第6章+常微分方程

1、第六章常微分方程為了深入研究幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等許多實(shí)際問題，常常需要尋求問題中有關(guān)變量之間的函數(shù)關(guān)系而這種函數(shù)關(guān)系往往不能直接得到，而只能根據(jù)實(shí)際問題的意義及已知的公式或定律，建立起含有自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式，這就是所謂的微分方程通過求解微分方程，可以得到所需求的函數(shù)本章主要介紹微分方程的基本概念、幾種常見類型的微分方程的解法及微分方程的簡單應(yīng)用第一節(jié)常微分方程的基本概念一、實(shí)例分析引例6.1【曲線方程】設(shè)某一平面曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的倍，且曲線通過點(diǎn)，求該曲線方程引例6.2【火車制動(dòng)】 一列車在直線軌道上以的速度行駛，制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度，問開始制動(dòng)后

2、經(jīng)過多長時(shí)間才能把列車剎??？從制動(dòng)到列車停住這段時(shí)間內(nèi)列車行駛了多少路程？二、微分方程的基本概念上述兩個(gè)引例中，關(guān)系式（6-1）和（6-5）都含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，它們都是微分方程下面介紹微分方程的一些基本概念1微分方程解的概念凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，稱為微分方程若未知函數(shù)只含有一個(gè)自變量，這樣的微分方程稱為常微分方程；若未知函數(shù)是多元函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是指偏導(dǎo)數(shù)，這樣的方程稱為偏微分方程微分方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階數(shù)本書我們只討論常微分方程，以下簡稱為微分方程例如，方程，和都是一階微分方程方程和都是二階微分方程由引例6.1和引例6.2可知，在研究實(shí)際問題時(shí)，首先

3、建立微分方程，然后設(shè)法找出滿足微分方程的函數(shù)，也就是說，要找到這樣的函數(shù)，將其代入微分方程后，能使該方程成為恒等式，這個(gè)函數(shù)叫做微分方程的解求微分方程解的過程，叫做解微分方程例如，函數(shù)（6-3）和（6-4）都是微分方程（6-1）的解；函數(shù)（6-8）和（6-10）都是微分方程（6-5）的解如果微分方程的解中包含有任意常數(shù)，并且獨(dú)立的（即不可合并而使個(gè)數(shù)減少）任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解通解中任意常數(shù)取某一特定值時(shí)的解，稱為微分方程的特解例如函數(shù)（6-3）和（6-8）分別是微分方程（6-1）和（6-5）的通解，函數(shù)（6-4）和（6-10）分別是微分方程（6-1）和

4、（6-5）的特解從上面兩引例看到，通解中的任意常數(shù)一旦由某種附加條件確定后，就得到微分方程的特解，這種用以確定通解中任意常數(shù)的附加條件叫微分方程的初值條件引例6.1的初值條件是，引例6.2的初值條件是，通常情況下，一階微分方程的初值條件是，當(dāng)自變量取定某個(gè)特定值時(shí)，給出未知函數(shù)的值；二階微分方程的初值條件是；階微分方程的初值條件是，當(dāng)自變量取定某個(gè)特定值時(shí)，給出未知函數(shù)以及直至階導(dǎo)數(shù)的值，即，例1驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解，并求滿足初值條件的特解2微分方程解的幾何意義微分方程的每一個(gè)特解在幾何上表示一條平面曲線，稱為微分方程的積分曲線而微分方程的通解中含有任意常數(shù)，所以它在幾何上表示一族曲線，稱

5、為積分曲線族例如，引例6.1中的特解（6-4）式的幾何意義是過點(diǎn)的那一條積分曲線，而通解（6-3）式的幾何意義是以為參數(shù)的積分曲線族（圖61）圖61例2解微分方程，其中案例6.1【等軸雙曲線】已知一曲線過點(diǎn)，且曲線上任一點(diǎn)的切線介于兩坐標(biāo)軸間的部分恰為切點(diǎn)所平分，求此曲線方程案例6.2【自由落體運(yùn)動(dòng)】一質(zhì)量為的物體受重力作用而下落，假設(shè)初始位置和初始速度都為0，試確定該物體下落的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系第二節(jié) 可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程引例6.3求微分方程的通解通過這個(gè)例子我們可以看到，在一個(gè)一階微分方程中，如果能把兩個(gè)變量分離，使方程的一端只包含其中一個(gè)變量及其微分，另一端只包

