xiàng)級(jí)數(shù)中凡能用比式判別法的極限nun®¥n®¥n形式判別的必能用根式判別法的極限形式判別.5.正項(xiàng)級(jí)數(shù)是否收斂取決于其通項(xiàng)收斂于0 的速度,常用到的用于作為參照級(jí)數(shù)的通:1nn1 ,1an1n p1(a > 1),(p > 0),(q > 0),L,ln q nn!其趨于0 的速度依次遞減，且不在同一個(gè)數(shù)量級(jí)數(shù)上1( p > 1) 收斂于0 的若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于0

11、 的速度快于n ln n × ln ln n × (ln ln ln n) p速度，則收斂否則發(fā)散6.若一個(gè)級(jí)數(shù)變號(hào)有限次，則將其前有限項(xiàng)去掉后為同號(hào)級(jí)數(shù)；若級(jí)數(shù)無窮次變號(hào)，給該級(jí)數(shù)適當(dāng)?shù)募永ㄌ?hào)，使括號(hào)中的各項(xiàng)符號(hào)相同，相鄰兩個(gè)括號(hào)中的各項(xiàng)符號(hào)相反，則所得的交錯(cuò)級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)具有相同的斂散性從這個(gè)意義上講，一個(gè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)均可化為同號(hào)級(jí)數(shù)或交錯(cuò)級(jí)數(shù)去討論= | un | +un= | un | -un7.設(shè)åu 為一任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，令v，則 å v 與å w 為， wnnnnn22= vn + wn ，若åun 絕對(duì)收斂，則å vn

12、 與å wn 均兩個(gè)同號(hào)級(jí)數(shù)，且un = vn - wn ， un收斂若åun 條件收斂，則å vn 與å wn 均發(fā)散即å vn = å wn = + ¥ 8.判別法是判別法的特例， 滿足判別法的條件，可推出必滿足判別法的條件，即在理論上凡能用判別法判別的必能用判別法判別9.比較判別法的極限形式對(duì)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)不適用2sin n + sin nsin nsin 2 nsin nnnå= 1，但å(+收斂，且lim) 發(fā)散例如sin nnnn®¥nn¹ oæ 1 

13、46;å n10設(shè)u 收斂，且u > 0 ，但u(n ® ¥) ç n ÷nnèøì 1n = k 2= ï n¹ oæ 1 öå n(n ® ¥) ，則顯然u 收斂，但uç n ÷令uí 1 nnèøïîn2n ¹ k2但若加條件un 單調(diào)遞減，則結(jié)論成立三基本題型及處理方法1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別判別數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)åun 的斂散性考慮的先后順序是：首先正項(xiàng)

14、級(jí)數(shù)å| un |的斂散性使用判別法的先后順序是根式或比式判別法，判別法，比較判別法，最后考慮部分和數(shù)列是否有界問題如果得出å| un |收斂，則問題解決如果還不能解決，再考慮åun是否條件收斂，先看åun 是否是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，如果是交錯(cuò)級(jí)數(shù)可考慮使用判別法，如果不是，再考慮使用耳和判別法，最后考慮使用收斂準(zhǔn)則在此過程中可能涉及到各種技巧，下面通過一些例題來說明：例 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性¥（1） å¥（2） å( 1 - ln(1 + 1 ) ； 1；n=2 n p ln q nnnn=1n¥¥p

15、ln n1(3) å(1 -n=1ån=2( p > 0) ；)(4)；ln nn(ln n)¥an n!¥n - 1(5) ån=1(6) å(n=2(a > 0) ；n + 1 -pn ) ln；nnn + 1¥(-1)n¥(-1)n(7) åln(1 +n=2(8) ån=2)( p > 0) ；n pn + (-1)n11n p ln q n解 （1）當(dāng) p > 1時(shí)， "q ，由于lim= lim= 0 ，p-11n®¥n®

