線性代數(shù)45100

1、第一章 行列式（一）行列式的定義行列式是指一個(gè)由若干個(gè)數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個(gè)式子，它實(shí)質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù).1二階行列式由4個(gè)數(shù)得到下列式子：稱為一個(gè)二階行列式，其運(yùn)算規(guī)則為2三階行列式由9個(gè)數(shù)得到下列式子：稱為一個(gè)三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念.3余子式及代數(shù)余子式設(shè)有三階行列式 對任何一個(gè)元素，我們劃去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序組成一個(gè)二階行列式，稱它為元素的余子式，記成例如 ，再記 ，稱為元素的代數(shù)余子式.例如

2、，那么 ，三階行列式定義為我們把它稱為按第一列的展開式，經(jīng)常簡寫成4n階行列式一階行列式 n階行列式 其中為元素的代數(shù)余子式.5特殊行列式上三角行列式下三角行列式對角行列式 （二）行列式的性質(zhì)性質(zhì)1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù).性質(zhì)3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號(hào).推論1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零.推論2 如果行列式中某兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零.性質(zhì)4 行列式可以按行（列）拆開.性質(zhì)5 把行列式D的某一行（列）的

3、所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.定理1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即或前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式.本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值.定理2 n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零.即或（三）行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法：（1）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時(shí)要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（1），在按行

4、或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)“0”元素，再按這一行或這一列展開：例1計(jì)算行列式 解：觀察到第二列第四行的元素為0，而且第二列第一行的元素是，利用這個(gè)元素可以把這一列其它兩個(gè)非零元素化為0，然后按第二列展開.例2 計(jì)算行列式 解：方法1這個(gè)行列式的元素含有文字，在計(jì)算它的值時(shí)，切忌用文字作字母，因?yàn)槲淖挚赡苋?值.要注意觀察其特點(diǎn)，這個(gè)行列式的特點(diǎn)是它的每一行元素之和均為（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子

5、，再將后三行都減去第一行：方法2 觀察到這個(gè)行列式每一行元素中有多個(gè)b，我們采用“加邊法”來計(jì)算，即是構(gòu)造一個(gè)與 有相同值的五階行列式：這樣得到一個(gè)“箭形”行列式，如果，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化為零.例3 三階范德蒙德行列式 （四）克拉默法則定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個(gè)方程的n元線性方程組為如果其系數(shù)行列式，則方程組必有唯一解：其中是把D中第j列換成常數(shù)項(xiàng)后得到的行列式.把這個(gè)法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有定理2 設(shè)有含n個(gè)方程的n元齊次線性方程組如果其系數(shù)行列式，則該方程組只有零解：換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有，在教

6、材第二章中，將要證明，n個(gè)方程的n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零.例4 當(dāng)取何值時(shí)，齊次線性方程組只有零解？解：方程組的系數(shù)行列式由于故當(dāng)且且時(shí)，方程組只有零解.第二章 矩陣（一）矩陣的定義1矩陣的概念由個(gè)數(shù)排成的一個(gè)m行n列的數(shù)表稱為一個(gè)m行n列矩陣或矩陣當(dāng)時(shí)，稱為n階矩陣或n階方陣元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用或O表示23個(gè)常用的特殊方陣：n階對角矩陣是指形如 的矩陣n階單位方陣是指形如 的矩陣n階三角矩陣是指形如 的矩陣3矩陣與行列式的差異矩陣僅是一個(gè)數(shù)表，而n階行列式的最后結(jié)果為一個(gè)數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，只有一階方陣是一個(gè)數(shù)，而且行列式記號(hào)