6、含另一個(gè)變量及其微分，這時(shí)就可以通過兩邊積分的方法來求它的通解，這種求解的方法稱為分離變量法，變量能分離的微分方程叫做可分離變量的微分方程變量可分離的微分方程的一般形式為求解步驟為：（1）分離變量，得，（2）兩邊積分，得，（3）求出積分，得通解其中、分別是和的一個(gè)原函數(shù)例1求微分方程的通解例2 求微分方程滿足初值條件的特解例3求微分方程滿足初值條件的特解例4求微分方程的通解案例6.3【鈾的衰變】 放射性元素鈾由于不斷地有原子放射出微粒子而變成其他元素，鈾的含量就不斷減少，這種現(xiàn)象叫做衰變，由原子物理學(xué)知道，鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比，已知時(shí)鈾的含量為，求在衰變過程中鈾含量隨時(shí)

7、間變化的規(guī)律案例6.4【降落傘降落】設(shè)降落傘從跳傘塔降落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)（）速度為零，求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系案例6.5【銷售預(yù)測】 在商品銷售預(yù)測中，時(shí)刻的銷售量用表示如果商品銷售的增長速度與銷售量和銷售接近飽和水平程度之積（為飽和水平）成正比，求銷售量函數(shù)二、齊次微分方程如果一階微分方程可以化成 （6-24）的形式，則稱此方程為齊次微分方程例如，微分方程是齊次方程因?yàn)榇朔匠炭梢宰冃螢檫@類方程的求解分三步進(jìn)行：（1）將原方程化為方程（6-24）的形式（2）作變量代換以為新的未知函數(shù)（注意仍是的函數(shù)），就可以把齊次微分方程化為可分離變量的微分方程來求

8、解由，得，兩端求導(dǎo)，得，代入方程（6-24）中，得，這是變量可分離的微分方程分離變量并積分，得（3）求出積分后，再以代回，便得到所求齊次方程的通解例5 求微分方程的通解例6 求微分方程滿足初值條件的特解第三節(jié) 一階線性微分方程形如 （6-25）的微分方程稱為一階線性微分方程，其中，都是自變量的已知函數(shù)，稱為自由項(xiàng)所謂“線性”指的是，方程中關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次式當(dāng)時(shí)，稱方程（6-25）稱為一階非齊次線性微分方程；當(dāng)時(shí)，方程（6-25）變?yōu)?（6-26）稱方程（6-26）為方程（6-25）所對(duì)應(yīng)的一階齊次線性微分方程例如，方程是一階非齊次線性微分方程它所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程是而方程等，雖

9、然都是一階微分方程，但都不是線性微分方程下面討論一階非齊次線性微分方程（6-25）的解法先求非齊次線性微分方程（6-25）所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程（6-26）的通解它是可分離變量的微分方程，分離變量，得，兩端積分，并把任意常數(shù)寫成的形式，得，化簡后即得線性齊次微分方程（6-26）的通解為 （6-27）其中是任意常數(shù)下面利用“常數(shù)變易法”求非齊次線性微分方程（6-25）的通解方程（6-25）不能用分離變量的方法求解，但方程（6-25）與方程（6-26）的左端是一樣的，只是右端不同，故（6-26）是（6-25）的特殊情況因此可以設(shè)想（6-25）與（6-26）的解一定有聯(lián)系，不妨按照（6-26）的解

10、題思路分析它們之間的聯(lián)系，把變形為，兩邊積分，得，即其中是的函數(shù)，記為于是上式可以寫成 （6-28）把（6-28）式和（6-27）式比較，它們的區(qū)別僅僅是把（6-27）式中的常數(shù)變成了（6-28）式中的函數(shù)上述推導(dǎo)表明，方程（6-25）的解一定可以表示為的形式，如果能進(jìn)一步求出，就求出了方程（6-25）的解，下面求將代入方程（6-25），得，整理，得，兩邊積分，得將上式代入（6-28）式中，得方程（6-25）通解為（6-29）推導(dǎo)（6-29）式的方法是把方程（6-25）對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程（6-26）通解中的任意常數(shù)變易為待定函數(shù)，然后求出非齊次線性微分方程（6-25）的通解這種方法稱為常數(shù)