16、;¥nln q n21+ p2n11而åå收斂，所以收斂1+ p2n lnpqnn11- p2nå 1 å1n p ln q n當(dāng) p < 1 時(shí)，"q ，由于 lim= lim= +¥ ，而發(fā)散，所以11+ p2n®¥ ln q nn p ln q nn®¥n1+ p2n發(fā)散當(dāng) p = 1時(shí)，由，當(dāng) q > 1 時(shí)收斂；當(dāng) q £ 1時(shí)發(fā)散判別法（2）（法一）：21112n21+ o() ，所以由于ln(1 + o(x ) ， 所以ln(1 +) =-nn2n2

17、2111111åun = n - ln(1 + n ) = 2n 2 - o() ，故(- ln(1 +) 收斂2nnn（法二）：由于n= åk =1n( 1 - ln(1 + 1 ) = ån1 - å(ln(k + 1) - ln k )Snkkkk =1k =1n= ån1 - ln(n + 1) = å 1 - ln n + ln n ，n + 1k =1 kk =1 k¥å），所以lim S = c ，即( 1 - ln(1 + 1 ) 收斂而lim (1 + 1 +L+（nnn2n®¥

18、;n®¥n=1p ln np 2 ln 2 np 2 ln 2 np ln n+ o(（3）由于ln un = n ln(1 -) = n(-)2n2n2nn1p 2 ln 2 np 2 ln 2 n= ln-+ o()，n p2nn- p2 ln2 n +o p2 ln2 nln 1p2 ln2 np2 ln2 n1+o ()，)n p e-所以 u = e=e2nn2nnnn p- p2 ln2 n +o p2 ln2 n()lim n pu = lim en2= 1，2n所以nn®¥n®¥所以當(dāng) p > 1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)

19、 p £ 1 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散（4）由于當(dāng)n ³ e9 時(shí)，有l(wèi)n n > e2 ；所以有(ln n)ln n> (e2 )ln n= n2 ；11即當(dāng) n ³ e9 時(shí)，有<，所以級(jí)數(shù)收斂(ln n)ln nn2an+1 (n + 1)!(n + 1)n+1uannaa（5）由于 n+1 =®(n ® ¥) ，e(n + 1)n1an n!u(1 +)nnn nn所以，當(dāng)a < e 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng) a > e 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng) a = e 時(shí)，由于(1 + 1 )n < e ，故有 un+1

20、79; 1 ，所以åu 發(fā)散nnun1111（6）由于( n + 1 -n ) p = () p=×(n ® ¥)2 ppn + 1 +(2 n ) pnn 2ln n -1 = ln(1 - 2- 112(n ® ¥) ，所以u(píng) ×(n ® ¥) n2 p-1n + 1n + 1n + 11+ p2n所以，當(dāng) p > 0 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng) p £ 0 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散(-1)n(-1)n1 11+ o() ，n2 p（7）由于un = ln(1 +) =-2 n2 pn pn p(-1)n(

21、-1)n所以，當(dāng) p > 1時(shí)， å絕對(duì)收斂；當(dāng)0 < p £ 1時(shí)， å收斂；n pn p11111åå當(dāng) p >時(shí)，×絕對(duì)收斂；當(dāng)0 < p £時(shí)，發(fā)散22 n2 p22 p2n11所以當(dāng) < p £ 1時(shí)，åu 條件收斂；當(dāng) p > 1時(shí)，åu 絕對(duì)收斂，當(dāng) < p £ 1時(shí)，nn22åun發(fā)散(-1)nn - (-1)n(-1)nn1= (-1) ×=-n - 1n（8） unn - 1n - 1n + (-1)n1

22、-1 - xx 2n由于()¢ =< 0(x > 1) ，所以單調(diào)遞減，且當(dāng)n ® +¥ 時(shí)，x -1n - 12 x (x -1)2 n ® 0 ，故å (-1)nn收斂，而å 1 發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散n - 1n - 1n -1例 2證明級(jí)數(shù)åu 與u (1 + 1 ) 具有相同的斂散性nånnì1 ü1證：若åu 收斂，由于 1 +單調(diào)有界，由å n(1 +) 收斂níý判別法可知：unîþn=u (1 + 1 ) &

