2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷(含答案)

1、2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽參考答案與評(píng)分細(xì)則一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分要求直接將答案寫(xiě)在橫線上）1已知點(diǎn)P(4，1)在函數(shù)f(x)loga(xb) (b0)的圖象上，則ab的最大值是 解：由題意知，loga(4b)1，即ab4，且a0，a1，b0，從而ab4，當(dāng)ab2時(shí)，ab的最大值是42函數(shù)f(x)sin(2x)在x 處的值是 解：2x2，所以f()sin3若不等式|ax1|3的解集為x |2x1，則實(shí)數(shù)a的值是 解：設(shè)函數(shù)f(x)|ax1|，則f(2) f(1)3，故a24第一只口袋里有3個(gè)白球、7個(gè)紅球、15個(gè)黃球，第二只口袋里有10個(gè)白球、6個(gè)紅球、

2、9個(gè)黑球，從兩個(gè)口袋里各取出一球，取出的球顏色相同的概率是 解：有兩類情況：同為白球的概率是，同為紅球的概率是，所求的概率是5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)焦距為2c的橢圓1(ab0)與橢圓1有相同的離心率e，則e的值是 解：若cb，則，得ab，矛盾，因此cb，且有，解得eABCDE（第6題圖）A1B1C1D16如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線B1D與平面A1BC1交于E點(diǎn)記四棱錐EABCD的體積為V1，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的體積為V2，則的值是 （第6題圖）ABCDEOA1B1C1D1解：記四棱錐B1ABCD的體積為V如圖，DEDB1，從而V1V又VV2，所以7若實(shí)數(shù)

3、集合A31x，65y與B5xy，403僅有一個(gè)公共元素，則集合AB中所有元素之積的值是 解：因?yàn)?1x×65y5xy×4032015xy若xy0，則集合A和集合B中有一組相等，則另一組也必然相等，這不合題意所以xy0，從而AB中所有元素之積的值為08設(shè)向量a(cos，sin)，b(sin，cos)向量x1，x2，x7中有3個(gè)為a，其余為b；向量y1，y2，y7中有2個(gè)為a，其余為b則xiyi的可能取值中最小的為 解：因?yàn)閍·ab·b1，a·b0，所以xiyi的最小值為2（第9題圖）1220159在3×3的幻方中填數(shù)，使每行、每列及兩條

4、對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等如圖，三個(gè)方格中的數(shù)分別為1，2，2015，則幻方中其余6個(gè)數(shù)之和為 解：如圖，設(shè)幻方正中間的數(shù)為x，則由題意知a2012，從而對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和為x2011因此bx2014，c4026，d2013，ex2014（第9題圖）ecdab122015x由bexx2011，解得x這9個(gè)數(shù)的和為3×(2011)，所以幻方中其余6個(gè)數(shù)之和為201810在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)D是滿足x0，y0，xyxy19的點(diǎn)(x，y)形成的區(qū)域（其中x是不超過(guò)x的最大整數(shù)）則區(qū)域D中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 解：區(qū)域D中整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1231055二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共

5、80分）11在等比數(shù)列an中，a22，q是公比記Sn為an的前n項(xiàng)和，Tn為數(shù)列a的前n項(xiàng)和若S2n2Tn，求q的值解：若q1，則ana22，a4，則S2n4n，Tn4n，S2n2Tn若q1，則an2×(1)n，a4，則S2n0，Tn4n，S2n2Tn 5分若q±1，則an2qn2，a4q2n4，從而S2n，Tn 15分由S2n2Tn，則1，q2q40，解得q綜上，q的值為和 20分ABCDP(第12題圖)E12如圖，ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且BDCEBAC的外角平分線與ADE的外接圓交于A、P兩點(diǎn)求證：A、P、B、C四點(diǎn)共圓ABCDP(第12題圖

6、)EF證明：如圖，連結(jié)PD，PE，PC因?yàn)樗倪呅蜛PDE是圓內(nèi)接四邊形,所以PADPED，PAFPDE又因?yàn)锳P是BAC的外角平分線，所以PADPAF，從而PEDPDE，故PDPE 10分又ADPAEP，所以BDPCEP又因?yàn)锽DCE，所以BDPCEP，從而PBDPCE，即PBAPCA，所以A、P、B、C四點(diǎn)共圓 10分xOyO1l(第13題圖)O2P13如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O1、圓O2都與直線l：ykx及x軸正半軸相切若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為P(2，2)，求直線l的方程解：由題意，圓心O1，O2都在x軸與直線l的角平分線上若直線l的斜率ktan，設(shè)ttan，則k圓

7、心O1，O2在直線ytx上，可設(shè)O1(m，mt)，O2(n，nt)交點(diǎn)P(2，2)在第一象限，m，n，t0 4分所以O(shè)1：(xm)2+(ymt)2=(mt)2，O1：(xn)2+(ynt)2=(nt)2，所以即 8分所以 m，n是方程X2(4+4t)X8=0的兩根，mn8由半徑的積(mt)(nt)2，得t2，故t 16分所以 k，直線l：yx 20分14將正十一邊形的k個(gè)頂點(diǎn)染紅色，其余頂點(diǎn)染藍(lán)色（1）當(dāng)k2時(shí)，求頂點(diǎn)均為藍(lán)色的等腰三角形的個(gè)數(shù)；（2）k取何值時(shí)，三個(gè)頂點(diǎn)同色(同紅色或同藍(lán)色)的等腰三角形個(gè)數(shù)最少？并說(shuō)明理由解：（1）設(shè)正十一邊形的頂點(diǎn)A1，A2，A3，A11，則易知其中任意三

8、點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形都不是正三角形以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形個(gè)數(shù)可以如此計(jì)算：以Ai(i1，2，3，11)為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形有5個(gè)，這些三角形均不是等邊三角形，即當(dāng)ji時(shí)，以Aj為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有5×1155個(gè) 5分當(dāng)k2時(shí)，設(shè)其中Am，An染成紅色，其余染成藍(lán)色以Am為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形有5個(gè)，以Am為底角頂點(diǎn)的等腰三角形有10個(gè)；同時(shí)以Am，An為頂點(diǎn)的等腰三角形有3個(gè)，這些等腰三角形的頂點(diǎn)不同色，且共有(510)×2327個(gè)注意到僅有這些等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不同藍(lán)色，故所求三個(gè)頂點(diǎn)同為藍(lán)色的等腰三角形有552728個(gè) 10分（2）若11個(gè)頂點(diǎn)中k個(gè)染紅色，其余11k個(gè)染藍(lán)色則這些頂點(diǎn)間連線段(邊或?qū)蔷€)中，兩端點(diǎn)染紅色的有條，兩端點(diǎn)染藍(lán)色的有條，兩端點(diǎn)染一紅一藍(lán)的有k(11k)條并且每條連線段必屬于且僅屬于3個(gè)等腰三角形把等腰三角形分4類：設(shè)其中三個(gè)頂點(diǎn)均為紅色的等腰三角形有x1個(gè)，三個(gè)頂點(diǎn)均為藍(lán)色的等腰三角形有x2個(gè)，兩個(gè)頂點(diǎn)為紅色一個(gè)頂點(diǎn)為藍(lán)色的等腰三角形有x3個(gè)，兩個(gè)頂點(diǎn)為藍(lán)色一個(gè)頂點(diǎn)為紅色的等腰三角形有x4個(gè)，則按頂點(diǎn)顏色計(jì)算連線段，3x1x33×， 3x2x43×， 2x32x43×k(11k)， 由得 3(