平面立體的投影

1、制圖教案 立體 1Ch4 立體§41 立體的投影各種機械設備及其零件，雖然形狀結(jié)構(gòu)各異，一般都可看作由若干個基本幾何形體組成的組合體；而任何基本形體又都可以看作是由一個或若干個面圍成的。根據(jù)這些表面性質(zhì)，幾何體可分為兩類：平面立體由若干個平面圍成的幾何體，如棱柱、棱錐體等；曲面立體由曲面或曲面與平面形所圍成的幾何體，最常見的是回轉(zhuǎn)體，如圓柱、圓錐、圓臺、圓球、圓環(huán)等。一平面立體的投影平面立體主要有棱柱、棱錐等，在投影圖上表示立體就是把組成立體的平面和棱線表示出來，然后判斷其可見性?？吹靡姷睦饩€投影畫成粗實線，看不見的棱線的投影畫成細實線。1棱柱在一個平面立體中，若各棱面互相平行，則該

2、平面立體稱為棱柱，如圖236所示為一正四棱柱，它由四個棱面、頂面和底面組成。（1）分析投影其頂面和底面為水平面，該兩面的水平投影反映實形；正面、側(cè)面投影分別積聚成直線；棱柱的前、后棱面為正平面，該兩面的投影反映實形，水平面、側(cè)平面投影積聚成直線；棱柱的左、右兩棱面為側(cè)平面，該兩面的側(cè)面投影反映實形，水平面、正平面積聚成直線。棱線EC、FD為鉛錘線，水平投影積聚成一點c（e）、d（f），正面投影、側(cè)面投影反映實長 ，即：c'e'=c''e''=CE，d'f'=d''f''=DF，其它各棱線的投影分別與

3、此類似。畫圖時，應先畫出三個視圖的中心線作為投影圖的基準線，先畫出反映實形的那個投影圖（注意放高位置），再根據(jù)投影規(guī)律畫出其他兩個投影。畫完底稿后一般應檢查各投影圖是否符合點、直線、平面形的投影規(guī)律，最后擦去不必要的作圖線，加深需要的各種圖線，使其符合國家標準，如圖236。制圖教案 立體 2圖236四柱的投影、三視圖及表面求點（2）棱柱表面上求點立體表面上的點，其投影一定位于立體表面的同面投影上。例題1：已知CDEF棱面上B點的正面投影b'，求：它的水平投影b和側(cè)面投影b''。解：CDEF為鉛錘面，其水平投影具有積聚性，點B的水平投影b必在cdef這條直線上，然后由b&

4、#39;和b求出b''。注意：點的可見性的識別。2棱錐三棱錐是一個三角形底面和三個三角形棱面的四面體，如圖237所示，就是這種錐體的立體圖和按箭頭方向投影所得的三視圖。圖237三棱錐及其視圖（1）投影分析按照圖中所示的位置，三棱錐的三個三角形棱面都是一般位置平面，因此，它們的投影都不反映其真實形狀和大小，但都是小于對應棱面的三角形線框。三個棱面既然都是一般位置平面，它們的交線即三棱錐的棱線自然也是一般位置直線，它們的都不積聚成點，而是小于實際長度的傾斜直線。（2）棱錐表面上求點組成棱錐的表面有特殊平面，也有一般位置平面；特殊位置平面上點的投影可利用平面積聚性作圖；一般位置平面上

5、點的投影可選取適當?shù)妮o助線作圖，稱為輔助線法。其依據(jù)是：在平面上的點，必然在平面上且通過該點的一條直線上。制圖教案 立體圖2-38棱錐表面上求點例題2：已知：（如上圖）棱面ASB上點M的正面投影m'和棱面ASC上的N點的水平投影n，求：這兩點的另外兩個投影。解：棱面ASB是一般位置平面，過頂點S及M作一輔助線S，通過S的水平投影s2可求出M的水平投影m，再根據(jù)m'和m求出m''；還可過M點在棱面ASB上作AB的平行線IM，即作1'm'a'b'，再作1mab，求出m，并從m，m'求出m''，如上圖（b）；棱面