23、#215; () ，而ìü 單調(diào)有反之，若u (1 + 1 ) 收斂，則由于unnåånåí n + 1ýnnnn + 1nîþ判別法知åun 收斂界，故由an例 3設(shè)數(shù)列a 非負(fù)遞增，證明：級(jí)數(shù)å(1 -) 收斂Û a 有界nnan+1證："Ü"：已知數(shù)列an 有界，且單調(diào)遞增，故lim an 存在，并設(shè)其為a ，n®¥ak +1 - akak +1 - akn= ån(1 -) = åakn£

24、 å= 11(a- a )而 Sn+11naaaak =1k +1k =1k +1k =11a - a¥，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有界知：å(1 -) 收斂由于lim 1 (a- a ) =an1n+11n®¥ aaan=1n+111"Þ" ：假設(shè)an ，由an 單調(diào)遞增知lim an = +¥ ，于是"n ，$P0 ，使> 2an ，an+ pn®¥0- ann+ P0 -1n+ p0 -1 a- an+ p0 -1 a- aan+ paa12åk =n

25、29;k =nåk =n(1 - k ) =ak +1 k +1k ³ak +1 k +1k =0= 1 -n ³有：an+ pan+ pan+ p000an由準(zhǔn)則知， å(1 -) 發(fā)散an+1¥ f (x)x= 0 ，證明：f ( 1 )å例 4設(shè) f (x) 在 x = 0 某鄰域內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且limnx®0n=1絕對(duì)收斂f (x) = 0 知f (0) = f ¢(0) = 0 ，將 f (x) 在 x = 0 處展開有：證明 由limxn®¥+ f ¢ (x )f

26、62; (x )x 2¢， x Î (0, x) 或(x,0) ，f (x) = f (0) + f (0)xx =222f (x) = lim f ¢ (x ) =f ¢ (0)，（由于 f ¢ (x) 在 0 處連續(xù)）即有l(wèi)imx222x®0x®01f ( )n |= 1 |f ¢ (0) | ，由于å 1 收斂，得å f ( 1 ) 絕對(duì)收斂所以 lim |1n2n22nn®¥¥¥例 5若級(jí)數(shù)å an 滿足：（1） lim an = 0 ，

27、（2） å(akn+1 + akn+2 +L + ak (n+1) ) 收斂，n=1n®¥n=1其中 k ³ 2 為正整數(shù)，則åan 收斂.證明 設(shè)å an 的部分和數(shù)列為Sn ，則由已知條件（2）知lim Skm 存在，且設(shè)為 S m®¥則lim Skm+1 = lim(Skm + akm+1 ) = lim Skm = S ；m®¥m®¥m®¥LL,= lim (Skm + akm+1 +L+ akm+k -1 ) = S ，lim Skm+k -1m

28、®¥m®¥所以lim Sn = S ，故級(jí)數(shù)å an 收斂n®¥¥例 6設(shè)級(jí)數(shù)åun 滿足：加括號(hào)級(jí)數(shù)å(unk +1 +L+ unk +1 ) 收斂，且在同一括號(hào)中k =1un +1 ， un 符號(hào)相同，證明åun 收斂kk +1¥證明 由于å(unk +1 +L+ unk +1 ) 收斂，由準(zhǔn)則有k =1"e > 0 ， $K ，當(dāng) k ³ K 時(shí)， "l Î N ，有(un +1 +L + un) +L+ (un

29、+1 +L+ un)kk +1k +lk +l +1取 N = nK ，則當(dāng) n > N 時(shí)， "p Î N ，則$i ³ K ， l Î N ，使得nK £ ni < n £ ni+1 ， ni+l +1 £ n + p < ni+l +1 .故有< eun+1 +L+ un+ p=un+1 +L+ un +1 +L+ un+L+ un+1 +L+ un+ un +1 +L+ un+ pi +1i +1i +l -1i +li +l£un+1 + L+ uni +1un+1 +L + un