7、“”與矩陣記號(hào)“”也不同，不能用錯(cuò).（二）矩陣的運(yùn)算1矩陣的同型與相等設(shè)有矩陣，若，則說A與B是同型矩陣.若A與B同型,且對應(yīng)元素相等，即，則稱矩陣A與B相等，記為因而只有當(dāng)兩個(gè)矩陣從型號(hào)到元素全一樣的矩陣，才能說相等.2矩陣的加、減法設(shè)，是兩個(gè)同型矩陣則規(guī)定 注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減.由于矩陣的相加體現(xiàn)為元素的相加，因而與普通數(shù)的加法運(yùn)算有相同的運(yùn)算律.3數(shù)乘運(yùn)算設(shè)，k為任一個(gè)數(shù)，則規(guī)定故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意數(shù)k與行列式D的乘積，只是用k乘行列式中某一行或某一列，這兩種數(shù)乘截然不同.矩陣的數(shù)乘運(yùn)算具有普通數(shù)的乘法所具有的運(yùn)算律.4乘法運(yùn)算

8、設(shè)，則規(guī)定其中 由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時(shí)，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中某一列元素對應(yīng)相乘再相加而得到.故矩陣乘法與普通數(shù)的乘法有所不同，一般地：不滿足交換律，即在時(shí)，不能推出或，因而也不滿足消去律.特別，若矩陣A與B滿足，則稱A與B可交換，此時(shí)A與B必為同階方陣.矩陣乘法滿足結(jié)合律，分配律及與數(shù)乘的結(jié)合律.5方陣的乘冪與多項(xiàng)式方陣設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定特別又若，則規(guī)定稱為A的方陣多項(xiàng)式，它也是一個(gè)n階方陣6矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè)A為一個(gè)矩陣，把A中行與列互換，得到一個(gè)矩陣，稱為A的

9、轉(zhuǎn)置矩陣，記為，轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律：，由轉(zhuǎn)置運(yùn)算給出對稱矩陣，反對稱矩陣的定義設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若A滿足，則稱A為對稱矩陣，若A滿足，則稱A為反對稱矩陣.7方陣的行列式矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，但對于n階方陣，有方陣的行列式的概念.設(shè)為一個(gè)n階方陣，則由A中元素構(gòu)成一個(gè)n階行列式，稱為方陣A的行列式，記為方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則；（三）方陣的逆矩陣1可逆矩陣的概念與性質(zhì)設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若存在另一個(gè)n階方陣B，使?jié)M足，則把B稱為A的逆矩陣，且說A為一個(gè)可逆矩陣，意指A是一個(gè)可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩陣B記為，從而A與首先必可交換，且乘積為單

10、位方陣E.逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣，為常數(shù)，則是可逆矩陣，且；AB是可逆矩陣，且；kA是可逆矩陣，且是可逆矩陣，且可逆矩陣可從矩陣等式的同側(cè)消去，即 設(shè)P為可逆矩陣，則 2伴隨矩陣設(shè)為一個(gè)n階方陣，為A的行列式中元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為（務(wù)必注意中元素排列的特點(diǎn)）伴隨矩陣必滿足 （n為A的階數(shù)）3n階陣可逆的條件與逆矩陣的求法定理：n階方陣A可逆，且推論：設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足，則A，B都可逆，且， 例1 設(shè)（1）求A的伴隨矩陣（2）a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，A可逆？此時(shí)求 解：（1）對二階方陣A，求的口訣為“主交換，次變號(hào)”即（2）由，故當(dāng)時(shí)

11、，即，A為可逆矩陣此時(shí)（四）分塊矩陣1 分塊矩陣的概念與運(yùn)算對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡潔，常用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣叫做分塊矩陣.在作分塊矩陣的運(yùn)算時(shí)，加、減法，數(shù)乘及轉(zhuǎn)置是完全類似的，特別在乘法時(shí)，要注意到應(yīng)使左矩陣A的列分塊方式與右矩陣B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來看待，相乘時(shí)A的各子塊分別左乘B的對應(yīng)的子塊.2準(zhǔn)對角矩陣的逆矩陣形如 的分塊矩陣稱為準(zhǔn)對角矩陣，其中均為方陣空白處都是零塊.若都是可逆矩陣，則這個(gè)準(zhǔn)對角矩陣也可逆，并且五）矩陣的初等變換與初等方陣1 初等變換對一個(gè)矩陣A施

