反常積分的審斂法

1、第五節(jié)第五節(jié) 反常積分的審斂法反常積分的審斂法 函數函數 一、無窮限反常積分的審斂法一、無窮限反常積分的審斂法收斂收斂上有上界，則反常積分上有上界，則反常積分在在若函數若函數且且上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間定理設函數定理設函數 axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通過被積函數的原函數判定反常積分不通過被積函數的原函數判定反常積分收斂性的判定方法收斂性的判定方法.證證), 0)( axxf0)()()( xfdttfdxdxFxa即即.),)(上上是是單單調調增增加加的的在在 axF上有上界上有上界在在),)(axF存存在在)(limxFx 存在存在即即 xa

2、xdttf)(lim收斂收斂 )( adxxf（極限的存在準則）（極限的存在準則）), ax.)()(),(),()()()(),(),()(,), )()() (2也發(fā)散也發(fā)散發(fā)散，則發(fā)散，則并且并且也收斂；如果也收斂；如果則則收斂，收斂，并且并且如果如果上連續(xù)、非負上連續(xù)、非負在區(qū)間在區(qū)間、設函數設函數比較審斂原理比較審斂原理定理定理 aaaadxxfdxxgxaxgxfdxxfdxxgxaxgxfaxgxf證證 tatadxxgdxxf )()(上上有有上上界界在在),)()( adxxftFtaat 取取),),()(0 axxgxf收斂，收斂，又又 adxxg )(.)( adxxg

3、收收斂斂 adxxf)(.)(,)(),()(0必定發(fā)散必定發(fā)散則則發(fā)散發(fā)散且且如果如果 aadxxfdxxgxfxg也也收收斂斂，這這與與已已知知矛矛盾盾收收斂斂，則則由由第第一一部部分分知知假假設設 aadxxgdxxf)()(發(fā)散發(fā)散 adxxf)(定理定理1)下證：下證：特別地，取特別地，取pxxg1)( ，即得下面的，即得下面的比較審斂法比較審斂法.發(fā)散發(fā)散，則，則，使得，使得如果存在常數如果存在常數收斂；收斂；則則，使得，使得及及如果存在常數如果存在常數上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設函數設函數比較審斂法比較審斂法定理定理 aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxf

4、aaxf)( )()(0)( ),( ,)(10. 0)()0(), )()(3例例.1134的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分 xdx解解, ), 1 時時當當 x, 134 p（比較審斂法）（比較審斂法）.1134收收斂斂反反常常積積分分 xdx ,113/434xx 34110 x發(fā)散發(fā)散則則或或如果如果收斂；收斂；則則存在，存在，使得，使得如果存在常數如果存在常數上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設函數設函數極限審斂法極限審斂法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.

5、112的的收收斂斂性性判判別別反反常常積積分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所給反常積分收斂所給反常積分收斂證明證明12 p（極限審斂法（極限審斂法1）證明證明(1)存存在在)(limxfxpx cxfxpx )(lim,可設可設1|)(| , 01 cxfxXxXp就就有有時時，使使得得當當，按按定定義義，對對1|)(| cxfxppxcxf1)( 即即取取,max1XaX 就就有有時時則則當當,1Xx 0)( xf且且1)( cxfxp即即0)( xf且且0)( xf且且1 p 1 )(Xdxxf收斂收斂（比較審斂法（比較審斂法1） 11)()()(XXaadxxfdxxfd

6、xxf收收斂斂 adxxf)() (1時時當當Xx 0)( 1)( xfxcxfp且且（2）（略）（略）例例.1122/3的的收收斂斂性性判判別別反反常常積積分分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 所給反常積分發(fā)散所給反常積分發(fā)散例例.arctan1的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim 2 所給反常積分發(fā)散所給反常積分發(fā)散（極限審斂法）（極限審斂法）（極限審斂法）（極限審斂法）0 也收斂也收斂則則收斂收斂如果如果上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設函數設函數定理定理 aadxxfdxxfaxf)(,)(),

7、)(5證證 )()( 21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且且,)( 收斂收斂又又dxxfa .)(也也收收斂斂dxxa , )()(2)(xfxxf ,)()(2)( tatatadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 得得令令, t adxxf收收斂斂)(at 取取. )(,| )(| 為為絕絕對對收收斂斂稱稱則則收收斂斂若若 aadxxfdxxf必定收斂必定收斂則則絕對收斂絕對收斂若若 aadxxfdxxf)(,)(例例5.)0,(sin0的的收收斂斂性性都都是是常常數數判判別別反反常常積積分分 abadxbxeax解解.,sin0收斂收

8、斂而而 dxeebxeaxaxax.sin0收收斂斂 dxbxeax由定理由定理5得得: 1)1(01 00aaeadxeaxax 定義定義（比較審斂法（比較審斂法1）. sin0 收收斂斂 bxdxeax二、無界函數的反常積分的審斂法二、無界函數的反常積分的審斂法.)(),( )( 0)(),( )()( 10., 0)(,()()2(6發(fā)散發(fā)散則反常積分則反常積分使得使得，收斂；如果存在常數收斂；如果存在常數則反常積分則反常積分使得使得，及及如果存在常數如果存在常數是瑕點是瑕點上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設函數設函數比較審斂法比較審斂法定理定理 babaqdxxfbxaaxNxfNdx