6、ASC是側(cè)垂面，其側(cè)投影a''s''(c'')具有積聚性，故（n''）必與a''(c'')重影，由n和n''即可求得（n'）。注意ASC是后側(cè)棱面，該面上的點（不含棱線上的點）是正投影不可見。棱錐表面上取線：方法1，作輔助線；方法2，直接延長已知線的投使與棱線相交，后求之。二曲面立體的投影常見的曲面立體主要有圓柱、圓錐、圓球、圓環(huán)、圓臺等，在投影圖上表示曲面立體，就是把組成立體的曲面或平面和曲面表示出來，然后判斷其可見性。1圓柱圓柱表示由圓柱面和頂、底圓形平面所組成，圓柱面可

7、看成是一條直線AA1繞與它平行的固定軸OO1回轉(zhuǎn)形成的曲面。直線OO1稱為回轉(zhuǎn)軸，直線AA1稱為母線，AA1回轉(zhuǎn)到任何一個位置稱為素線，如圖239所示。（1）圓柱的投影及特性圓柱的軸線H面，上、下底面為水平面貌，其水平投影面上的投影反映實形，其正面和側(cè)面投影積聚成一直線，圓柱面的水平投影也積聚為一個圓，外形輪廓的投影（即為圓柱'、面可見與不可見分界線的投影）。入正面上投影為最左、最右兩條素線AA1、BB1的投影a'a1''和d''d1''。 bb1'；側(cè)面上投為最前和最后兩條素線投影c''c1作圖時：首先畫

8、出中心線和軸線；制圖教案 立體 4然后畫出投影是圓的那個投影面的投影；再畫出其它兩個投影面的投影。如圖239圓柱的形成和投影如圖239所示，當圓柱的軸線垂直于某個投影面時，必有一個投影是圓，另兩個投影圖為全等的矩形。（2）圓柱表面上求點如圖239中的p點k點。已知：其在V面投影p'和k'，均為可見，（如圖239中的p點k點）。求：另外兩個投影。解：由于p點位于圓柱面的最左邊界母線上，其另外兩投影p、p''可直接求出，而k點不在圓柱面的界限母線上，可利用圓柱面有積聚性的H投影先求出點K的水平投影k，再由k和k'求出k''，并判斷可見性。2圓

9、錐圓錐表面由圓錐面和底面所組成，圓錐面可看成一直線繞與它相交的固定軸OO1回轉(zhuǎn)而形成的曲面。SA為母線，SA在圓錐面的任意位置即是它的素線，如圖240所示。制圖教案 立體圖240圓錐的形成和投影（1）圓錐的投影特性如圖240，圓錐軸線H面，底面圓為水平面，它的水平投影反映實形，其正面、側(cè)面投影均積聚成一條水平線。在正、側(cè)兩面投影中還要分別畫出錐面外形輪廓線的投影，在正面投影上為最左、最右兩條素線SA、SB的投影s'a'、s'b'，在側(cè)面投上為最前、最后兩條素線SC、SD的投影s''c''、s''d''

10、;。作圖：首先畫出中心線和軸線，然后畫出投影是圓的那個投影面的投影，再畫出錐頂S的三面投影，最后分別畫出其外形輪廓素線的投影，即得圓錐的投影圖，如圖232所示。特征：當圓錐軸線某一個投影面時，在該投影面上的投影為一個與底圓相等的圓形；另兩個投影必為全等的等腰三角形；其底邊為底圓的直徑投影（活說水平面積聚為一直線）；其兩腰即為輪廓素線的投影；其頂點即為錐頂?shù)耐队啊?2) 圓錐表面上求點已知：如圖240，M、K為錐面上的兩個點，M、K在V 面上的投影m'、k'， 求：其它二個投影解：求M點，M點為特殊位置點（在界限母線上），它的作圖簡單，可直接利用投影關(guān)系求出。求K點，K點是一般位