12、行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為初等變換，（1）交換A的某兩行（列）；（2）用一個(gè)非零數(shù)k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩陣的初等變換與行列式計(jì)算有本質(zhì)區(qū)別，行列式計(jì)算是求值過程，用等號(hào)連接，而對矩陣施行初等變換是變換過程用“”連接前后矩陣.初等變換是矩陣?yán)碚撝幸粋€(gè)常用的運(yùn)算，而且最常見的是利用矩陣的初等行變換把矩陣化成階梯形矩陣，以至于化為行簡化的階梯形矩陣.2初等方陣由單位方陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣.由于初等變換有三種類型，相應(yīng)的有三種類型的初等方陣，依次記為，和，容易證明，初等方陣都是可逆矩陣，且它們

13、的逆矩陣還是同一類的初等方陣.3初等變換與初等方陣的關(guān)系設(shè)A為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對A作同類型的初等列變換.4矩陣的等價(jià)與等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與B等價(jià)，記為對任一個(gè)矩陣A，必與分塊矩陣等價(jià)，稱這個(gè)分塊矩陣為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.即對任一個(gè)矩陣A，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得 5用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣設(shè)A為任一個(gè)n階可逆矩陣，構(gòu)造矩陣（A，E）然后 注意：這里的初等變換必須是初等行變換. 例2 求的逆矩陣 解： 則 例3 求解矩陣方程解：令，則矩陣方程為，這里

14、A即為例2中矩陣，是可逆的，在矩陣方程兩邊左乘，得也能用初等行變換法，不用求出，而直接求則 （六）矩陣的秩1 秩的定義設(shè)A為矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩或零矩陣的秩為0，因而，對n階方陣A，若秩，稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣.2 秩的求法由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對任一個(gè)矩陣A，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).3與滿秩矩陣等價(jià)的條件n階方陣A滿秩A可逆，即存在B，使 A非奇異，即 A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為E A可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘積 齊次線性方程組只有零解 對任意非零列向量b，非

15、齊次線性方程組有唯一解 A的行（列）向量組線性無關(guān) A的行（列）向量組為的一個(gè)基 任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組的線性組合，且表示法唯一. A的特征值均不為零 為正定矩陣.（七）線性方程組的消元法.對任一個(gè)線性方程組可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對應(yīng).對于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.例4 解線性方程組解：把線性方程組的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣：得到同解線性方程組 即 或取為自由未知量，可知方程組有無窮多解，上

16、式就是所給方程組的一般解.例4 解線性方程組解：把線性方程組的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣：得到同解線性方程組 即 或取為自由未知量，可知方程組有無窮多解，上式就是所給方程組的一般解.2向量的線性組合設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱為的一個(gè)線性組合，常數(shù)稱為組合系數(shù).若一個(gè)向量可以表示成則稱是的線性組合，或稱可用線性表出.3矩陣的行、列向量組設(shè)A為一個(gè)矩陣，若把A按列分塊，可得一個(gè)m維列向量組稱之為A的列向量組.若把A按行分塊，可得一個(gè)n維行向量組稱之為A的行向量組.4線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個(gè)解就是一個(gè)組合系數(shù).例1問能否表示成，的線

17、性組合？解：設(shè)線性方程組為 對方程組的增廣矩陣作初等行變換：則方程組有唯一解所以可以唯一地表示成的線性組合，且（二）向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)1 線性相關(guān)性概念設(shè)是m個(gè)n維向量，如果存在m個(gè)不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱為相關(guān)系數(shù).否則，稱向量線性無關(guān).由定義可知，線性無關(guān)就是指向量等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.特別 單個(gè)向量線性相關(guān)； 單個(gè)向量線性無關(guān)2求相關(guān)系數(shù)的方法設(shè)為m個(gè)n維列向量，則線性相關(guān)m元齊次線性方程組有非零解，且每一個(gè)非零解就是一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣的秩小于m例2 設(shè)向量組，試討論其線性相關(guān)性.解：考慮方程組其系數(shù)矩陣 于是，秩，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為令，得一