30、i +1+ un +1 + L+ un+ L+ un+1 + L+ uni +1i +li + l -1i + l+ un +1 + L+ un+ pi + l£+ e + un +1 +L+ un+ pi +l< 3e據(jù)準(zhǔn)則知åun 亦收斂¥例 7.設(shè)a > 0 ，證明級(jí)數(shù)åan收斂n(1 + a )L(1 + a )n=11n證明 顯然級(jí)數(shù)為一正項(xiàng)級(jí)數(shù)且a1anS =+L +n1 + a(1 + a )L(1 + a )11na11111=+ (-) +L + (-)1 + a11 + a1(1 + a1 )(1 + a2 )(1 + a

31、1 )L(1 + an-1 )(1 + a1 )L(1 + an )1= 1 -< 1(1 + a1 )L(1 + an )即級(jí)數(shù)的部分和序列有界，故收斂2收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用例 8若正項(xiàng)級(jí)數(shù)åu 收斂，且數(shù)列u 單調(diào)則lim nu = 0 ，即u = o( 1 )(n ® ¥) nnnnnn®¥證明 顯然un 單調(diào)遞減，否則åun 將發(fā)散由于åun 收斂，據(jù)準(zhǔn)則有："e > 0 ， $N ，當(dāng) n > N 時(shí)， "p Î N ，有| un+1 +L+ un+ p |<

32、 e ，取 p = n ，得e > un+1 +L+ u2n ³ nu2n ，故有(2n)u2n < 2e ，所以lim 2nu2n = 0 n®¥又0 £ (2n +1)u2n+1 £ (2n +1)u2n = 2nu2n + u2n ，所以lim(2n +1)u2n+1 = 0 n®¥1所以lim nun = 0 ，即un = o( )(n ® ¥) nn®¥注：不滿足單調(diào)性結(jié)論不真（反例見（二）例 9(1)若級(jí)數(shù)åan 與å cn 均收斂，且 an

33、 £ bn £ cn ，則åbn 收斂；an（2）若 a >0，且åa 收斂，則"p > 1 ，有å收斂；nnn p2(3) 若å an 與åb均收斂，則å a b 收斂2n n2n證明 (1)由已知有0 £ bn - an £ cn - an ，而å(cn - an ) 收斂，故 å(bn - an ) 收斂，又åan 收斂，所以åbn = å(bn - an ) + an ) 收斂an£ a + 1 ，且 p

34、> 1 ，故 1 åå收斂，又a 收斂，故（2）由于nnn pn2 p2 p2nan1åå(a +) 收斂，由比較判別法知，收斂nn p2 pna 2 + b2ånn2 + b 2 ) 收斂，故å a£ nn ，而2（3）由于a b(ab收斂n nn n¥例 10 （1）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)åan 收斂， rn = å ak ，則k =n¥（） å發(fā)散，an¥（） ån=1anrn收斂rnn=1n（2）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)åan 發(fā)散， sn = å

35、 ak ，則k =1（） å an 發(fā)散，an（） å收斂s2snn證明 (1) ()由于an+ pan+1 +L+ an+ prn+1 - rn+ p+1n+ prn+ p+1ak ran+1åk =n+1=+L+³= 1 -，rrrrrn+1n+ pn+1n+1n+1krn+ p+1時(shí)，有< 1 2又åa收斂，故 lim r= 0 ，所以"n Î N ， $N ，當(dāng) p > Nn+ pnnnrp®+¥n+1a> N ，取 p = N+1，總有 n0 +1+ L + an0 + p0取

