應(yīng)用彈性力學(xué)教程第四章

1、第四章 結(jié)構(gòu)的振動(dòng)41 振動(dòng)的一些基本概念實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)一般很復(fù)雜，我們從動(dòng)力學(xué)角度出發(fā)，分析系統(tǒng)產(chǎn)生振動(dòng)的內(nèi)因和外因。在研究中要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行理想化，忽略一些次要因素，將它簡(jiǎn)化為一抽象化的力學(xué)模型，稱作力學(xué)系統(tǒng)。然后可運(yùn)用力學(xué)原理建立描述系統(tǒng)動(dòng)力特性的數(shù)學(xué)方程（如數(shù)學(xué)微分方程），這一過程稱為建模。例如一個(gè)最簡(jiǎn)單的單自由度系統(tǒng)系統(tǒng)質(zhì)量塊m，彈簧剛度系數(shù)，粘性阻尼系數(shù)，在重力作用下的靜伸長為，所以取靜平衡位置為坐標(biāo)起點(diǎn)0，則在作用下，質(zhì)量塊的受力如下圖所示。由牛頓第二定律由于，因此 （1）此為單自由度系統(tǒng)在外激勵(lì)作用下振動(dòng)微分方程。（一）無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)此時(shí)，無阻尼，由式（1）得 （2）其解為代入

2、微分方程(2)，得即特征方程其根為式中，由初始條件確定?？梢?，無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng) 固有頻率 固有周期其中，振幅；初相位。（二）阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)其解為其特征方程：其特征根引入一無量綱參數(shù)： 阻尼比 對(duì)于不同阻尼比，上式將給出實(shí)根或復(fù)根（1）過阻尼情況 （）這時(shí)是一對(duì)互異實(shí)根，那么其中，由初始條件決定。因此，過阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是衰減運(yùn)動(dòng)，無振蕩。（2）臨界阻尼情況（）這時(shí)，是一對(duì)相等的實(shí)根，于是（3）欠阻尼情況 （）這時(shí)是一對(duì)共軛復(fù)根，所以其中阻尼固有頻率，小于固有頻率。4. 彈性體的振動(dòng)飛機(jī)操縱桿、直升機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的軸、飛機(jī)機(jī)翼、直升機(jī)旋翼、發(fā)動(dòng)機(jī)葉片等的振動(dòng)都是彈性體的振動(dòng)，如桿

3、的縱向振動(dòng)、圓軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)、梁的彎曲振動(dòng)等。對(duì)其特性與振動(dòng)方程進(jìn)行研究具有重要的工程意義。飛機(jī)機(jī)翼顫振、直升機(jī)旋翼顫振、直升機(jī)“地面”和“空中”共振、噪聲振動(dòng)控制等是飛機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究的重要內(nèi)容，作為介紹，我們考察彈性梁的振動(dòng)問題。如果梁各截面的中心主軸在同一平面內(nèi)，外載荷也作用于該平面內(nèi)，則梁的主要變形振動(dòng)為彎曲振動(dòng)。對(duì)于細(xì)長梁的低頻振動(dòng)，可忽略梁剪切變形，以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)量慣量的影響，此為伯努力梁模型。分析步驟：建立運(yùn)動(dòng)偏微分方程通過分離變量將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程組由邊界條件求出固有振動(dòng)特性利用固有振型的正交性將系統(tǒng)解耦用振型疊加法得系統(tǒng)的自由振動(dòng)或受迫振動(dòng)梁：梁長度，橫截面積A(

4、x)，彈性模E，質(zhì)量密度，中性軸慣矩I(x)，:單位長度橫向外力和外力矩，:時(shí)刻的橫向位移由牛頓第二定律：梁微段的橫向運(yùn)動(dòng)滿足：即有由材料力學(xué)可知：則對(duì)于均勻等截面直梁：和為常數(shù)： 梁的運(yùn)動(dòng)偏微分方程（一）自由振動(dòng)的形式令，則自由振動(dòng)方程：采用分離變量法求解：設(shè)，其中W(x)梁截面中性軸處的橫向振幅，q(t)描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)間函數(shù)，代入運(yùn)動(dòng)方程，可得即方程左端為的函數(shù)，右端為的函數(shù)，與彼此獨(dú)立有其中。解上述方程，得式中，可由梁兩端的邊界條件確定；,則由梁的運(yùn)動(dòng)初始條件確定。（二）固有振動(dòng)的確定最常見的邊界條件有三種：（1）固定邊界條件在固定端處橈度和轉(zhuǎn)角為零，即(2）鉸支邊界條件在鉸支端處橈度

5、和彎矩為零，即（3）自由邊界條件在自由端上彎矩和剪力為零，即例題 確定兩端鉸支均勻材料等截面直梁的固有頻率和固有振型。解 鉸支梁兩端的邊界條件分別為將它們代入，及的表達(dá)式，可得 由于鉸支梁不會(huì)產(chǎn)生剛體運(yùn)動(dòng)，即, 此為固有頻率。對(duì)應(yīng)的固有振型函數(shù)為例題 確定均勻材料等截面懸臂梁的固有頻率和固有振型。解 對(duì)于端固支，端自由的懸臂梁，其邊界條件為我們可以將前面的改寫成：其中：將邊界條件（）處代入上式，可得將邊界條件（）處代入上式，可得梁的運(yùn)動(dòng)要求常數(shù)和不能同時(shí)為零，故有：固有頻率方程為：該方程的根可由圖解法大致確定后，再用精確化，可得相應(yīng)的固有頻率為固有振型函數(shù)為其中。因此，可取為（三）固有振型的正

6、交性考察具有簡(jiǎn)單邊界條件的均勻材料等截面直梁，其固有頻率和固有振型滿足方程：，其中：我們將上式兩端同乘以，并沿梁長作關(guān)于的積分，利用分部積分，可得根據(jù)邊界（固支，簡(jiǎn)支，自由端）的邊界條件，上式等式右邊第1，2項(xiàng)總為零，故由于和是任取的，交換順序有將兩式相減，可得除了兩端自由梁的兩個(gè)零固有頻率，時(shí)總有，因此，（四）自由振動(dòng)梁的自由振動(dòng)是各階固有振動(dòng)的線性組合其中常數(shù)和由初始條件確定，即由時(shí)刻的，來決定。例題 求兩端鉸支的均勻材料等截面直梁在以下兩種擾動(dòng)下的自由振動(dòng)：1）2）梁在初始瞬時(shí)是出于平衡狀態(tài)，在處的微段內(nèi)受脈沖力作用，引起在處的初速度為解 由鉸支梁的固有頻率及固有振型函數(shù)公式：對(duì)于初始條件（1）的情況：比較上式兩端同次諧波，得 梁彎曲的自由振動(dòng)為對(duì)于初始條件（2）的情