18、個(gè)非零解為則3線性相關(guān)性的若干基本定理定理1 n維向量組線性相關(guān)至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.即線性無關(guān)任一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合.定理2 如果向量組線性無關(guān)，又線性相關(guān)，則可以用線性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān).定理4 無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān).3線性相關(guān)性的若干基本定理定理1 n維向量組線性相關(guān)至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.即線性無關(guān)任一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合.定理2 如果向量組線性無關(guān)，又線性相關(guān)，則可以用線性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體

19、組也必相關(guān)，或者整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān).定理4 無關(guān)組的接長向量組必?zé)o關(guān).例3 求出下列向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表出：解：把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個(gè)矩陣，再用初等行變換把它化成簡化階梯形矩陣易見B的秩為4，A的秩為4，從而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相應(yīng)地為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，而且（四）向量空間1 向量空間及其子空間的定義定義1 n維實(shí)列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實(shí)n維向量空間，記作定義2 設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合，若V對于向量的線性運(yùn)算封閉，則稱集合V是的子空間，也稱為向量空間.2 向量空間的基與維數(shù)設(shè)V為一個(gè)向

20、量空間，它首先是一個(gè)向量組，把該向量組的任意一個(gè)極大無關(guān)組稱為向量空間V的一個(gè)基，把向量組的秩稱為向量空間的維數(shù).顯然，n維向量空間的維數(shù)為n，且中任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都是的一個(gè)基.3 向量在某個(gè)基下的坐標(biāo)設(shè)是向量空間V的一個(gè)基，則V中任一個(gè)向量都可以用唯一地線性表出，由r個(gè)表出系數(shù)組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標(biāo).例4 證明：構(gòu)成的一個(gè)基，并求出在此基下的坐標(biāo).解：考慮由這三個(gè)3維向量組成的三階行列式 所以線性無關(guān)，它們構(gòu)成的基，令由得唯一解,則所求在此基下的坐標(biāo)為第四章 線性方程組（一） 線性方程組關(guān)于解的結(jié)論定理1 設(shè)為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是定理2 當(dāng)n元非齊

21、次線性方程組有解時(shí)，即時(shí)，那么（1）有唯一解；（2）有無窮多解.定理3 n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是推論1 設(shè)A為n階方陣，則n元齊次線性方程組有非零解推論2 設(shè)A為矩陣，且，則n元齊次線性方程組必有非零解（二）齊次線性方程組解的性質(zhì)與解空間首先對任一個(gè)線性方程組，我們把它的任一個(gè)解用一個(gè)列向量表示，稱為該方程組的解向量，也簡稱為方程組的解.考慮由齊次線性方程組的解的全體所組成的向量集合顯然V是非空的，因?yàn)閂中有零向量，即零解，而且容易證明V對向量的加法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算封閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數(shù)仍為解，于是V成為n維列向量空間的一個(gè)子空間，我們稱V為方程組的解空間（三）齊次

22、線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解把n元齊次線性方程組的解空間的任一個(gè)基，稱為該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.當(dāng)n元齊次線性方程組有非零解時(shí)，即時(shí)，就一定存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系中所含有線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為求基礎(chǔ)解系與通解的方法是：對方程組先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通解，從中也能求出一個(gè)基礎(chǔ)解系. 例1 求的通解解：對系數(shù)矩陣A，作初等行變換化成簡化階梯形矩陣：，有非零解，取為自由未知量，可得一般解為寫成向量形式，令，為任意常數(shù)，則通解為可見，為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.（四）非齊次線性方程組1 非齊次線性方程組與它對應(yīng)的齊次線性方程組（即導(dǎo)出組）的解之間的關(guān)系設(shè)為一個(gè)