11、變易法下面來分析非齊次線性微分方程（6-25）的通解結(jié)構(gòu)由于方程（6-25）的通解公式（6-29）也可以寫成上式右端第一項(xiàng)是方程（6-25）所對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程（6-26）的通解，第二項(xiàng)是原非齊次線性微分方程（6-25）的一個(gè)特解（它可從通解（6-29）中，取得到）由此可知，一階非齊次線性微分方程的通解是由它所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解相加而構(gòu)成的這個(gè)結(jié)論揭示了一階非齊次線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)定理6.1一階非齊次線性微分方程（6-25）的通解是由其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程（6-26）的通解加上非齊次線性微分方程（6-25）的一個(gè)特解構(gòu)成的經(jīng)過上面的討論，將求方程（6-25）的

12、通解的步驟總結(jié)如下：（1）求出對(duì)應(yīng)的線性齊次微分方程（6-26）的通解；（2）用常數(shù)變易法或用公式（6-29）求方程（6-25）的通解例1 求微分方程的通解例2 求微分方程 （6-32）滿足初值條件的特解案例6.6【物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律】一質(zhì)量為的物體，在傾斜角為的斜面上由靜止下滑，摩擦力為，其中為運(yùn)動(dòng)速度，為物體對(duì)斜面的正壓力，為常數(shù)，求速度隨時(shí)間的變化規(guī)律圖 6.2案例6.7【電流方程】有一個(gè)電路如圖63所示，其中電源電動(dòng)勢為（，都是常量），電阻和電感都是常量，求電流圖 6.3為了便于應(yīng)用，現(xiàn)將一階微分方程的幾種常見類型及解法歸納如下（見表6.1）表6.1一階微分方程常見類型及解法方程類型方 程解

13、 法可分離變量的微分方程將不同變量分離到方程兩邊，然后積分齊次微分方程引進(jìn)新的未知函數(shù)，所以，原方程化為可分離變量的方程一階線性微分方 程齊次方程分離變量，兩邊積分或用公式非齊次方程用常數(shù)變易法或公式法第四節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程我們把形如 （6-38）的微分方程叫做二階線性微分方程，其中都是一次的，是的已知連續(xù)函數(shù)，叫做自由項(xiàng)當(dāng)時(shí)，稱方程為二階齊次線性微分方程；當(dāng)時(shí)，稱方程（6-38）為二階非齊次線性微分方程在方程（6-38）中，如果和的系數(shù)均為常數(shù)，且，則（6-38）式成為（6-39）方程（6-39）叫做二階常系數(shù)齊次線性微分方程下面討論二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)和解法一、二階

14、常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定義6.1 設(shè)有兩個(gè)不恒為零的函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有定義，若存在兩個(gè)不同時(shí)為零的常數(shù)，使在內(nèi)成立，則稱和在內(nèi)線性相關(guān)，否則叫做線性無關(guān)定義6.1的另一種說法是：若常數(shù)，則與線性相關(guān)；若常數(shù)，則與線性無關(guān)例如，因?yàn)?，所以與線性相關(guān)再如，因?yàn)槌?shù)，所以與線性無關(guān)定理6.2如果函數(shù)與是二階常系數(shù)齊次線性微分方程（6-39）的兩個(gè)解，那么也是方程（6-39）的解，其中是任意常數(shù)例如，都是方程的解，不難驗(yàn)證也是方程的解定理6.2表明，齊次線性微分方程的解具有可疊加性定理6.3 如果函數(shù)與是二階常系數(shù)齊次線性微分方程（6-39）的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，那么就是方程（6-39）的通解，