36、e = 1 ， "N ，³ 1 = en，000n002rr2n0 +1n0 + p0所以å an 發(fā)散rn- rn+1 ，而an = rn rn()由于rna n11r -r=(r - r) ³(r - r) =，nn+1nn+1nn+12 x2 r2 rnnnå n= 0 ，所以級(jí)數(shù)å( rn -其中x 介于 r與 r 之間，由于a 收斂，故lim rnrn+1 ) 收n+1nnn®+¥an斂，由比較判別法知å收斂rnan+ psn+ p - sn+1n+ pakan+1sn+1= 1 -，由于

37、29;an 發(fā)散，故såk =n+1=+L+³s(2) ()由于ssskn+1n+ pn+ pn+ psn+1= 0 ，故對(duì) 1 > 0 ， $N ，當(dāng)lim s= +¥ ， ("n Î N )，故"n Î N ，有 limn+ pnp®+¥ s2p®+¥n+ psn+1< 1 ，所以取e = 1 > 0 ， "N ，p > N 時(shí)，有n > N ，取 p = N+1，有n000n0s22n+ pn0 + p0a11åk =n0 +1

38、k > 1 -= e=，20s2k¥所以å發(fā)散ann=1 sn- sn-1- sn-1ansnsn111n-1()由于=£=-，又 lim s = +¥ ，故 lim® 0 ，s × sn22ssn®+¥ sssn®+¥nn-1n-1nnn所以å( 1 - 1 ) 收斂，由比較判別法，知åan收斂ss2sn-1nnn= åk =1例 11 設(shè)åa 為一條件收斂級(jí)數(shù)， sa = s- s - ，其中 s + 與 s - 分別是前n 項(xiàng)+nnnknnn+

39、s中的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)之和，證明lim n = 1 _sk =1n證明 由于åa 條件收斂，故lim s= lim s= +¥ +-nnnn®¥n®¥+-s + sss所以lim n = lim nn = lim ( n + 1) = 1-n®¥ sn®¥ssn®¥nnnnn例 12設(shè) xn =，求lim xn nn!3n®¥(n + 1)n+1(n + 1)!3n+1x11e= lim(1 +) =< 1，所以å x 收斂，證明 由于lim n

40、+1 = limnnxnnn®¥ 3n3n®¥n®¥nn!3n故lim xn =0n®¥11例 13設(shè) xn = 1 +L- 2n ，證明lim xn 存在2nn®¥n證明 記 x0 = 0 ，則k -1 ) ，而k =1k +k - 1 - 2 k112x - x=- 2kk + 2k - 1 =-=kk -1kk +k - 1k ( k +k - 1)k -k - 11= -= -k ( k +k - 11k ( k +k - 1)2k +k -1)2k (1432> 1，所以

41、9;(xk- xk -1 ) 收斂，=而 lim，由于32k ®+¥-k即其部分和數(shù)列xn 收斂3數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和（1）利用定義直接求此種證明法的前提是求該級(jí)數(shù)åun 的部分和數(shù)列sn ，而能求得 sn 的縮寫形式的級(jí)數(shù)為：等比級(jí)數(shù)，或成等差分母成等比的級(jí)數(shù)，或分母為等差數(shù)列之積的形式等2n -113例 13 計(jì)算： +L+L222n22n -113解：令 sn = 2 + 22 +L+，則，所以2n1 ) +L+ ( 2n -1 - 2n - 3) - 2n -1s - 1 s = 1 s = 1 + ( 3 -nnn22222n2n2n+12221 ) - 2n

42、 -1= 1 + ( 1 +L +2n-12n+1221 (1 -)1- 2n - 1 ，= 1 +22n-121 - 12n+12故 s = lim sn = 3n®¥¥1ån=1例 14計(jì)算n(n + 1)(n + 2)n= åk =1nn 1= å( A + B + C ) = å( 1 -2+1)解： snk(k + 1)(k + 2)kk + 1k + 22k2(k + 1)2(k + 2)k =1k =1n= åk =1( 1 -1) - (1) -1)2k2(k + 1)2(k + 1)2(k + 2

