平面向量 (2)

1、教學(xué)案例探究平面向量數(shù)量積的含義 一教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修4（A版）第二章、第4節(jié)第1課時。它是平面向量的核心內(nèi)容，向量的平行、垂直關(guān)系是向量間最基本、最重要的位置關(guān)系，而向量的夾角、長度又是向量的重要數(shù)量特征，向量的數(shù)量積恰好是解決問題的一個重要工具。以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念，使向量數(shù)量積運算與物理知識聯(lián)系起來；由向量數(shù)量積與向量的長度及夾角的關(guān)系，進一步探究兩個向量的夾角對數(shù)量積符號的影響及有關(guān)的性質(zhì)、幾何意義和運算律。讓學(xué)生了解從特殊到一般再由一般到特殊的這種認識規(guī)律和體會概念法則的學(xué)習(xí)過程. 二.學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析：學(xué)生在學(xué)

2、習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實數(shù)的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法。 在功的計算公式和研究向量運算的一般方法的基礎(chǔ)上,學(xué)生基本上能類比得到數(shù)量積的含義和運算律,對于運算律不一定給全或給對,對運算律的證明可能會存在一定的困難,教學(xué)中老師要注意引導(dǎo)學(xué)生分析判斷.利用向量數(shù)量積運算討論一些幾何元素的位置關(guān)系、距離和角，這些刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關(guān)系的基本量學(xué)生容易混淆。利用數(shù)量積運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關(guān)系解決問題，是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的重點又是難點。 三.設(shè)計思想： 遵循高中數(shù)學(xué)課程標準以人為本的理念，以啟發(fā)式教學(xué)

3、思想和建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，采用探究式教學(xué)，以多媒體手段為平臺，利用問題讓學(xué)生自主地參與探究，在探究過程中注重學(xué)生學(xué)習(xí)過程的體驗和數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生積極將知識融入自己的知識體系。 四、教學(xué)目標 1，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； 2，掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，會進行平面向量數(shù)量積的運算； 3，能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，判斷兩個向量的垂直關(guān)系； 4，通過向量的線性運算及多項式乘法運算的對照，強化學(xué)生的類比思想；通過數(shù)量積的性質(zhì)、運算律的靈活應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生從特殊到一般的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 五.教學(xué)重點和難點: 重點是平面向量的數(shù)量積的概念和性質(zhì)；

4、用平面向量數(shù)量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數(shù)量積的運算律的探究及應(yīng)用。 難點是平面向量的數(shù)量積的定義及對運算律的探究、理解；平面向量數(shù)量積的靈活應(yīng)用。 六.教學(xué)過程：（情景一）開門見山，探究數(shù)量積的概念出示幻燈片（一）（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功-。 （2）這個公式有什么特點？請完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎? （4）如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？ 生1： （其中是和的夾角）。功是標量，力是矢量，位移是矢量，是力與位移的夾角。功是力與位移

5、的大小及其夾角余弦的乘積。 生2：結(jié)果是兩個向量大小及其夾角余弦的乘積。 師：好，由上例得已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·= ·cos定義說明： 記法“·”中間的“·”不可以省略，也不可以用“ ”代替. “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。生3（舉手）：功行嗎師:完全可以.請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)。生（全體）：功是力與位移的數(shù)量積 。 出示幻燈片（二）嘗試練習(xí)：一物體質(zhì)量是10千克，分別做以下運動： 、豎直下降10米； 、豎直向上提升10米； 、在水平面上位移

6、為10米； 、沿傾角為30度的斜面向上運動10米；分別求重力做功的大小。 （學(xué)生完成的不錯）出示幻燈片（三）: 例1 已知點評：以物理問題為背景，初步認識向量的數(shù)量積，為引入向量的數(shù)量積的概念做鋪墊。通過嘗試練習(xí)與例1的演練，一方面使學(xué)生嘗試計算數(shù)量積，鞏固對定義的理解；另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，明白學(xué)科間的聯(lián)系，同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。充分利用向量模型產(chǎn)生的物理背景,采用“特殊一般特殊”的方法，舍去實例中所有非本質(zhì)的成分，分離出實例中的本質(zhì)屬性，經(jīng)過抽象概括后形成概念。最后將概念回歸到實例當中，達到對概念的理解，鞏固。（情景二）感知小結(jié)數(shù)量積的運算性質(zhì) 師：向量的數(shù)量積運算與

