輕松搞定排列組合難題二十一種方法

1、高考數(shù)學(xué)輕松搞定排列組合難題二十一種方法教學(xué)目標(biāo)1 .進(jìn)一步理解和應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理。2 .掌握解決排列組合問(wèn)題的常用策略；能運(yùn)用解題策略解決簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題。提 高學(xué)生解決問(wèn)題分析問(wèn)題的能力3 .學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問(wèn)題.復(fù)習(xí)鞏固1 .分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有鵬種不同的方法，在第2類辦法 中有回種不同的方法，,在第n類辦法中有F種不同的方法，那么完成這件 事共有：性+悒+端種不同的方法.2 .分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有咐種不同的方法，做第2步有咫種 不同的方法，做第n步有也種不同的方法，那

2、么完成這件事共有： 州=乂性乂x端種不同的方法.3 .分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段， 不能完成整個(gè) 事件解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下：1 .認(rèn)真審題弄清要做什么事。2 .怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行， 確定分多少步及多少類。3 .確定每一步或每一類是排列問(wèn)題（有序）還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及 取出多少個(gè)元素.4 .解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略。1 .特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例

3、1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了 這兩個(gè) 位置.先排末位共有.二然后排首位共有c：最后排其它位置共有4由分步計(jì)數(shù)原理得C優(yōu)父=288位苴分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需 先安揶特殊元素,再處理其它元素,若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位 置.若有多個(gè)約束條件，往往是若慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要篥顧苴它條件2 .相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)

4、復(fù)合元素， 同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù) 合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原 理可得共有出用4 =480種不同的排法。要求某幾個(gè)元素必須為應(yīng)一蹌的問(wèn)題,可以用摑綁法來(lái)解決問(wèn)題即將需要相況的元素合并 為一個(gè)元素，苒與其它元素一起作便列同時(shí)蘿注意合并元素內(nèi)部也必須挪列.3 .不相鄰問(wèn)題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有北種，第二步將4舞蹈插入第 一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種 蜴不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原 理,節(jié)目的不同順序共有過(guò)成種元盍相離

5、問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端4 .定序問(wèn)題倍縮空位插入策略例4.7人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素 一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排 法種數(shù)是：（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有金；種方法，其余的三個(gè) 位置甲乙丙共有1種坐法，則共有M；種方法。思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎？（插入法）先排甲乙丙三個(gè)人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有工；方 法定序問(wèn)題訶以用倍縮法，述可轉(zhuǎn)讓為占位插五.重排問(wèn)題求幕策略例5.把6

6、名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推，由分步計(jì)數(shù)原理共有那種不同的排法允訐更復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)冢,元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素 的位置，一般地口不同的元素沒(méi)有B良制地安排在m個(gè)位置上的排列數(shù)為網(wǎng)融種六.環(huán)排問(wèn)題線排策略例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人用并從此位置把圓形展成直線其余 7人共有（8-1 ） !種排法即7 !oooooooooABCDEFGHA一般地小個(gè)不同元素作圓形排列

7、，共有（ml>l種摔法.如果從拄個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作圓 形排列共有工總二七.多排問(wèn)題直排策略例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，內(nèi)在后排，共有多少排法解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個(gè)特殊元素有用種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素內(nèi)有 種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題可歸結(jié)為一排有虛，再分段研窕8 .排列組合混合問(wèn)題先選后排策略例8.有5個(gè)不同的小球，裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球，共有多少不同的 裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有4種方法.再把4個(gè)元素（包含一 個(gè)復(fù)合元素）裝入4個(gè)不同的

8、盒內(nèi)有此種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共 有-；解決排列組合混合問(wèn)題先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相限嗎？9 .小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1, 5在兩個(gè)奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？解：把1 ,5,2 ,4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有 另種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有 用用種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有用密用種排法.小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局都，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理口十.元素相同問(wèn)題隔板策略例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案?解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相

9、鄰名額之間形成9個(gè)空隙。在9個(gè)空檔中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有 種分法。將口個(gè)相同的元素分成m份5，m為正整數(shù)），每份至少一個(gè)元素,可以用m4塊隔板， 插入甘個(gè)元素捧康一排的ml個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于例的偶數(shù)，不同的取法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù) 字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù)，所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有肉,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有以酸和為偶數(shù)的取法共有以受十煨。再淘汰和小