43、)= 1 -111-+，22 × 22(n +1)2(n + 2)1所以 s = lim sn =4n®¥（2）利用子列的極限此方法的理論依據(jù)是，若åun 的通項(xiàng)趨于0 ，且lim skn = s ，則級(jí)數(shù)åun 收斂，且n®¥lim sn = s n®¥1111111111例 15計(jì)算1 + ( -1) + (-) +L+ (-) +L3n - 23n -13nn234562解 由于s= 1 + 1 +L+-1 - 1 -L1= ln 3 + e- e3nn3nn23n2所以lim s3n = ln 3

44、 n®¥1而lim s3n+1 = lim (s3n +) = ln 3 ， lim s3n+2 = ln 3 ，所以lim sn = ln 3 3nn®¥（3）解方程法n®¥n®¥n®¥此方法是建立部分和的方程，通過解方程得部分和例 16計(jì)算q cosa +n cos na +L< 1qn cos na ，則解 令 sn =nn2q cosa × s = å qk+1 (2 cosa × cos ka ) = å qk+1 (cos(k + 1)a

45、 + cos(k - 1)a ) =nk =1k =1= qn+1 cos(n +1)a + s - q cosa +n2s - qn+2 cos na ，n2令 n ® +¥ ， s =cosa1 +來求和（4）利用冪級(jí)數(shù)和此方法在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中介紹 四 綜合舉例例 17 判別下列函數(shù)的斂散性，若收斂，則指明是絕對(duì)收斂還是條件收斂(-1)n （1） å(-1) tan( n + 2)p ；（2） ån2；n1111（4） åln(n(n + 1)a (n + 2)b ) （3）-+-.；1p2q3p4q解n2 + 2 - n)p = tan2p

46、，n2 + 2 + n= tan( n2 + 2)p = tan(（1） un顯然 當(dāng) n ³ 2 時(shí)，有un > 0 且 un 單調(diào)遞減，lim un = 0 ，據(jù)判別法知，原n®¥級(jí)數(shù)收斂= tan2p>2p，n2 + 2 + nn2 + 2 + n又由于un而 å2p發(fā)散，故原級(jí)數(shù)為條件收斂n +n2 + 2(-1)n （2）給級(jí)數(shù)å從 k 到 k + 2k 項(xiàng)加括號(hào)，則該括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)的符號(hào)均為22n(-1)k ，故加括號(hào)的新級(jí)數(shù)與原級(jí)數(shù)有相同的收斂性而新級(jí)數(shù)為å(-1)nu = å(-1)n ( 1 +L

47、+1) ，nn2 + 2nn21111由于un = n2+L +n2 + n -1n + n+L+2n + 2n2nn + 12£n2+=，n2 + nnn + 111n2且un = n2+L+³+=，n2 + 2nn2 + nn2 + 2n + 1n + 1(-1)n 即有un 單調(diào)遞減收斂于0 ，故 å(-1) un 收斂，所以ån收斂，且顯然n為條件收斂（3）當(dāng) p, q 均大于時(shí)，顯然，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng) p, q 中有一個(gè)小于0 時(shí)，其通項(xiàng)不趨于0 ，顯然發(fā)散；11åå當(dāng) p, q 中有一個(gè)大于1，一個(gè)小于1時(shí)，則與中一個(gè)收斂

48、，(2n -1)pq(2n)另一個(gè)發(fā)散，則原函數(shù)發(fā)散；下面討論0 < p, q £ 1的情形，當(dāng) p = q 時(shí)，由當(dāng) p ¹ q 時(shí)，由于其通判別法知，原函數(shù)為條件收斂；n ®¥時(shí)趨于0 ，故原函數(shù)的部分和序列sn 與其子列s 具有相同的斂散性，即原級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)å(1- 1) 具有相同的斂散性，2n(2n -1) p(2n)q11-(2n -1) p(2n)q11= 1，而å若0 < p < q £ 1，則lim發(fā)散，(2n -1)pn®¥(2n -1) p故å(1- 1發(fā)散，

