極限思想畢業(yè)論文

1、目錄摘要IAbstractII第1章極限思想的形成與發(fā)展11.1 極限思想的萌芽11.2 極限思想的發(fā)展11.3極限思想的形成21.4極限思想的完善3第2章極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用32.1極限思想在概念里的滲透32.2極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用42.3極限思想在積分中的應(yīng)用5第3章證明極限存在以及求極限的方法63.1極限的四則運(yùn)算法則和簡單求極限技巧63.2用迫斂性準(zhǔn)則求極限73.3用泰勒公式求極限73.4用等價(jià)無窮小求極限83.5用洛必達(dá)法則求極限83.6用微分中值定理和積分中值定理求極限9第4章總結(jié)10參考文獻(xiàn)11致謝12第1章 極限思想的形成與發(fā)展極限思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，在整個(gè)數(shù)學(xué)

2、發(fā)展史上占有重要地位，是研究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展必不可少的有力工具.本文通過論述極限思想的發(fā)展過程以及它在諸多數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用來說明極限在數(shù)學(xué)中的重要地位.按照極限思想的萌芽、發(fā)展、形成與完善過程，可將它分為4個(gè)階段.1.1極限思想的萌芽 古希臘時(shí)代歐多克斯提出的“窮竭法”和芝諾的“二分法”可以說是極限理論的雛形.在我國，極限思想的萌芽最早可以追溯到戰(zhàn)國末期，在哲學(xué)著作莊子.天下篇中就引進(jìn)了惠施的著名命題：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，它可以寫成一個(gè)無窮等比遞減數(shù)列： 當(dāng)n無限增大（n=1,2,3，）時(shí)，可取無限的小數(shù)，它的極限為零，這樣借助實(shí)物，極限的概念便被形象的表達(dá)出來了.然

3、而在我國最早創(chuàng)立極限概念，并用它來解決實(shí)際問題的卻是數(shù)學(xué)家劉徽.他指出：“割之彌細(xì)，失之彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣.”并最終利用這極限思想求得了圓周率的近似值，獨(dú)立的創(chuàng)造出了“割圓術(shù)”. 然而當(dāng)時(shí)人們?cè)谥庇^上對(duì)極限概念有了清楚的理解，但由于沒有無窮小的概念，因此也就不可能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確的描述出極限概念，并且極限思想也沒有作為單獨(dú)的研究對(duì)象真正獨(dú)立出來.這在某種程度上是由于當(dāng)時(shí)的經(jīng)濟(jì)狀況和生產(chǎn)力水平對(duì)數(shù)學(xué)的要求只停留在對(duì)度量和計(jì)量有用的范圍內(nèi)決定的.1.2極限思想的發(fā)展17世紀(jì)以天文學(xué)、力學(xué)及航海為中心的一系列問題導(dǎo)致了微積分的產(chǎn)生.微積分盡管在實(shí)踐中非常成功，但它的思想

4、基礎(chǔ)無窮小量在邏輯上卻有很多缺陷，被稱為“失去了量的鬼魂”，并由此直接導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī).為了消除危機(jī)，許多數(shù)學(xué)家便主張利用極限的方法為微積分提供論證和說明的工具.于是，他們對(duì)極限思想進(jìn)行了深入研究，其階段性的主要成績?nèi)缦?（1） 達(dá)朗貝爾“理性的”極限概念 達(dá)朗貝爾脫下了“微分學(xué)神秘的外衣”（馬克思語），首次嘗試將微分學(xué)建立在“理性的”極限觀念基礎(chǔ)上.他認(rèn)為“一個(gè)量永遠(yuǎn)不會(huì)重合，但它總是無限的接近它的極限，并且與極限的差要有多小有多小”，這樣達(dá)朗貝爾給出了極限的描述性定義，但這個(gè)定義比較模糊，缺乏嚴(yán)密性.（2） 羅伊里埃用極限奠定的微積分基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家羅伊里埃用極限思想對(duì)古希臘的“窮竭法”做了

5、修改，并用極限定義導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)來定義微分，排除了無窮小量和等有神秘色彩的概念和符號(hào).表明極限思想作為微積分基礎(chǔ)的正確思想，然而他的缺點(diǎn)是只有單側(cè)極限的概念. （3）柯西的變量極限概念19世紀(jì)大數(shù)學(xué)家柯西拋棄了物理和幾何直觀，通過變量首次給出了建立在數(shù)和函數(shù)上的極限定義：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無限趨向于某一數(shù)值，最終使變量的值與該定值之差要多小有多小，這個(gè)定值就叫做所有 其他值得極限”.柯西的變量極限概念的提出，標(biāo)志著極限概念向“算術(shù)話”邁出了決定性的一步，是數(shù)學(xué)史上的重大創(chuàng)新之一.此外，柯西還把無窮小定義為一個(gè)極限為零的變量，從而把極限原理和無窮小量有機(jī)的聯(lián)系在一起.在此基礎(chǔ)上，柯西又給