23、n元非齊次線性方程組，為它的導(dǎo)出組，則它們的解之間有以下性質(zhì)：性質(zhì)1 如果是的解，則是的解性質(zhì)2 如果是的解，是的解，則是的解由這兩個(gè)性質(zhì)，可以得到的解的結(jié)構(gòu)定理：定理 設(shè)A是矩陣，且，則方程組的通解為其中為的任一個(gè)解（稱為特解）,為導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.2求非齊次線性方程組的通解的方法對非齊次線性方程組，由消元法求出其一般解，再把一般解改寫為向量形式，就得到方程組的通解. 例2 當(dāng)參數(shù)a，b為何值時(shí)，線性方程組有唯一解？有無窮多解？無解？在有無窮多解時(shí)，求出通解.解：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，把它化成階梯形矩陣：當(dāng)時(shí)，有唯一解；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，有無窮多解.此時(shí)，方程組的一般解為 令

24、為任意常數(shù)，故一般解為向量形式，得方程組通解為第五章 特征值與特征向量（一）特征值與特征向量1 實(shí)方陣的特征值與特征向量的定義與求法設(shè)A為一個(gè)n階實(shí)方陣，若存在一個(gè)數(shù)及一個(gè)非零n維列向量，使得，則稱為A的一個(gè)特征值，稱是A的屬于這個(gè)特征值的一個(gè)特征向量.特征值必是特征多項(xiàng)式的根，而相應(yīng)特征向量必是齊次線性方程組的非零解，反之也對.例1 設(shè)，求A的特征值和特征向量.解： A的特征方程為則為A的兩個(gè)特征值.對，求解 ，即 得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，則為A的屬于的一個(gè)特征向量.對，同理可求出的一個(gè)基礎(chǔ)解系為則為A的屬于的一個(gè)特征向量2特征值和特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)是n階方陣的全體特征值，則必有這里

25、為矩陣A的n個(gè)對角元之和，稱為A的跡.性質(zhì)2 設(shè)已知為A的特征值，為相應(yīng)特征向量，即，那么對任意多項(xiàng)式 必有，特別性質(zhì)3 n階方陣A的屬于不同特征值的特征向量必線性無關(guān).（二）方陣的相似變換1 矩陣相似的定義與相似矩陣的基本性質(zhì)設(shè)A和B是兩個(gè)n階方陣，如果存在某個(gè)n階可逆矩陣P，使得，則稱A和B是相似的，記為AB.相似矩陣必有相同的特征多項(xiàng)式，因而必有相同的特征值，相同的跡和相同的行列式，但反之不一定.2 方陣相似對角化 若n階方陣A能相似于一個(gè)n階對角矩陣，則說方陣A是可以相似對角化的，有以下基本定理：定理 n階方陣A可相似對角化A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.推論 當(dāng)n階方陣A有n個(gè)互不相同的

26、特征值時(shí)，A必能相似對角化.3方陣相似對角化的方法設(shè)A為n階實(shí)方陣，若它能相似對角化，即A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，不妨設(shè)它們屬于的特征值依次為（這里可以有重復(fù)的）則令為一個(gè)n階可逆矩陣，必有稱這個(gè)對角矩陣為A的相似標(biāo)準(zhǔn)形. 例2 設(shè)，求A的相似標(biāo)準(zhǔn)形解：A的特征方程為則為A的特征值.可求出屬于的線性無關(guān)特征向量為 ，屬于二重特征值的線性無關(guān)特征向量為 于是 為A的三個(gè)特征無關(guān)特征向量，A可相似對角化令為可逆矩陣.使得，為A的相似標(biāo)準(zhǔn)形解：A的特征方程為則為A的特征值.可求出屬于的線性無關(guān)特征向量為 ，屬于二重特征值的線性無關(guān)特征向量為 于是 為A的三個(gè)特征無關(guān)特征向量，A可相似對角化令為可逆