7、向量的加減運算結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 生4：向量的加減運算的結(jié)果是向量，而向量的數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)量，這個數(shù)量的大小不僅和向量與的模有關(guān)，而且還和它們的夾角有關(guān)。(學(xué)生討論，并完成下表)的范圍0°<90°=90°90°<·的符號(閱讀教材)（1）給出向量投影的概念：如圖，我們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=cos 數(shù)量積的幾何意義是:數(shù)量積·于的長度與在的方向上的投影cos的乘積。師:由練習(xí)與以上概念的理解大家能得出什么性質(zhì)？（學(xué)生們爭先發(fā)表自己的小結(jié)，師生共同完成

8、。 向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)和都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則 1, 2、 3、當與同向時，·=； 當與反向時，·= -;特別地，·=2或=4, 5, 點評:引導(dǎo)學(xué)生通過自主研究，明確兩個向量的夾角決定它們的數(shù)量積的符號，進一步從細節(jié)上理解向量數(shù)量積的定義。學(xué)生通過自主閱讀、總結(jié)并發(fā)表自己的看法，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力和及時進行歸納小結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣,同時也培養(yǎng)了學(xué)生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識。把課堂還給學(xué)生，體現(xiàn)師生間的合作探究，不管是老師還是課件，都是為學(xué)生服務(wù)的.老師可以有針對性進行學(xué)習(xí)方法點撥并指出對學(xué)習(xí)過程進行及時反思的重要性。（情景

9、三）探究數(shù)量積的運算律師：回顧實數(shù)運算中有關(guān)乘法的運算律，類比可得數(shù)量積的哪些運算律。已知向量、和實數(shù)，則可得什么？生5：（1）（2）生6：(3)師：上面同學(xué)的結(jié)論是否正確？還有其他結(jié)論嗎？生7：(4)（遲疑半天后，）生8:(2)不正確.生5:正確,這不就是乘法的結(jié)合律嗎?生8: 等式左邊與向量共線，右邊與向量共線，而向量與不一定共線，因此結(jié)論不一定成立；師：另三個一定成立嗎？經(jīng)過辯論（1）（4）兩個等式根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得結(jié)果。經(jīng)過教師的點撥，緊扣已有的向量知識與本節(jié)的向量數(shù)量積的幾何意義（3）等式可得證。 小結(jié)得: 已知向量、和實數(shù)，則 師:由能否推出？(沉默交流)生9:當時，有。但

10、不能得到。點評：只要給學(xué)生空間，學(xué)生就會主動探求，積極討論，學(xué)習(xí)的熱情也表現(xiàn)出非常的高漲。通過辨析交流，學(xué)生對新知識的理解會更深入，更清晰。（情景四）應(yīng)用與提高出示幻燈片（四）:例2、例3、例4 點評：1、通過例題，練習(xí)讓學(xué)生體會實際解題中運算律的作用，比較向量運算與多項式乘法運算的異曲同工；2、讓學(xué)會利用數(shù)量積來解決有關(guān)垂直問題，讓學(xué)生自己體會用數(shù)量積將“幾何問題”化歸為方程問題來求解的簡練，進一步體現(xiàn)向量的工具作用。3、上面幾個例題，層層遞進，都是把較難的問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的較易的標準問題，體現(xiàn)了知識和方法上的轉(zhuǎn)化。七、教學(xué)反思本節(jié)課教學(xué)效果比較滿意，主要是把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交還給學(xué)生，注意學(xué)生的主動探索、思考及師生互動，還以物理知識為背景，建立了數(shù)學(xué)的平面向量數(shù)量積的概念和運算。使得學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀、生動，抓住重點。使學(xué)生懂得對已有的知識進行遷移、采用類比的方法讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)合作交流，體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達和交流的能力。在課堂中會體現(xiàn)自我，學(xué)會自己尋找解題的突破口，在探究中學(xué)會思考，在合作中學(xué)會推進，在觀察中學(xué)會比較，進而推進整個教學(xué)程序的展開。從本堂課的教學(xué)實踐中我還看到了自己有待提高的地方：1，與學(xué)生探討向量數(shù)量積的性質(zhì)時有點“抄襲”行為，閱讀了數(shù)量積