6、出了函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和微分的概念，特別是他首先給出了定積分作為和式極限的定義.然而，雖然柯西把紛亂的極限概念理出了頭緒，為精確極限定義的產(chǎn)生做出了開拓性的工作，但他的工作任然不夠嚴(yán)格、精確.例如，他在定義中提到的“無限趨近”和“要多小有多小”只是一種直觀的定性語言，而不是一種精確的數(shù)學(xué)語言.1.3極限思想的形成在柯西關(guān)于變量極限的直觀動(dòng)態(tài)基礎(chǔ)上，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯從靜態(tài)的觀點(diǎn)出發(fā)，把變量解釋成一個(gè)字母（該字母表示某區(qū)間的數(shù)），給出了嚴(yán)格定義的極限概念，即他本人在1856年首先提出的現(xiàn)今廣泛采用的極限定義： （1）的數(shù)列極限定義：，是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)于，.(2) 的函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù)f

7、在點(diǎn)的某個(gè)空心領(lǐng)域內(nèi)有定義，A是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的，總存在某個(gè)正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)都有，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨向于時(shí)極限存在，且以A為極限.這樣極限的定義便用靜態(tài)的有限量刻畫了動(dòng)態(tài)的無限量，不僅排除了無窮小這個(gè)有爭議的概念，而且排除了柯西在定義函數(shù)的連續(xù)性中用到的“變?yōu)椴⑶冶３中∮谌我饨o定的量”這種說法的含糊性，這標(biāo)志著清晰而明確的極限概念的真正建立.此外，維爾斯特拉斯還用這一方法定義了連續(xù)函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分的概念，使微積分的定義擺脫了幾何直觀所帶來的含糊觀念最終成了今天的形式.1.4極限思想的完善盡管用-語言定義的極限概念非常嚴(yán)密，并以占領(lǐng)微積分課堂100年之久，但他復(fù)雜的課堂邏輯結(jié)構(gòu)卻成為微

8、積分入門難以理解和掌握的難點(diǎn)之一.近年來眾多的專家學(xué)者在該研究領(lǐng)域取得了突破性的進(jìn)展.特別是廣州大學(xué)張景中院士提出了和-語言同樣嚴(yán)格但易于被初學(xué)者所掌握的D-語言極限.(1) D-數(shù)列極限定義：若存在恒正遞增無界數(shù)列，使得對(duì)一切數(shù)列n，總有，則.(2) D-函數(shù)極限定義：設(shè)函數(shù)f(x)在的空心領(lǐng)域有定義，是指存在零的某右領(lǐng)域內(nèi)的恒正遞增無界函數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，總有. 從極限概念的“-語言”到“D-語言”的過程其實(shí)就是不斷簡化-語言的邏輯結(jié)構(gòu)，化邏輯為運(yùn)算的過程，他的基本思想是用簡單的單調(diào)過程刻畫一般的，復(fù)雜的極限過程，并且在刻畫極限的過程中-語言與D-語言還具有實(shí)質(zhì)的等價(jià)性.D-語言的提出，為數(shù)學(xué)

9、分析課程的教學(xué)改革指出了一個(gè)新的方向，也為極限思想的進(jìn)一步完善開辟了道路. 第2章 極限思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用2.1極限思想在概念里的滲透極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終，可以說數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限，在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、極數(shù)的斂散性，重積分和曲線積分與曲面積分的概念.（1） 如以函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義.記稱為自變量（在點(diǎn)）的增量或改變量，設(shè)，相應(yīng)的函數(shù)（在點(diǎn)）的增量記為，可見，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于，是當(dāng)自變量得增量時(shí)，函數(shù)值得增量趨于零時(shí)的極限.（2）函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若極限存在

10、，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，令，則可寫為，所以，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.（3） 函數(shù)在區(qū)間上的定積分的定義。設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對(duì)認(rèn)給的正數(shù)，總存在某一正數(shù)，使對(duì)的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要，就有，則稱函數(shù)為在上的定積分，記。是當(dāng)分割細(xì)度趨于零時(shí)，積分和式的極限.（4）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列，的極限來定義的等等.2.2極限思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個(gè)問題：已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線.（1） 瞬時(shí)速度 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，

11、若為某一確定的時(shí)刻，為鄰近于的時(shí)刻，則是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間段上的平均速度. 若時(shí)平均速度的極限存在，則稱極限為質(zhì)點(diǎn)時(shí)刻的瞬時(shí)速度.（2）切線的斜率 曲線在其上一點(diǎn)處的切線PT是割線PQ當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q沿此曲線無限接近于點(diǎn)p時(shí)的極限位置.由于割線PQ斜率為因此當(dāng)時(shí)如果的極限存在，則極限即為切線PT的斜率.給出導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰城內(nèi)有定義，若極限存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作.令,則上式可改寫為.2.3極限思想在積分中的應(yīng)用積分是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，其中的不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算而定積分則是某種特殊和式的極限，下面給出在定積分中極限思想的重要應(yīng)用.定積分提出的背景：曲邊

