高等數(shù)學(xué)講義汪誠(chéng)義第七章★漢魅HanMei—考研資料分享

1、第七章 多元函數(shù)積分學(xué)§7.1 二重積分(甲) 內(nèi)容要點(diǎn)一、在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序序問(wèn)題模型I：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在 上連續(xù)，則模型II：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù) 則 關(guān)于二重積分的計(jì)算主要根據(jù)模型I或模型II，把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于比較復(fù)雜的區(qū)域D如果既不符合模型I中關(guān)于D的要求，又不符合模型II中關(guān)于D的要求，那么就需要把D分解成一些小區(qū)域，使得每一個(gè)小區(qū)域能夠符合模型I或模型II中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個(gè)小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計(jì)算

2、。在直角坐標(biāo)系中兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過(guò)來(lái)化為二重積分，求出它的積分區(qū)域D，然后根據(jù)D再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。二、在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對(duì)進(jìn)行積分，然后再對(duì)進(jìn)行積分，由于區(qū)域D的不同類(lèi)型，也有幾種常用的模型。模型I 設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。則 模型II 設(shè)有界閉區(qū)域其中在上連續(xù)，在上連續(xù)。則 （乙）典型例題一、二重積分的計(jì)算例1 計(jì)算，其中D由y=x,y=1和y軸所圍區(qū)域解： 如果那么先對(duì)求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累次積分。 這時(shí)先對(duì)x

3、積分，當(dāng)作常數(shù)處理就可以了。原式=例2 計(jì)算 解：原式= 例3 求 解一： 解二： 由積分區(qū)域?qū)ΨQ(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性可知二、交換積分的順序例1 交換解 原式=其中D由和以及所圍的區(qū)域由 因此按另一順序把二重積分化為累次積分對(duì)三塊小區(qū)域得原式例2 設(shè)證明：交換積分次序令 三、二重積分在幾何上的應(yīng)用1、求空間物體的體積例1 求兩個(gè)底半徑為R的正交圓柱面所圍立體的體積解 設(shè)兩正交圓柱面的方程為，它們所圍立體在第一卦限中的那部分體積其中D為 因此 而整個(gè)立體體積由對(duì)稱(chēng)性可知 例2 求球面所圍（包含原點(diǎn)那一部分）的體積解 其中D為xy平面上與x軸所圍平面區(qū)域用極坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算2、求曲面的面積（數(shù)學(xué)一）

4、§7.2 三重積分（數(shù)學(xué)一）(甲) 內(nèi)容要點(diǎn)一、三重積分的計(jì)算方法1、直角坐標(biāo)系中三重積分化為累次積分（1）設(shè)是空間的有界閉區(qū)域 其中D是xy平面上的有界閉區(qū)域，在D上連續(xù)函數(shù)上連續(xù)，則 （2）設(shè)其中D(z)為豎坐標(biāo)為z的平面上的有界閉區(qū)域，則2、柱坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算相當(dāng)于把(x,y)化為極坐標(biāo)（）而z保持不變3、球坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算（乙） 典型例題一、有關(guān)三重積分的計(jì)算例1 計(jì)算，其中由曲面所圍的區(qū)域解 例2 計(jì)算,其中由曲面所圍的區(qū)域解 令 則 例3 計(jì)算 所圍的區(qū)域解 用球坐標(biāo)例4 計(jì)算解 二、在物理上的應(yīng)用例1 求 橢圓錐面解 設(shè)重心坐標(biāo)（）物體所占空間區(qū)域?yàn)橛蓪?duì)稱(chēng)性

5、可知由錐體體積公式可知令 而 因此，重心坐標(biāo)例2 設(shè)有一半徑為R的球體，是球表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到的距離平方成正比（比例系數(shù)k>0）,求球體重心的位置解一：設(shè)球面方程為為 (R, 0,0)，球體的重心坐標(biāo)為（）由對(duì)稱(chēng)性可知由區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和函數(shù)的奇偶性，則有于是 因此 解二： 設(shè)球面坐標(biāo)， (0,0,0)，重心坐標(biāo)（）由對(duì)稱(chēng)性可知 于是 §7.3 曲線積分（數(shù)學(xué)一）(甲) 內(nèi)容要點(diǎn)一、 第一類(lèi) 曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）參數(shù)計(jì)算公式我們只討論空間情形（平面情形類(lèi)似）設(shè)空間曲線L的參數(shù)方程 則 （假設(shè)）這樣把曲線積分化為定積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算二、 第二類(lèi) 曲線積分