15、其中是任意常數(shù)例如，方程，容易驗(yàn)證與是所給方程的兩個(gè)特解，且常數(shù)，即它們是線性無關(guān)的因此，就是該方程的通解二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法由前面討論可知，求方程（6-39）的通解，可歸結(jié)為求它的兩個(gè)線性無關(guān)的特解，再根據(jù)定理6.2寫出通解從方程（6-39）的結(jié)構(gòu)來看，它的解應(yīng)有如下特點(diǎn)：未知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)因子也就是說，方程中的應(yīng)具有相同的形式而指數(shù)函數(shù)正是具有這種特點(diǎn)的函數(shù)因此，設(shè)是方程（6-39）的解，將代入方程（6-39），得因?yàn)椋视?，只要找到，使?-40）成立，則就是方程（6-39）的特解而是方程（6-40）的根，這樣一來，求微分方程（6-39）

16、的解的問題，歸結(jié)為求代數(shù)方程（6-40）的根的問題定義6.2 方程（6-40）叫做微分方程（6-39）的特征方程，特征方程的根叫做特征根方程（6-40）是一元二次方程，它的根有三種情況，相應(yīng)地，方程（6-39）的解也有三種情況：（1）當(dāng)時(shí)，特征方程（6-40）有兩個(gè)不相等的實(shí)根，從而可得方程（6-39）的兩個(gè)特解，又因?yàn)槌?shù)，所以與線性無關(guān)因此，微分方程（6-39）的通解為（2）當(dāng)時(shí)，特征方程（6-40）有兩個(gè)相等的實(shí)根，此時(shí)，我們只得到微分方程（6-39）的一個(gè)特解為了求得微分方程（6-39）的通解，還需求出另一個(gè)特解，且要求常數(shù)為此，不妨設(shè)，即，其中為待定函數(shù)下面來求將，代入方程（6-39

17、），整理后得因，且是的重根，故，所以有兩次積分后得因?yàn)槲覀冎灰蟪?shù)，所以為簡便起見，不妨取，得從而得到方程（6-39）的另一個(gè)與線性無關(guān)的特解為因此微分方程（6-39）的通解為（3）當(dāng)時(shí)，特征方程（6-40）有一對(duì)共軛復(fù)根其中，這時(shí)，與是微分方程（6-39）的兩個(gè)解為了得出實(shí)數(shù)解，由歐拉公式：，將與改寫為，由本節(jié)定理6.2可知，是方程（6-39）的兩個(gè)特解，且常數(shù)所以方程（6-39）的通解為綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解的步驟如下：（1）寫出微分方程的特征方程；（2）求出特征方程的根和；（3）根據(jù)和的不同情形，按照表6.2寫出方程的通解表6.2二階常系數(shù)齊次微分方程通解特征方程

18、的兩個(gè)根微分方程的通解 兩個(gè)不相等的實(shí)根 兩個(gè)相等實(shí)根 一對(duì)共軛復(fù)根例1 求微分方程的通解例2求微分方程滿足初值條件的特解例3 求微分方程的通解案例6.8【電壓變化規(guī)律】如圖所示，電路中，且開關(guān)在撥向之前，電容上的電壓（1）開關(guān)先被撥向，求電容上的電壓隨時(shí)間的變化規(guī)律；（2）達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，再將開關(guān)撥向，求第五節(jié) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程在二階非齊次線性微分方程中，如果和的系數(shù)，均為常數(shù)，則方程變?yōu)?（6-41）方程（6-41）叫做二階常系數(shù)非齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解的性質(zhì)與通解結(jié)構(gòu)對(duì)于二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（6-41）的通解結(jié)構(gòu)，有如下定理：定理6.4如果

19、是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（6-41）的一個(gè)特解，是與方程（6-41）對(duì)應(yīng)的齊次方程 （6-42）的通解，那么 （6-43）是方程（6-41）的通解與定理6.1比較，可以看出，二階線性微分方程與一階線性微分方程一樣，其通解的結(jié)構(gòu)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解加上非齊次方程的一個(gè)特解例如，方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，是與其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；又容易驗(yàn)證是方程的一個(gè)特解因此是方程的通解二、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法下面我們來討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程（6-41）的解法由定理6.4知道，方程（6-41）的通解等于它的一個(gè)特解與它對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程（6-42）的通解的和即方程（6-42）的通解的求法我們已經(jīng)討論過，因此現(xiàn)在只需解決如何求非齊次