極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位.如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)分別為(x,y)和(p,e）,則x=pcos0i+y2，yy=in0tanO=xxw02.直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(pd,Oo),且極軸到此直線的角為“，則它的方程為n(8o)=眸in(e).幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程(1)直線過極點(diǎn)：0=a;(2)直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：pcos0=a；，、，花一一，一一，一一(3)直線過點(diǎn)M(b,2)且平行于極軸：psin0=b.3 .圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(田，昉，

2、半徑為r的圓的方程為1一2卬qos(8(0)+for2=0.幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程(1)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：p=r；(2)圓心位于M(r,0),半徑為r：p=2rcos0；(3)圓心位于M(r,2),半徑為r：p=2rsin0.4 .直線的參數(shù)方程x=xo+tcosa,過定點(diǎn)M(xo,y。)，傾斜角為a的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).y=yo+tsina5 .圓的參數(shù)方程x=xo+rcos0,圓心在點(diǎn)M(x。，y。)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(。為參數(shù)，0<e<2nt)y=yo+rsin06.圓錐曲線的參數(shù)方程橢圓上+/=1的參數(shù)方程為x=acos0,（0為參數(shù)）.y=

3、bsin0x = 2pt2y = 2pt(2)拋物線y2=2Px(p>0)的參數(shù)方程為真題感悟1. （2013廣東）已知曲線C的極坐標(biāo)方程為產(chǎn)2cos8,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的參數(shù)方程為.2. （2013江西）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為x；（t為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸v=t2的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為.x=acos43. （2013湖北）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為（4為參數(shù)，a>b>0）,在y=bsin（|）極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）

4、中，直線l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為psin（時*m（m為非零常數(shù)）與P=b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為.4. （2011陜西）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)x=3+cos0,A,B分別在曲線Ci：（8為參數(shù)）和曲線C2：p=1上，則AB的最小值為y=4+sin05.x=t+1,（2012湖南）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線Ci：（t為參數(shù)）與曲線C2：y=1-2tx=asin0,C1與C2的方程分別為x軸的正半軸，建立平（t為參數(shù)）的普通方程為（8為參數(shù)，a>0）有一個公共點(diǎn)在x軸上，則a=_y=3cos06. 2

5、014廣東卷（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線2（cos2。=sin。與（cos0=1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為面直角坐標(biāo)系，則曲線Ci與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為2x=2+2t7. 2014湖南卷在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C:8. 2014陜西卷C.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) 2-.TT到直線 p sin 0 -1的距離是題型與方法題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化(tx=31已知直線l的參數(shù)方程：y=1+2t.一一一一L71為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)萬程：P=2寸2sin0+4(8為參數(shù)).(1)將直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

6、(2)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.x=2t,變式訓(xùn)練1已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為尸4也y=4t+ajtcos0+4.(1)將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若圓上有且僅有三個點(diǎn)到直線l的距離為V2,求實(shí)數(shù)a的值.題型二曲線的極坐標(biāo)方程（2012福建）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l上兩點(diǎn)M,N的極坐標(biāo)21f31Tx=2+2cose,分別為（2,0）,233,2,圓C的參數(shù)方程為_爪+2.o（8為參數(shù)）.（1）設(shè)P為線段MN的中點(diǎn)，求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程；（2）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.一2tx-2t變

7、式訓(xùn)練3已知直線l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程為尸丫=興+4血冗2cos（0+4）.求圓心C的直角坐標(biāo)；由直線l上的點(diǎn)向圓C引切線，求切線長的最小值.典例M的極坐標(biāo)為 4® ；,曲線C（10分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)X=1+2cosa,的參數(shù)方程為y=2sina（1）求直線OM的直角坐標(biāo)方程；求點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值.規(guī)范解答X=COSa,1 .已知圓C的參數(shù)方程為（a為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建y=1+sina立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為psin0=1,則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

8、（a為參數(shù)）.在極坐標(biāo)系（與直角x=cos%2 .在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為y=1+sina.坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C2的方程為p（cos0-sin0）+1=0,則Ci與C2的交點(diǎn)個數(shù)為.x=-2+cos0y3.點(diǎn)P（x,y）在曲線.o（8為參數(shù)，R）上，則：的取值范圍是.x=12t,x=s,4.若直線li:（t為參數(shù)）與直線12：（s為參數(shù)）垂直，則k=y=2+kty=12sx=t,6.（2012廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為（t為參y=.tx=+cos0,數(shù)）和（8為參數(shù)），則曲線C1與C

9、2的交點(diǎn)坐標(biāo)為.y=42sin0專題限時規(guī)范訓(xùn)練、填空題x=-2+2cos民1 .曲線C：（a為參數(shù)），若以點(diǎn)0（0,0）為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極y=2sina坐標(biāo)系，則該曲線的極坐標(biāo)方程是2.已知兩曲線參數(shù)方程分別為x =證cos y = sin 0e,x=1t2,(0< 0<nt和4 (t 6 R),它們的交點(diǎn)y = t3.坐標(biāo)為.已知曲線c的參數(shù)方程是x= acos 4y= V3sin 4a>0）,直線l的參數(shù)方程是x=3+t（t為參數(shù)），曲線C與直線l有一個公共點(diǎn)在x軸上，則曲線C的普通方程為y=-1t4. （2013重慶）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，