12、梯形是由非負(fù)連續(xù)曲線.直線以及x軸所圍成，求此曲邊梯形的面積？（1） 將曲邊梯形分成個(gè)小曲邊梯形（2） 當(dāng)很大，且當(dāng)所有的都很少小時(shí)，每個(gè)小時(shí)曲邊梯形都可看成小矩形第個(gè)小曲邊梯形面積其中，此時(shí).（3）當(dāng)n無限增大時(shí)，即當(dāng)個(gè)無限趨近于0時(shí)，就無限趨近于曲邊梯形的面積，故.定積分在閉區(qū)間內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，依次為它們把分成個(gè)小區(qū)間， ，這些分點(diǎn)或這些閉子區(qū)間構(gòu)成對(duì)的一個(gè)分割，記或。小區(qū)間長度為并記設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，若對(duì)任給正數(shù)，總有在某一正數(shù)，使得對(duì)的分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要就有，則稱函數(shù)在區(qū)間上可積，數(shù)稱為上的定積分，記作. 第3章 證明極限存在及求極限的方法求函數(shù)和數(shù)

13、列的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運(yùn)算，求極限的主要方法有用定義、四則運(yùn)算、兩邊夾法則、實(shí)數(shù)連續(xù)性定理等，除這些常規(guī)的方法外還有許多技巧，這些技巧隱含在函數(shù)論的相關(guān)理論中，以下主要以例題的形式介紹相關(guān)方法與技巧.3.1用極限的四則運(yùn)算法則和簡單技巧求極限利用極限的四則運(yùn)算法求函數(shù)極限時(shí)需對(duì)所給的函數(shù)進(jìn)行逐一驗(yàn)證，若滿足條件才可利用此法則進(jìn)行計(jì)算，并不是不滿足極限四則運(yùn)算法則條件的函數(shù)就沒有極限，可將函數(shù)進(jìn)行恒等變形使其符合條件后再求，而對(duì)函數(shù)進(jìn)行恒等變形時(shí)往往運(yùn)用一些簡單技巧，如拆項(xiàng)、分子分母有理化、變量替換等.例1：求解：此式為型，且分母極限為，因此先分子有理化，所以，原式.3.2用迫斂性準(zhǔn)則求極限所

14、以，根據(jù)迫斂性定理有：原式 .收斂數(shù)列的迫斂性：設(shè)收斂數(shù)列，都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)有，則數(shù)列收斂，且.函數(shù)極限的迫斂性：設(shè)，且在某內(nèi)有，則.例2：求由3.3用泰勒公式求極限常用的泰勒公式：.例3：求解：由泰勒公式知所以，原式.3.4用等價(jià)無窮小求極限常用的等價(jià)無窮?。寒?dāng)時(shí)， ，.例4：解：因?yàn)?，所以，原式.3.5用洛比達(dá)法則求極限洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限，等類型，經(jīng)過簡單變換，可化為型或型極限.例5：求解：由是型不定式極限，有恒等變形轉(zhuǎn)化為型不定式極限。所以，應(yīng)用洛必達(dá)法則原式.3.6利用微分中值定理和積分中值定理求極限（1）第一積分中值定理：若在上連續(xù)，則至少有

15、在一點(diǎn) 使得（2）第二積分中值定理：設(shè)函數(shù)在上可積。若在上減(增)且，則存在 使或.例6：求解：有微分中值定理 (介于與之間)原式.例7：求解：令,在上可積，故不變號(hào)連續(xù)，由積分第一中值定理，由為有界量，為無窮小量故.四、總結(jié)極限理論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)分析主要研究微分和積分，而極限又是微積分學(xué)大廈的基石，可以說沒有充分的極限理論就不可能有今天數(shù)學(xué)蓬勃發(fā)展的局面，所以，我們應(yīng)學(xué)好極限理論及極限思想. 參考文獻(xiàn)1明清河：數(shù)學(xué)分析的思想與方法 M.山東大學(xué)出版社.2004.2李克典,馬云苓：數(shù)學(xué)分析選講M.廈門大學(xué)出版社.2005.3華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系：數(shù)學(xué)分析M.高等教育出版社.1999.9. 4 M.克萊因：古今數(shù)學(xué)思想（第四冊(cè)）M.上?？萍汲霭嫔?1983.10.致 謝“飲其流時(shí)思其源，成吾學(xué)時(shí)念吾師?！敝链苏?/p>