27、矩陣.使得，為A的相似標(biāo)準(zhǔn)形（三）向量內(nèi)積和正交矩陣1向量內(nèi)積的定義和基本性質(zhì)下面我們在n維向量空間中討論設(shè)為兩個(gè)n維列向量，把實(shí)數(shù)，稱為向量與的內(nèi)積向量的內(nèi)積具有對稱性、線性性與正定性.2向量的長度n維列向量的長度為實(shí)數(shù)。當(dāng)時(shí)，稱為單位向量.對任意一個(gè)非零向量都可以單位化：，這里必為單位向量3向量的正交（1）設(shè)為兩個(gè)n維向量，若內(nèi)積，則稱與正交，記為（2）如果一個(gè)向量組中不含零向量，且其中任意兩個(gè)向量都是正交的，即兩兩正交，則稱這個(gè)向量組為正交向量組.（3）若S已知為一個(gè)正交向量組，且其中每個(gè)向量都是單位向量，則稱S為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.（4）正交向量組必為線性無關(guān)向量組，反之不一定.（5）把線

28、性無關(guān)向量正交化的方法（施密特正交化）：設(shè)為線性無關(guān)向量組.令， ， 則為與等價(jià)的正交向量組，若再把每個(gè)單位化，則得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.4正交矩陣如果n階實(shí)方陣A滿足，則稱A為正交矩陣.于是 A為正交矩陣 為正交矩陣 A的列（行）向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.當(dāng)A為正交矩陣當(dāng)A，B為正交矩陣AB為正交矩陣.（四）實(shí)對稱矩陣的正交相似對角化1 實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)設(shè)A為一個(gè)n階實(shí)對稱矩陣，則A的所有特征值全是實(shí)數(shù)，且屬于不同特征值的特征向量一定是正交的.2實(shí)對稱矩陣的正交相似標(biāo)準(zhǔn)形對于任意一個(gè)n階實(shí)對稱矩陣，一定存在n階正交矩陣P，使得其中對角矩陣n個(gè)對角元就是A的n個(gè)特征值.例3 求出的

29、正交相似標(biāo)準(zhǔn)形解：A的特征方程A的特征值為可求出屬于單根的特征向量為，求出屬于二重根的線性無關(guān)特征向量為把單位化，得把正交化、單位化，得于是有正交矩陣，使得第六章 實(shí)二次型（一） 實(shí)二次型的定義及其矩陣表示n元實(shí)二次型指的是含有n個(gè)未知量的實(shí)系數(shù)二次齊次多項(xiàng)式：這里，則可把二次型寫成矩陣形式：，其中 ，A為n階實(shí)對稱矩陣，它與二次型f一一對應(yīng)，把A稱為二次型f的矩陣，稱f是以A為矩陣的二次型.（二）實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形1 矩陣合同的定義設(shè)A，B為兩個(gè)n階方陣，若存在一個(gè)可逆矩陣P，使，則稱A與B合同記為請自考生弄清兩個(gè)方陣等價(jià)，兩個(gè)方陣相似及兩個(gè)方陣合同的差異點(diǎn)及關(guān)聯(lián)點(diǎn).2 實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形對于任

30、意一個(gè)n元實(shí)二次型，一定存在可逆線性變換，使得為二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形.3求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的方法（1）配方法（2）找正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)為n元實(shí)二次型，由于A為n階實(shí)對稱矩陣，由上章可知，存在n階正交矩陣P，使得，其中為A的n個(gè)特征值，則得到正交變換，使，把這種標(biāo)準(zhǔn)形稱為f的相似標(biāo)準(zhǔn)形.（三）二次型的規(guī)范形對任意一個(gè)n元二次型，一定可以經(jīng)過可逆線性變換化為規(guī)范形.而且，其中的k和r由矩陣A唯一確定，k為規(guī)范形中系數(shù)為1的項(xiàng)數(shù)，r就是A的秩.稱k為的正慣性指數(shù)，為負(fù)慣性指數(shù)稱為符號(hào)差.（四）正定二次型與正定矩陣1 正定二次型的定義設(shè)為n元實(shí)二次型，如果對于任何非零實(shí)列向量X，都有，則稱 為正定二次型，