9、xfbxaaxMxfqMaxxfbaxf發(fā)散發(fā)散則反常積分則反常積分或或收斂；如果收斂；如果則反常積分則反常積分存在存在，使得，使得如果存在常數如果存在常數是瑕點是瑕點上連續(xù)，且上連續(xù)，且在區(qū)間在區(qū)間設函數設函數極限審斂法極限審斂法定理定理 baaxaxbaqaxdxxfxfaxdxfaxdxxfxfaxqaxxfbaxf)(),)()(lim( 0)()(lim )(,)()(lim10., 0)(,()()2(例例6.ln31的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分 xdx解解 xxln1lim1xxxln1)1(lim1 1 是是瑕瑕點點1 x xx1 1 lim1 xxxln1lim1

10、 , 0 型型)00(洛必達法則洛必達法則).ln31發(fā)散發(fā)散反常積分反常積分 xdx(極限審斂法極限審斂法2)例例7.)1)(1110222的收斂性的收斂性判別橢圓積分判別橢圓積分dxxkx 解解 )1)(11lim2221xkxx是是瑕瑕點點1 x )1)(11)1(lim222211xkxxx )1)(11lim221xkxx )1(212k .)1)(1110222收收斂斂dxxkx (極限審斂法極限審斂法2)1| k這這里里，121 q注：注：對于無界函數的反常積分，當被積函數對于無界函數的反常積分，當被積函數在所討論的區(qū)間上可取正值又可取負值時，在所討論的區(qū)間上可取正值又可取負值時

11、，也有與定理也有與定理5相類似的結論。相類似的結論。例例8.1sin10的收斂性的收斂性判別反常積分判別反常積分dxxx 解解也收斂也收斂dxxx 101sin,11sinxxx 收斂收斂dxxx 101sin(比較審斂法比較審斂法2) 1而而xdx收斂，收斂， 121 q的的右右半半鄰鄰域域內內無無界界在在01sinxx是是瑕瑕點點0 x)0( ,)(01 sdxxessx定定義義特點特點: 1.積分區(qū)間為無窮區(qū)間積分區(qū)間為無窮區(qū)間;.0: .0,01. 2是是瑕瑕點點點點即即右右半半鄰鄰域域內內無無界界的的被被積積函函數數在在點點時時當當 xxs, 1 121 0 11 dxxeIdxxe

12、Isxsx設設;,1)1(1是是定定積積分分時時當當Is ,10 )2(時時當當 s函函數數三三、 xssxexxe1111 11 s又又)(lim12 sxxxex.112收斂收斂dxxeIsx .0)2(),1(01均均收收斂斂對對知知由由 sdxxesxs)(s o.1101收收斂斂dxxeIsx sx 11xsxex1lim 0 )1(極極限限審審斂斂法法上連續(xù)上連續(xù)在在的圖形，可知：的圖形，可知：由由), 0()()( ss （比較審斂法（比較審斂法2） 函數的幾個重要性質：函數的幾個重要性質：).0()()1( ssss遞推公式遞推公式.)(0 ss時時，當當).10( sin)1

13、()(3 ssss 余余元元公公式式 )1( , )21(21 . 402 ttduuetu).0()()1( ssss遞推公式遞推公式證明證明dxxessx 01)1()1(dxxex 0s)(0sxedx )()()(s00sxdeexxx dxsxeexxxx-1s0s)(0)(lim dxxesx-1s000 )(ss （洛必達法則）（洛必達法則）按定義，得按定義，得 )1(dxex 0 0 xe)1(0 1 由由遞遞推推公公式式得得)11()2( )1(1 111 )12()3( )2(2 ! 212 )13()4( )3(3 ! 3! 23 .一般地一般地,有有)( , !)1(正

14、整數正整數nnn 這表明這表明:.廣廣函函數數可可以以看看成成階階乘乘的的推推 .)(0 ss時時，當當由（由（1）得：）得：).0( ,s)1()( sss取取極極限限，得得令令 0s )1s (1)1( 1)( 連續(xù)連續(xù)在在 ss)(s )0(時時當當 s證證)10( , sin)1()(3 ssss （余元公式）（余元公式） （不證）（不證）取取代代入入得得,21 s2sin)21()21( )21( 01 )(dxxessx2ux 令令 uduuesu2 )1(220 0122 2duuesu 12 st記記 02 2duuetu函函數數）（將將其其表表示示為為 )1( , )21(2

15、1 . 402 ttduuetu證證 012 2uduuetu 021)( 2uduetu 022)( )( 2udueu)1(21 t 022)( )( 2udueu1)1(21 t )21(t )1( , )21(2102 ttduuetu 0 dxxex1)1(21 t 2ux 令令在式在式中，中，取取0 t得：得：)1( , )21(2102 ttduuetu)21(2102 dueu 2 即即202 dxex這是概率論中常用的泊松積分這是概率論中常用的泊松積分(Poisson)例例9)27( 求求解解)25(25)27( )23(2325 )21(212325 212325 815 :由遞推公式得由遞推公式得例例10 04dxex函數表示積分函數表