6、（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）參數(shù)計(jì)算公式我們只討論空間情形（平面情形類(lèi)似）設(shè)空間有向曲線L 的參數(shù)方程這樣把曲線積分化為定積分來(lái)計(jì)算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類(lèi)曲線積分的值差一個(gè)負(fù)號(hào)，而第一類(lèi)曲線積分的值與定向無(wú)關(guān)，故曲線不考慮定向。三、兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系空間情形：設(shè)L=為空間一條逐段光滑有定向的曲線，在L上連續(xù)，則四、格林公式關(guān)于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線之間的關(guān)系有一個(gè)十分重要的定理，它的結(jié)論就是格林公式。定理1、（單連通區(qū)域情形）設(shè)平面上有界閉區(qū)域D由一條逐段光滑閉曲線L所圍的單連通區(qū)域，當(dāng)沿L正定向移動(dòng)時(shí)區(qū)域D在L的左邊，函數(shù)在D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有五

7、、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的幾個(gè)等價(jià)條件設(shè)P，Q在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面幾個(gè)條件彼此等價(jià)1任意曲線L=AB 在D內(nèi) 與路徑無(wú)關(guān)2D內(nèi)任意逐段光滑閉曲線C，都有3成立4D內(nèi)處處有（乙）典型例題一、用參數(shù)公式直接計(jì)算例 計(jì)算曲線積分 ，其中L是曲線，從Z軸正向往負(fù)向看L的方向是順時(shí)針?lè)较?。解：曲線L是圓柱面和平面的交線，是一個(gè)橢圓周，它的參數(shù)方程（不是唯一的選法）最簡(jiǎn)單可取 ，根據(jù)題意規(guī)定L的定向，則從變到0，于是 二、用格林公式等性質(zhì)來(lái)計(jì)算曲線積分例1、求，其中，b為正的常數(shù)，L為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)（0，0）的弧解一：用格林公式，但L不是封閉曲線，故補(bǔ)上一段，它為從（0，0）沿y0

8、到的有向直線。這樣構(gòu)成封閉曲線，為逆時(shí)針?lè)较蛴谑?，令，根據(jù)格林公式 這里D為由L和圍成的上半圓區(qū)域。另外，在上，y0，故于是 解二：我們把所給曲線積分拆成兩項(xiàng)在中，由于，故積分與路徑無(wú)關(guān)又看出 因此 而在中，取L的參數(shù)方程 t從0到于是 因此，例2、計(jì)算曲線積分，其中L是以（1，0）為圓心，R（>1）為半徑的圓周,取逆時(shí)針?lè)较?解 令當(dāng)時(shí), 成立因此,不能在L 的內(nèi)部區(qū)域用格林公式設(shè)法用曲線C在L 的內(nèi)部又包含原點(diǎn)在C的內(nèi)部,這樣在C與L圍成的二連通區(qū)域內(nèi)可以用格林公式今取曲線C: 從到0為順時(shí)針?lè)较蛄頒與L圍成區(qū)域?yàn)镈(二連通區(qū)域)根據(jù)格林公式 (逆時(shí)針) (順時(shí)針)于是 (順時(shí)針)

9、 (逆時(shí)針)用C的參數(shù)公式代入后，得注：這里取C為上述橢圓周，最后計(jì)算最簡(jiǎn)單，如果取C為的圓周，那么最后的積分就比較復(fù)雜例3、設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)。證明：對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C，有；求函數(shù)的表達(dá)式。證 如圖，設(shè)C是半平面x>0內(nèi)的任一分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，在C上任意取定兩點(diǎn)M,N，作圍繞原點(diǎn)的閉曲線,同時(shí)得到另一圍繞原點(diǎn)的閉曲線.根據(jù)題設(shè)可知 根據(jù)第二類(lèi)曲線積分得性質(zhì)，利用上式可得0解：設(shè)P，P,Q在單連通區(qū)域x>0內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。由知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng)x>0時(shí)，

