電磁場習(xí)題解4

1、第四章恒定磁場4-1.真空中邊長為a的正方形導(dǎo)線回路，電流為 I,求回路中心的磁場。解：設(shè)垂直于紙面向下的方向?yàn)閦方向。由例4-1知，長為a的線電流I在平分線上距離為a/2的點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為LIB1 = ?, 2 二a因而，邊長為a的正方形導(dǎo)線回路在中心點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B =4B1題4-1圖4-2.真空中邊長為a的正三角形導(dǎo)線回路，電流為 I,求回路中心的磁場。解：設(shè)垂直于紙面向下的方向?yàn)閦方向。由例4-1知，長為a的線電流I在平分線上距離為b的點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1 JI4 二b2 a 2,b (2)對于邊長為a的正三角形，中心到每一邊的距離為b = J3a / 6 ,因而，邊長為 a的

2、正方形導(dǎo)線回路在中心點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為o q9JoIB = 3b1 = ?2 二a4-3.真空中導(dǎo)線繞成的回路形狀如圖所示，電流為I。求半圓中心處的磁場。(a)/a(b)i(c)題4-3.圖解：設(shè)垂直于紙面向內(nèi)的方向?yàn)閦方向。由例4-2知，半徑為a的半圓中心處的磁場為C c0IB1 =24a(1)因?yàn)樵谳d流長直導(dǎo)線的延長線上磁場為零，因此LIB =?4a(2)由例4-1知，本題半無限長的載流長直導(dǎo)線在距離為a處的磁場為4IB2 =2,因此本題磁場為半圓環(huán)的磁場與兩半無限長的直導(dǎo)線的磁場之和0IB - -? 一(二 2)4 二 a(3)本題磁場為電流方向相反的兩不同半徑的半圓環(huán)的磁場之和，即oI

3、1B = Z?(一4a4-4.在真空中將一個半徑為 a的導(dǎo)線圓環(huán)沿直徑對折，使這兩半圓成一直角。電流為 I,求 半圓弧心處的磁場。解：本題磁場為兩相同半徑但平面法線垂直的半圓環(huán)的磁場之和IB = ()? ?)4a?、？分別為兩半圓環(huán)平面的法向單位矢。4-5.真空中半徑為a的無限長導(dǎo)電圓筒上電流均勻分布，電流面密度為 Js,沿軸向流動。求圓筒內(nèi)外的磁場。解：由題意，電流具有軸對稱分布， 磁場也具有軸對稱分布。因此無限長導(dǎo)電圓筒內(nèi)的磁場為零；無限長導(dǎo)電圓筒外的磁場可用安培環(huán)路定律計算。圍繞無限長導(dǎo)電圓筒做一半徑為P的圓環(huán)，利用安培環(huán)路定律 - B dl =，I l在圓環(huán)上磁場B =Bd？相等，I

4、=2naJ s ,因此，I LaJsB ：=2:二4-6.如果上題中電流沿圓周方向流動，求圓筒內(nèi)外的磁場。解：由于導(dǎo)電圓筒內(nèi)為無限長，且電流沿圓周方向流動，因此導(dǎo)電圓筒外磁場為零，導(dǎo)電圓筒內(nèi)磁場為勻強(qiáng)磁場，且方向沿導(dǎo)電圓筒軸向，設(shè)為 z方向。利用安培環(huán)路定律，取閉合 回路為如圖所示的矩形，長度為L,則因此：B dl = BZLlB z = 口0 J s4-7.真空中一半徑為a的無限長圓柱體中， 電流沿軸向流動,7 2電流分布為J = zJ0 -,求磁a感應(yīng)強(qiáng)度。解：由題意，電流具有軸對稱分布， 磁場也具有軸對稱分布, 場可用安培環(huán)路定律計算。圍繞無限長導(dǎo)電圓柱軸線做一半徑為定律因此無限長載流導(dǎo)

5、電圓柱的磁P的圓環(huán)，利用安培環(huán)路左邊右邊:.B dl -0Ii：22 a二Jo D422a2 二 Jo a;二 aJJo 73因此有B :=, 2 4ao J oa4 二2； a a4-8.在真空中，電流分布為0：二 aJ =0a ： b-PcJ = zJs - JoZ求磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由題意，電流具有軸對稱分布， 磁場也具有軸對稱分布，因此磁場可用安培環(huán)路定律計算。圍繞z軸線做一半徑為 p的圓環(huán)，利用安培環(huán)路定律 B dl - oI l左邊B dl = B12l右邊0;0 ：二：二 a332二(：-a ) 一;a :二：:二 b3b332 二（b - a ） 2二bJo； p b3b因此有B