49、即原級(jí)數(shù)發(fā)散；(2n -1) p(2n)q同理，當(dāng)0 < q < p £ 1 時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散（4） 由于un = ln n + a ln(n + 1) + b ln(n + 2)= (1 + a + b ) ln n + a ln(1 + 1 ) + b ln(1 + 2 )nn121= (1 + a + b ) ln n + (a + 2b )- (a + 4b )+ o() ，n2n2n所以，當(dāng)1 + a + b = 0,a + 2b = 0時(shí)，即a = -2, b = 1時(shí)， åun 收斂，且為絕對(duì)收斂例 18設(shè) f (x) 是(-¥,+

50、5;) 內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足：(1) f (x) > 0 ， "x Î(-¥, +¥) ，f ¢(x)£ mf (x) ， 0 < m < 1，a0 Î (-¥,+¥) ，令 an = ln f (an-1 ) ，(2)n = 1,2L；證明： å| an - an-1 |收斂由于 f (x) 在(-¥,+¥) 上可導(dǎo)，故由證明日中值定理知，f ¢(xn )| an - an-1 |=| ln f (an-1 ) - ln f (an-2 ) |=

51、|(an-1 - an-2 ) |£ m | an-1 - an-2 | ，)f (xn其中 x n 介于 an-1 與 an-2 之間若$n0 ，使得 an -1 - an -2 = 0 ，則當(dāng) n > n0 時(shí)，有an - an-1 = 0 ，此時(shí)å| an - an-1 |收00斂- an-1an|£ m < 1， 由比式判別法知å| a - a若"n ， a - a¹ 0 ，則有|收nn-1nn-1a- an-1n-2斂數(shù)å an 收斂， å(bn+1 - bn ) 絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)å

52、anbn 收斂例 19因?yàn)楹瘮?shù)å(bn+1 - bn ) 絕對(duì)收斂，所以å(bn+1 - bn ) 收斂，即其部分和數(shù)列bn+1 - b1證明收斂，數(shù)列bn 收斂，所以bn 有界，設(shè) bn£ M ，又å an 收斂，及å| bn+1 - bn| 收斂，+L+ a| < e，由準(zhǔn)則有， "e >0， $N ，當(dāng) n > N 時(shí)， "l ，有| an+1n+l1+ M| bn+2 - bn+1 | +L+ | bn+l - bn+l -1 |< 1，對(duì)"p Î N ，令n+i ， i

53、= 1, 2, L, p ，則| an+1bn+1 +L+ an+ pbn+ p |=| S1bn+1 + (S2 - S1 )bn+2 +L+ (Sp- Sp-1 )bn+ p |=| S1 (bn+1 - bn+2 ) +L+ Sp-1 (bn+ p-1 - bn+ p ) + Spbn+ p|=| S1 | bn+1 - bn+2 | +L+ | Sp-1 | bn+ p-1 - bn+ p | + | Sp | × | bn+ p |£ e(| b- b| +L+ | b- b| + | b|)n+1n+2n+ p-1n+ pn+ p1 + Me(1 + M ) e

54、<1 + M所以åanbn 收斂(-1)n+11111111例題 20 證明級(jí)數(shù)1-(1+ ) +(1+ ) -32523+(1+) +收斂n2n +12111ån+1+ ) ，則原級(jí)數(shù)即為(-證明 令un = 2n -1 (1+ 2 +1)un ，而n2n +111111un = 2n -1 (1+ 2 +) =(1+n(2n -1)(2n +1)2+)n12)(1+ 1 + 1 ) =1(1+ 1 + 1 +2(1+ 1 + 1 )n=(1+2n +12n -12n2n +12n2n -121(1+ 1 + 1 +21(1+ 1 +1>+) >) = un+12n +12n2n -12n +12n +1所以u(píng)n 單調(diào)遞減又lim un =