10、總有。 ， ， 比較、兩式的右端，得 由得 ，將代入得 所以三、應(yīng)用例 在變力的作用下一質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線到橢球面上第一卦限的點(diǎn) 問(wèn)取何值時(shí)，作功W最大，并求。解：設(shè)線段OM的參數(shù)方程 ，則在OM上作功 用拉格朗日乘子法求條件極值。構(gòu)造函數(shù) （1） （2） （3） （4）得 （5）由得 代入（5）得 ，則 ，同理得 ，故原點(diǎn)到作功最大，最大功為§7.4 曲面積分 （數(shù)學(xué)一）（甲）內(nèi)容要點(diǎn)一、第一類(lèi)曲面積分（對(duì)面積的曲面積分）基本計(jì)算公式設(shè)曲面S的方程 在D上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在S上連續(xù)，則這樣把第一類(lèi)曲面積分化為二重積分進(jìn)行計(jì)算二、第二類(lèi)曲面積分（對(duì)坐標(biāo)的曲面積分）基本計(jì)算公式如果曲面S的

11、方程 上連續(xù)，在S上連續(xù)，則若曲面S指定一側(cè)的法向量與Z軸正向成銳角取正號(hào)，成鈍角取負(fù)號(hào)，這樣把這部分曲面積分化為xy平面上的二重積分，其它兩部分類(lèi)似地處理。三、兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系其中處根據(jù)定向指定一側(cè)的法向量的三個(gè)方向余弦四、高斯公式定理 設(shè)是由分塊光滑曲面S圍成的單連通有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則(外側(cè)) 其中為S在點(diǎn)處的法向量的方向余弦五、斯托克斯公式定理：設(shè)L是逐段光滑有向閉曲線，S是以L為邊界的分塊光滑有向曲面，L的正向與S的側(cè)（取法向量的指向）符合右手法則，函數(shù)在包含S的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有也可用第一類(lèi)曲面積分六、梯度、散度和旋度1、梯度 設(shè)稱(chēng)為u的

12、梯度 ，令是算子則 2、散度 設(shè)則 稱(chēng)為的散度高斯公式可寫(xiě)成 （外側(cè)）其中為外側(cè)單位法向量3、旋度稱(chēng)為的旋度。斯托克斯公式可寫(xiě)成 其中（乙）典型例題一、用基本公式直接計(jì)算曲面積分例1、設(shè)S為橢球面的上半部分，點(diǎn)為 在點(diǎn)處的切平面，為原點(diǎn)到的距離，求解：先求出即 由S的方程，于是這樣 區(qū)域D:所以原式二 用高斯公式計(jì)算曲面積分例1計(jì)算 （常數(shù)）其中解：令曲面于是為閉下半球面的內(nèi)側(cè)設(shè)其內(nèi)部區(qū)域?yàn)?，令D為xy平面上圓域例2 計(jì)算其中S是不通過(guò)點(diǎn)（1，1，1）的球面的外側(cè)解：設(shè)（1） 當(dāng)S的內(nèi)部不包含點(diǎn)（1，1，1）時(shí)，根據(jù)高斯公式可知I = 0（2） 當(dāng)S的內(nèi)部包含點(diǎn)（1，1，1）時(shí)，作曲面選a充分

13、大，使的內(nèi)部，于是是二連通區(qū)域的邊界曲面，現(xiàn)在根據(jù)高斯公式（二連通區(qū)域）于是在，故積分可以化簡(jiǎn)令是以（外側(cè)）為邊界的空間區(qū)域再用高斯公式例3 設(shè)對(duì)x > 0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S都有其中內(nèi)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且求f (x)解：設(shè)S包圍的空間區(qū)域，由題設(shè)和高斯公式得由于S的任意性，可知即微分方程：得出通解由得則三、用斯托克斯公式例1設(shè)的上半部，求解：根據(jù)斯托克斯公式其中L為S的邊界曲線 （逆時(shí)針?lè)较颍┤的參數(shù)方程則例2 計(jì)算的交線，從z軸正向看去，L為逆時(shí)針?lè)较颉＝猓河汼為平面上L所圍成部分的上側(cè)，D為S在xy坐標(biāo)平面上的投影，由斯托克斯公式得四、曲面積分的應(yīng)用例設(shè)有一高度為h(t) (t為時(shí)間)的雪堆在融化過(guò)程中，其側(cè)面滿(mǎn)足