6、 :：=0;0 二 P :二 a,330（:-a ）、h;a ：:二 b3b 733b - a。（bJ。）/ ：; P b3b4-9.已知無限長導(dǎo)體圓柱半徑為 a,其內(nèi)部有一圓柱形空腔半徑為b,導(dǎo)體圓柱的軸線與圓柱形空腔的軸線相距為 c,如圖所示。若導(dǎo)體中均勻分布的電流密度為j =J0J,試求空腔中的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：利用疊加原理，空腔中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為B = B1 B2B1為電流均勻分布的實(shí)圓柱的磁感應(yīng)強(qiáng)度；B2為與此圓柱形空腔互補(bǔ)而電流密度與實(shí)圓柱的電流密度相反的載流圓柱的磁感應(yīng)強(qiáng)度。利用安培環(huán)流定律0 J 0 . o J 0 J 0 cBi =?i ?i =z)1220 J 0.J0 J

7、0B 2 = ：- 2 ?2 = z P 222式中0、 62分別為從圓柱中心軸和圓柱空腔中心軸指向場點(diǎn)的矢量。因此JJB =上？ 1 _ ：2)? c22c為從圓柱中心軸指向圓柱空腔中心軸的矢量。-0J 0；z 0題4-10圖4-11.寬度為w的導(dǎo)電平板上電流面密度為Js =J0y,如圖所示，求磁感應(yīng)強(qiáng)度。題4-11圖解：在空間取場點(diǎn)（x,z）,在導(dǎo)電平板上x,位置取寬度為dx ,的細(xì)長電流，在場點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為dB=WLJdx222二(x - x) z ? ( x - x,) ? zz習(xí)題圖4-94-10.已知真空中位于 xy平面的表面電流為j1 = J0x求磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于在無限大的平

8、面上有均勻電流，因此產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場。 磁場方向在y方向，跨電流面取一長為L的矩形回路，利用安培環(huán)路定律得B2L =。LJ 0因此 寫成矢量形式為;z ： 09 口0J 0?2Q LJy?2導(dǎo)電平板上的電流產(chǎn)生的總場為-0 J 0(x-x)? 似B 二 jdB = 22dx2 zx W /2x _ W /2I2(arctg _ arctg )zzz2 W / 2(X -X) zLJ0(x W /2)= ?ln 2二(x _W / 2)4-12.半徑為a的均勻帶電圓盤上電荷密度為p0 ,圓盤繞其軸以角速度 旋轉(zhuǎn)，求軸線上任點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：帶電圓盤繞其軸以角速度 與旋轉(zhuǎn)，其上電流密度為J s =

9、Psv = Psy。在帶電圓盤上取寬度為dr的小環(huán)，電流為dI =Pscordr ,由例4-2知，在軸線上產(chǎn)生的磁場為dB =?2(r20r dI223 /2z ) If r 3dr二？一0-,223/22(r- z )旋轉(zhuǎn)帶電圓盤在軸線上產(chǎn)生的磁場為3/ 222二？ - 0 ： s a I 2z .2z2,a2 z24-13.計算題4-2中電流的矢量磁位。解：首先計算載電流為I、長度為L1+ L2的直線在距離為d處的矢量磁位。設(shè)電流方向?yàn)椋?JiRJ. i L1 ?！4 二，2dz=!?3i|nL1 + dL2 + d 2,z2 d24 二22-L2, L2 d對于等邊三角形，L1- 3d

10、=a。其中等邊三角形的一條邊在等邊三角形中心6的矢量磁位為 - i?0 IAi = ?i4 二231n 2-3如圖所示。題4-13圖等邊三角形的三條邊在等邊三角形中心的矢量磁位為23 o o oln L。? +4 +B) =02 一434-14.計算題 4 3中電流的矢量磁位u4-15. 一塊半徑為a長為d的圓柱形導(dǎo)磁體沿軸向均勻磁化，磁化強(qiáng)度為 化電流及磁化電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于均勻磁化，J=$mM =0圓柱形導(dǎo)磁體中的磁化體電流為零。的磁化面電流密度為 Js=M ? = M 0 ?在圓柱形導(dǎo)磁體表面取一寬度為dz的電流環(huán)帶，dI =ModzM = M 0z,求磁圓柱形導(dǎo)磁體