10、于10的偶數(shù)共9種， 符合條件的取法共有&燒+以-9種有些排列組合問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)雜而它的反面往往比莪匐提，可以先求出 它的反面.再?gòu)恼w中蠹定十二.平均分組問(wèn)題除法策略例12. 6本不同的書(shū)平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？解：分三步取書(shū)得盤種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象，不妨記6本書(shū)為ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為（AB,CD,EF）,則 CjCjC；中還有（ab,ef,cd）,（cd,ab,ef）,（cd,ef,ab）（ef,cd,ab）,（ef,ab,cd）共有 而種取法，而這些分法僅是（AB,CD,EF）一種分法,故共有用種分

11、法。平期分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除以/：供為均分的組 數(shù)）避免重復(fù)計(jì)數(shù).十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能能唱歌，5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員 為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有 學(xué)喈種,只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌人員玄武日種，只會(huì)唱的5人中只有2人選上唱歌人員有GW種，由分類計(jì)數(shù)原理共有種解含有約束條件的排列組合問(wèn)題I可搜元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連塊過(guò)程分步，做 到標(biāo)準(zhǔn)明踴口分步層次漕楚，

12、不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦鼐定要貫穿于解題過(guò)程的始終口十四.構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位埴空模型，排隊(duì)模型，裝盒 模型等,可使問(wèn)題直觀解決十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相

13、同，有多少投法解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有藻種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球，3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法，同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有2C；種3號(hào)盒4號(hào)盒5號(hào)盒時(shí)于條件比校寢雜的排列組合m題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)法，住住利用布舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖會(huì)收 到意想不到的結(jié)果十六.分解與合成策略例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2 X3X5 X 7 X11 X13依題意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因

14、數(shù)為：,匚叩G練習(xí):正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共以- 12= 53，每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線，正方體中的8個(gè)頂點(diǎn)可連成3X58=174對(duì)異面直線分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題則把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題 逐一解決,落后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成,從而得到 問(wèn)題的答案算個(gè)比兢復(fù)雜的問(wèn)題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例17. 25人排成5 X5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不 同的選法有多少種？解：將這個(gè)問(wèn)題退化成9人排成3X3方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一

15、行 也不在同一列，有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉， 如此繼續(xù)下去.從3X3方隊(duì)中選3人的方法有C/C；種。再?gòu)?X5方陣選出3X3方陣便可解 決問(wèn)題.從5 X5方隊(duì)中選取3行3列有點(diǎn)戊選法所以從5X5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有處理復(fù)雜的排列組合間題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)武 要的和題,通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法, 從而進(jìn)下一步解決原來(lái)的問(wèn)翹十八.數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略例18.由0, 1, 2, 3, 4, 5六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比 324105 大的數(shù)？解二：二I.用一萩字排序可即可用查字典法,查字典的法 應(yīng)從

16、高位向低位查.依次求出其符合要求 的個(gè)數(shù),根據(jù)分類時(shí)啜原理求出其總數(shù).十九樹(shù)圖策略例19 . 3人相互傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳求后，球仍回到甲的手中，則不同的傳球方式有1時(shí)于條件比兢復(fù)雜的排列合問(wèn)題不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，樹(shù)圖會(huì)收到意想不到的結(jié)臬二十.復(fù)雜分類問(wèn)題表格策略例20.有紅、黃、蘭色的球各5只，分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母,現(xiàn)從中取5只，要求各字母均有且三色 齊備,則共有多少種不同的取法？紅111223黃123r 1 1212lL321211取法爾*c沼滔一鱉復(fù)雜的分類選取題，要滴足的條件上傲備，無(wú)從人手，經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺 漏的情況用表格法，則分類明確n能保證題中須滿足的條件/到好的效一：住店法策略 解決“允許重復(fù)排列問(wèn)題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可 以重復(fù)，另一類不 能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法 原理直接求解.例21.七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種 數(shù)有種.分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重