31、稱對稱矩陣A為正定矩陣.2 正定二次型的判別方法為n元正定二次型，即A為正定矩陣.的正慣性指數(shù)為nA合同于單位方陣，即存在可逆矩陣P，使得A的n個(gè)順序主子式全大于零A的n個(gè)特征值全大于零例1 求k為何值時(shí)，二次型為正定二次型？解：的矩陣為因?yàn)锳的順序主子式為，所以是正定二次型當(dāng)且僅當(dāng).高數(shù)（二）之線性代數(shù)篇重難點(diǎn)解析與全真練習(xí)高數(shù)（二）之線性代數(shù)篇重難點(diǎn)解析與全真練習(xí)（一）第一章 行列式一、重點(diǎn)1、理解：行列式的定義，余子式，代數(shù)余子式。2、掌握：行列式的基本性質(zhì)及推論。3、運(yùn)用：運(yùn)用行列式的性質(zhì)及計(jì)算方法計(jì)算行列式，用克萊姆法則求解方程組。二、難點(diǎn)行列式在解線性方程組、矩陣求逆、向量組的線性

32、相關(guān)性、求矩陣的特征值等方面的應(yīng)用。三、重要公式1、若A為n階方陣，則kA= knA2、若A、B均為n階方陣，則AB=A·B3、若A為n階方陣，則A*=An-1若A為n階可逆陣，則A-1=A-14、若A為n階方陣，i（i=1,2,n）是A的特征值，Ai四、題型及解題思路1、有關(guān)行列式概念與性質(zhì)的命題2、行列式的計(jì)算（方法）1）利用定義2）按某行（列）展開使行列式降階3）利用行列式的性質(zhì)各行（列）加到同一行（列）上去，適用于各列（行）諸元素之和相等的情況。各行（列）加或減同一行（列）的倍數(shù)，化簡行列式或化為上（下）三角行列式。逐次行（列）相加減，化簡行列式。把行列式拆成幾個(gè)行列式的和差

33、。4）遞推法，適用于規(guī)律性強(qiáng)且零元素較多的行列式5）數(shù)學(xué)歸納法，多用于證明3、運(yùn)用克萊姆法則求解線性方程組若D =A0，則Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2= D2/D，xn= Dn/D其中Dj是把D中xj的系數(shù)換成常數(shù)項(xiàng)。注意：克萊姆法則僅適用于方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相等的方程組。4、運(yùn)用系數(shù)行列式A判別方程組解的問題1）當(dāng)A0時(shí)，齊次方程組Ax0有非零解；非齊次方程組Axb不是唯一解（可能無解，也可能有無窮多解）2）當(dāng)A0時(shí)，齊次方程組Ax0僅有零解；非齊次方程組Axb有唯一解，此解可由克萊姆法則求出四、全真練習(xí)題一、重點(diǎn)1、理解：矩陣的定義、性質(zhì)，幾種特殊的矩陣（零矩陣，上（下）三角

34、矩陣，對稱矩陣，對角矩陣，逆矩陣，正交矩陣，伴隨矩陣，分塊矩陣）2、掌握：1）矩陣的各種運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律2）矩陣可逆的判定及求逆矩陣的各種方法3）矩陣的初等變換方法二、難點(diǎn)1、矩陣的求逆矩陣的初等變換2、初等變換與初等矩陣的關(guān)系三、重要公式及難點(diǎn)解析1、線性運(yùn)算1）交換律一般不成立，即ABBA2）一些代數(shù)恒等式不能直接套用，如設(shè)A，B，C均為n階矩陣(A+B)2=A2+AB+BA+B2A2+2AB+B2(AB)2=(AB)(AB)A2B2(AB)kAkBk(A+B)(A-B)A2-B2以上各式當(dāng)且僅當(dāng)A與B可交換，即AB=BA時(shí)才成立。3）由AB=0不能得出A=0或B=04）由AB=AC不能得出

35、B=C5）由A2=A不能得出A=I或A=06）由A2=0不能得出A=07）數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式的區(qū)別2、逆矩陣1）(A1)1A2）(kA) 1=(1/k)A1，（k0）3）(AB)1=B1A14）(A1)T=(AT)15）A1=A13、矩陣轉(zhuǎn)置1）(AT)TA2）(kA) T=kAT，（k為任意實(shí)數(shù)）3）(AB)T=BTAT4）(A+B)T=AT+BT4、伴隨矩陣1）A*AA A*=AI (AB)*=B*A*2）(A*)*=An-2 A*=An-1 ,(n2)3）(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)*4）若r(A)=n，則r (A*)=n若r(A)=n-1，則r (A*)=1若r(A