11、側(cè)面先計算此電流環(huán)帶在軸線上的磁場（例 4-2）, dB=?2J0a2dI2(a2 (z 一 z)2)3/2然后對dz積分d .L0a2 M 0dzB =2 0022 3/20 2a (z -z)積分得磁化強(qiáng)度為4-16. 一段截面為a Mb長為d的方柱形導(dǎo)磁體沿長度方向均勻磁化，M = M 0z:求磁化電流及磁化電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于均勻磁化，J=VmM =0方柱形導(dǎo)磁體中的磁化體電流為零。方柱形形導(dǎo)磁體側(cè)面的磁化面電流密度為 Js = M父？，圍繞方柱形導(dǎo)磁體表面作如圖所示的平行與xy面的矩形回路，電流沿此矩形回路流動。先求高度為dz的矩形回路電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度a

12、b，Mdzb(b)2 - (a)2 - (z -z)2 (-)2 - (z - z)2(-)2 - (z - z)2a 222dB = z） -4 二LM dB =?abb 2 a 22()()(z -z) a 2(-)(z-z)(-)(z-z)22-dz24-17.在磁導(dǎo)率為L的媒質(zhì)1及磁導(dǎo)率為R2的媒質(zhì)2中距邊界面為h處分別平行于邊界平面放置相互平彳r的電流11、i2 ,如圖所示，求單位長度的載流導(dǎo)線所受的力。h一日2題4-17圖解：用鏡像法。在計算媒質(zhì)1中的磁場時，在 2區(qū)的鏡像位置放置鏡像電流 I 2 ；在計算媒質(zhì)2中的磁場時，在1區(qū)的鏡像位置放置鏡像電流I 1。利用邊界條件H 1t

13、= H 2t、B1n = B2n ,可得方程I1 I 2 =I1I2(I1I2 ) 一 L(I1L).1.2I2解此方程得2-I1 =I11 J J 112I2.一cJ J I c c電流11所受的力為 F1 =I1?x B2 =(h?)4 二h，I 電流12所受的力為 f2 =i 2pM B1 =(-h?)4二 h一年為引力方向。4-18.在截面為正方形a x a半徑為R( R a)的磁環(huán)上，密繞了兩個線圈，一個線圈為m匝，另一個線圈為 n匝。磁芯的磁導(dǎo)率為 100,分別近似計算兩線圈的自感及互感。 解：近似認(rèn)為密繞在磁環(huán)上的線圈無漏磁，磁環(huán)中磁場相等。用安培環(huán)路定律H dl = NIN為線

14、圈匝數(shù)。取閉合回路沿磁環(huán)中心線，則磁環(huán)中NIH 二JNI即B =由于Ra ,穿過磁環(huán)截面的磁通近似為=BS = Ba2a NI因此22a m I1L17rm ,11,22a mIi彳2mI 22La n 12L2a 2n2I2彳2m= nm2a m n I1彳2m.La 2mnIia ,如圖所示。求長直h、的圓弧之間的磁通,4-19.在一長直導(dǎo)線旁放一矩形導(dǎo)線框，線框繞其軸線偏轉(zhuǎn)一角度為導(dǎo)線與矩形導(dǎo)線框之間的互感并在圖上畫出互感為正時的電流方向。 解：長直導(dǎo)線到線框兩邊的距離分別為r1 = (a / 2) 2，d 2 - ad c o SS r2 = (a / 2)2 - d 2 ad c o

15、 S長直導(dǎo)線通過線框中的磁場為長直導(dǎo)線的磁場通過線框兩邊之間的磁通等于通過半徑分別為 因此穿過線框的磁通可用下式計算r2IbdxJIbln2互感為M =1ln乜ri題4-20圖題4-19圖4-20.在一長直導(dǎo)線旁放一等邊三角形導(dǎo)線框，如圖所示。求長直導(dǎo)線與等邊三角形導(dǎo)線框 之間的互感并在圖上畫出互感為正時的電流方向。解：如圖所示，長直導(dǎo)線在等邊三角形導(dǎo)線框面上的磁場為LIB =-?-2 二 x2ydx=0dln穿過三角形導(dǎo)線框中的磁通為d (d a)d ar - a In (d a /2)d a/2互感為 M4，md(d a)d ln2(d a /2)a lnd a d a /24-21.在4-20題中如果兩導(dǎo)線回路的電流分別為Il、12 ,求等邊三角形載流導(dǎo)線框所受的磁場力。解：系統(tǒng)