11、置的點，求它可利用兩種方法：方法1： 過點K及錐頂S作錐面上的母線SE，即先過k'作s'e'由e'求出e、e''，連接se、s''e''，它們的輔助線SE點H、W面投影，而點K的H、W面投影必在SE的同面投影上，從而求出k、k''。方法2：過點KL 錐面上作一輔助圓，該圓與圓錐的軸線，稱此圓為緯線。點K的投影必在緯線上。其作圖步驟是，先過K作水平線，它是緯線的水平投影（圓心與S點重合、半徑為R），由k'點向下引垂線與緯線圓的交點k，再由k、k'求k''。然后判斷可敬否

12、，即為所求。制圖教案 立體 6（2）圓球§42 平面與立體相交構(gòu)成零件的基本形體，有時不是完整的棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等，常常是被切去一部分。畫這樣不完整的基本形體的三視圖時，一般應先按完整形體畫出它的投影，然后再確定切割部分的形狀和位置，利用三視圖的投影關(guān)系及平面、直線的投影特性進行分析畫出三視圖。例1：畫出開槽四棱柱的三視圖分析：四棱柱的上部分用三個平面切去一部分，因此作圖時，可先畫出完整四棱柱的三視圖和開槽的主視圖，然后根據(jù)槽底是水平面，兩側(cè)是側(cè)平面的性質(zhì)，分別畫出開槽的俯、左視圖。作圖過程：如圖243所示，在圖中的俯視圖，由于通槽兩側(cè)面投影積聚為兩條直線段，把正四邊形分成

13、三個閉合的線框，當中的一個反映槽底實形；在左視圖中，由于通槽處前后棱被切去，左視圖的外形不完整，槽底的側(cè)面投影積聚為一直線，其中一段不可見用虛線表示。圖243畫四棱柱開槽三視圖例2：圓柱被平行于其軸線的截平面截割時的三視圖分析：當圓柱被平行于其軸線的截平面截割時，所得切口是矩形。例3：圓柱被兩個平行于其軸線的截平面截割時的三視圖作圖方法：接頭形狀為在圓柱左端前、后對稱切去兩塊之后而形成扁頭，每個切口由互相垂直的兩個平面切成，平行軸線截切成矩形，垂直軸線截切成弓形（圓的一部分）前后切口都由矩形和弓形組成，其作圖步驟如圖244所示。圖244接頭的三視圖制圖教案 立體 7例4：畫出球體缺口的三視圖（

14、1）平面截切球：平面截切球，其切口為正圓形，如圖245所示。其切口的水平投影是球水平投影的同心圓并反映切口實形，其它兩切口積聚成直線。圖245平面水平切球（2）開槽的半圓球及視圖圖246開槽的半圓球及視圖如圖246所示，它是在半圓球上開槽而成。作圖：畫法幾何及工程制圖出半圓球的三視圖，及開槽的主視圖，畫開槽兩側(cè)平面與球的交線，按主、左、俯的順序作圖，畫槽底平面與球的交線，按主、左、俯的順序作圖，擦去多余的線條，最后便是它的三視圖。制圖教案 立體 8§27立體表面的交線不同的零件，結(jié)構(gòu)不同，但都有不同的表面交線。畫圖時，為清晰地表達零件的形狀，需正確地畫出這些交線的投影。零件上表面的交

15、線可分為兩類。1截交線平面與立體表面的交線，2相貫線立體表面與立體表面的交線。平面立體的截交線特殊位置平面與平面立體的截交線平面立體被較平面切割后所得的截交線，是由直線段組成的平面多邊形。多邊形的各邊是立體表面的交線，而多邊形的頂點是立體的棱線與截平面的交點。截交線即在立體表面上，又在截平面上，它是立體表面和截平面的共有線，截交線上每一點都是共有點。因此，求平面與平面立體的截交線可歸結(jié)為：求平面立體棱線與截平面的交點，或求截平面與平面立體表面的交線。例1：求四棱錐SABCD被正垂面P切割后截交線的投影。圖247四棱錐被正垂面切割例2：求P、Q二平面與三棱錐SABC截交線的投影（其中：PV面，Q