10、x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.一、x=t2,若極坐標(biāo)方程為pcose=4的直線與曲線3（t為參數(shù)）相交于A,B兩點(diǎn)，則ABy=t二、解答題x=1+t,5 .設(shè)直線|1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線|2的方程為y=3x+4,求|1與|2間的距y=1+3t離.x=5cos4,6 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓（4為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線y=3sin4x=4-2t,（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程.y=3-t7 .（2012江蘇）在極坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過點(diǎn)P花，圓心為直線psin。一/=一半與432極軸的交點(diǎn)，求圓C的極坐標(biāo)方程.Tt2?x=2cos0,8.已知直線的極坐標(biāo)方程為ne+-

11、=,圓M的參數(shù)萬程（其中。為參42y=-2+2sin0數(shù))，極點(diǎn)在直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸與x軸正半軸重合.(1)將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)求圓M上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.9.在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，2acos O(a>0),已知過點(diǎn) P(-2,x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，已知曲線4)的直線l的參數(shù)方程為x2 +乎t,y4+號,2 一C: psin 0=直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).(1)寫出曲線C和直線l的普通方程；(2)若PM,MN,PN成等比數(shù)列，求a的值.10.(2013福建)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)A

12、的極坐標(biāo)為(*J2,4),直線l的極坐標(biāo)方程為pcos(0-4)=a,且點(diǎn)A在直線l上.(1)求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；x=1+cos%(2)圓C的參數(shù)方程為(a為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.y=sina2013、2014年全國高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編：坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、選擇題1.(2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)(理)試題(純WORD0)在極坐標(biāo)系中，圓p=2cos的垂直于極軸的兩條切線方程分別為()A.=0(R)和cos=2B.=(R)和cos=2C.=(R)和cos=1D.=0(R)和cos=12二、填空題2.(2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)(理)

13、試題(含答案)已知圓的極坐標(biāo)方程為 4cos ,圓心為C點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 43,則 | CP =cos 1與 cos1的公共點(diǎn)到3.(2013年高考上海卷(理)在極坐標(biāo)系中，曲線極點(diǎn)的距離為4.(2013年高考北京卷(理)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(2,一)到直線psin。=2的距離等于5.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若極坐標(biāo)方程為cos4的直xt2_線與曲線（為參數(shù)）相交于A,B兩點(diǎn)，則AByt36 .（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WOR版）（坐標(biāo)系與參數(shù)x.2cost方

14、程選講選做題）已知曲線C的參數(shù)方程為y'28nt（為參數(shù)），C在點(diǎn)1,1處的切線為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則的極坐標(biāo)方程為7 .（2013年高考陜西卷（理）C.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角為參數(shù)，則圓x2y2x0的參數(shù)方程為.xt8 .（2013年高考江西卷（理）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）設(shè)曲線C的參數(shù)方程為2（為yt2參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線c的極坐標(biāo)方程為9 .（2013年高考湖南卷（理）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若xtx1: xt,（t為參數(shù)）過橢圓C:xytay3cos2si

15、n10. （2013年高考湖北卷（理）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為x a cosy bsin為參數(shù)，ab0.在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線與圓O的極坐標(biāo)方程分別為2sin-mm為非零常數(shù)與b.若直線經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為.三、解答題11. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)（理）（純WOR版含答案）選修44;坐標(biāo)系與參數(shù)方程x2cos已知動點(diǎn)P,Q都在曲線C:（為參數(shù)上，對應(yīng)參數(shù)分別為與y2sin2（02）,M為PQ的中點(diǎn).（I）求M的軌跡的參

16、數(shù)方程；（n）將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).12. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WOR版）選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.圓C1,直線C2的極坐標(biāo)方程分別為4sin,cos212.4（I）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(II)設(shè)P為Ci的圓心，Q為Ci與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn).已知直線PQ的參數(shù)方程為t3ab°tR為參數(shù)，求a,b的值.bt31213.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué) 程:在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)（理）試題（純WOR版）坐標(biāo)系與參數(shù)方

17、,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系.已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（J2,）,直線的極坐標(biāo)方程為4（1）求a的值及直線的直角坐標(biāo)方程cos（） a ,且點(diǎn)A在直線上.x 1 cos（2）圓c的參數(shù)萬程為y sin,(為參數(shù)），試判斷直線與圓的位置關(guān)系14.（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WOR版含附加題）C.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程本小題滿分10分.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線的參數(shù)方程為2t1（為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為2x 2 tany 2 tan為參數(shù)）,試求直線與曲線C的普通方程，并求出它們的公共點(diǎn)的坐標(biāo)（2013年高考新課標(biāo)1（理）選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)

18、方程已知曲線G的參數(shù)方程為x45cost（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2y55sint的極坐標(biāo)方程為2sin(I)把Ci的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(n)求Ci與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(p>0,。<o<2Tt).2014遼寧卷選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程將圓x2+y2=1上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C.(1)寫出C的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l:2x+y2=0與C的交點(diǎn)為Pi,P2,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.2014新課標(biāo)全國卷n選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐，一、冗標(biāo)方程為P=2cos0,0605.(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點(diǎn)D在C上，C在D處的切線與直線l:y=J3x+2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo).x=2 + t,(t為參數(shù)). y=2-2tl的普通方程；23.2014全國新課標(biāo)卷I選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程寫出曲線C的參數(shù)方程、直線已知曲線C:x-+y-=1,直線l:49過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°