36、)<n-1，則r (A*)=05）若A可逆，則(A*)-1=(1/A)A，(A*)-1(A-1)*，A*AA-15、初等變換（三種）1）對調(diào)二行（列）2）用k（k0）乘以某行（列）中所有元素3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的對應(yīng)元素注意：用初等變換求秩，行、列變換可混用求逆陣，只能用行或列變換求線性方程組的解，只能用行變換6、初等矩陣1）由單位陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣2）初等陣P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次與P同樣的行（列）變換3）初等陣均可逆，且其逆為同類型的初等陣E-1ij=Eij，E(-1)i(k)=Ei(1/k)，E(-1)ij(k)=Eij(-k

37、)7、矩陣方程1）含有未知矩陣的等式2）矩陣方程有解的充要條件AX=B有解<=>B的每列可由A的列向量線性表示<=>r(A)=r(AB)四、題型及解題思路1、有關(guān)矩陣的概念及性質(zhì)的命題2、矩陣的運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）3、矩陣可逆的判定n階方陣A可逆<=>存在n階方陣B，有AB=BA=I<=>A0<=>r(A)=n<=>A的列（行）向量組線性無關(guān)<=>Ax=0只有零解<=>任意b，使得Ax=b總有唯一解<=>A的特征值全不為零4、矩陣求逆1）定義法：找出B使AB=I或BA=I2）伴

38、隨陣法：A-1=(1/A)A*注意：用該方法求逆時(shí)，行的代數(shù)余子式應(yīng)豎著寫在A*中，計(jì)算Aij時(shí)不要遺漏(-1)i+j，當(dāng)n>3時(shí)，通常用初等變換法。3）初等變換法：對(AI)只用行變換化為(IA-1)4）分塊矩陣法5、解矩陣方程AX=B1）若A可逆，則X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X2）若A可逆，可用初等變換法直接求出X(AB)初等行變換(IX)3）若A不可逆，則可設(shè)未知數(shù)列方程用高斯消元法化為階梯型方程組，然后對每列常數(shù)項(xiàng)分別求解。一、重點(diǎn)1、理解：向量、向量運(yùn)算以及向量的線性組合與線性表出，極大線性無關(guān)組的概念，線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，向量組的秩的概念，矩陣的

39、秩的概念及性質(zhì)，基礎(chǔ)解系的概念。2、掌握：向量的運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律，矩陣秩的計(jì)算，齊次、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。 3、運(yùn)用：線性相關(guān)、線性無關(guān)的判定，線性方程組解的判斷，齊次、非齊次線性方程組的解法。二、難點(diǎn)線性相關(guān)、線性無關(guān)的判定。向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。方程組與向量組線性表示及秩之間的聯(lián)系。三、重點(diǎn)難點(diǎn)解析1、 n維向量的概念與運(yùn)算1） 概念2） 運(yùn)算若(a1,a2,an)T，(b1,b2,bn)T加法：(a1+b1 ,a2+b2 ,an+bn)T數(shù)乘：k(ka1,ka2,kan)T內(nèi)積：（·）a1b1+a2b2+,+anbnTT 2、線性組合與線性表出3、線性相關(guān)與線性無關(guān)1）概念2）線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件線性相關(guān)1,2,s線性相關(guān)<=>齊次方程組(1,2,s)(x1,x2,xs)T0有非零解<=>向量組的秩r(1,2,s)s (向量的個(gè)數(shù))<=>存在某i(i=1,2,s)可由其余s-1個(gè)向量線性表出特別的：n個(gè)n維向量線性相關(guān)<=>12n0n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)線性無關(guān)1,2,s線性無關(guān)<=>齊次方程組(1,2,s)(x1,x2,xs)