16、H面）。制圖教案 立體圖248三棱錐被二平面切割常見回轉(zhuǎn)體的截交線平面與回轉(zhuǎn)體表面相交時，其截交線是由曲線或曲線與直線組成的封閉平面圖形。截交線既是截平面上的線，又是回轉(zhuǎn)體上的線，它是回轉(zhuǎn)體表面與截平面的共有線。因此求截交線的實質(zhì)是求截交線上的若干共有點，然后順序連接成封閉的平面圖形。方法是：（1）利用截平面和回轉(zhuǎn)體表面的積聚性，按投影關(guān)系直接求出截交線上點的投影，（2）利用截平面的積聚性和求曲面立體上點的方法，求出截交線上點的投影。1特殊位置平面與回轉(zhuǎn)體的截交線（1）圓柱的截交線平面與圓柱相交時，根據(jù)截平面與圓柱軸線的相對位置不同，其截交線有三種情況：兩條平行線，圓，橢圓。例1：求圓柱的截交

17、線制圖教案 立體圖249圓柱的截交線例2：圓柱被一正垂面截切，畫三視圖（2）圓錐的截交線平面與圓錐面相交時，根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對位置不同（截平面與圓錐軸線的傾斜程度），其截交線的形狀也不同。共有五種情況：詳見書中表所示。常見回轉(zhuǎn)體的相貫線相貫線：是兩相交回轉(zhuǎn)體表面的分界線，也是它們的共有線。共有線上的每一點都是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有點；因此，求兩回轉(zhuǎn)體相貫線的實質(zhì)是求兩回轉(zhuǎn)體表面的共有點；兩回轉(zhuǎn)體相交產(chǎn)生的相貫線，隨著兩回轉(zhuǎn)體的大小及相對位置的不同而變化。一般情況下相貫線是封閉的空間曲線，特殊情況為平面曲線或直線。常用的作圖方法（1）利用相貫立體表面投影的積聚性，直接求相貫線的點；（2）利用

18、輔助平面法，求作相貫線上的點。1利用立體表面投影的積聚性求相貫線例1：兩個直徑不同的圓柱，其軸線垂直相交，求其相貫線的投影。詳見書例2：求作水平圓柱與直立圓柱孔相貫線的投影。詳見書2輔助平面法當相貫的兩回轉(zhuǎn)體表面的投影均沒有積聚性時，便不能采用回轉(zhuǎn)體上直接取點來求作相貫線的投影，而要采用另一種方法即輔助平面法。即利用三面（輔助平面與相交的兩回轉(zhuǎn)面）共點來作圖。例1：制圖教案 立體 11詳見書中例題講解3影響相貫線形狀的因素圓柱、圓錐相貫時，其相貫線的性質(zhì)（空間昏平面曲線）、形狀及其投影特性取決于：（1）它們的幾何形狀（圓柱、圓錐），（2）它們的大小（直徑大?。?，（3）它們的相對位置（軸線的相交情況）。4兩同軸回轉(zhuǎn)面的相貫線詳見書中例題講解5綜合舉例詳見書中例題講解本章重點：1 投影的概念，正投影的基本特性，三視圖的形成及相互間的投影關(guān)系；2 點、線、面的投影規(guī)律及其從屬性，兩點、兩直線的相對位置，求一般位置直線的實長及傾角，兩直線的相對位置；3 點的一次、二次換面；4 基本幾何形體的投影特性，5 基本幾何形體的投影圖的尺寸標注；6 不完整基本形體的投影規(guī)律及在表面上取點、取線的作圖方法；7 平面與立體的截交線及兩回轉(zhuǎn)體的相貫線的求法（三種情況的分析方法和作圖方法），首先對問題進行空間分析和投影分析，搞清已知什么，求什么，通過分析明