第六章參數(shù)估計(jì)

1、第六章 參數(shù)估計(jì)§6.1 點(diǎn)估計(jì)的幾種方法6.1.1 替換原理和矩法估計(jì)一、矩法估計(jì)替換原理：(1)用樣本矩去替換總體矩，這里的矩可以是原點(diǎn)矩也可以是中心矩；(2)用樣本矩的函數(shù)去替換相應(yīng)的總體矩的函數(shù)。舉例二、概率函數(shù)已知時(shí)未知參數(shù)的矩法估計(jì)設(shè)總體具有已知的概率函數(shù)，是未知參數(shù)或參數(shù)向量，是樣本，假定總體的階原點(diǎn)矩存在，則對(duì)所有，都存在，若假設(shè)能夠表示成的函數(shù)，則可給出諸的矩法估計(jì)：其中是前個(gè)樣本原點(diǎn)矩：，進(jìn)一步，如果要估計(jì)的函數(shù)，則可直接得到的矩法估計(jì)。例1 設(shè)總體為指數(shù)分布，其密度函數(shù)為，是樣本，此處，由于，亦即，故的矩法估計(jì)為另外，由于，其反函數(shù)為，因此，從替換原理來看，的矩

2、法估計(jì)也可取為 ， 樣本標(biāo)準(zhǔn)差。這說明矩估計(jì)可能是不唯一的，這是矩法估計(jì)的一個(gè)缺點(diǎn)，此時(shí)通常應(yīng)該盡量采用低階矩給出未知參數(shù)的估計(jì)。 例2設(shè)是來自上的均勻分布的樣本，與均是未知參數(shù)，這里 其密度函數(shù)為 ，求，的矩估計(jì).解 由得方程組： 解此方程組，得到矩估計(jì)量: 6.1.2最大似然估計(jì)定義6.1.1 設(shè)總體的概率函數(shù)為，其中是一個(gè)未知參數(shù)或幾個(gè)未知參數(shù)組成的參數(shù)向量，是參數(shù)可能取值的參數(shù)空間，是來自該總體的樣本，將樣本的聯(lián)合概率函數(shù)看成的函數(shù)，用表示，簡(jiǎn)記為，稱為樣本的似然函數(shù)。如果某統(tǒng)計(jì)量滿足 則稱是的最大似然估計(jì)，簡(jiǎn)記為MLE。注意：(1)常常使用對(duì)數(shù)似然函數(shù)，因?yàn)槠渑c似然函數(shù)具有相同的最值

3、。(2)求導(dǎo)是最常用的求最值的方法。例3 設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的三種可能結(jié)果，其發(fā)生概率分別為，現(xiàn)做了n次試驗(yàn)，觀測(cè)到三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)分別為，(+=n)。則似然函數(shù)為 其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 將之關(guān)于求導(dǎo)并令其為0得到似然方程 解之，得 由于 所以為極大值點(diǎn)。例4 設(shè)樣本x1，x2，xn來自正態(tài)總體X N (m，s 2)，(m，s 2)是二維參數(shù)，未知，求其的極大似然估計(jì)。解 似然函數(shù)為 于是對(duì)數(shù)似然函數(shù)為 解之得易驗(yàn)證，為L(zhǎng)(m，s 2)得最大值點(diǎn)。因此，的極大似然估計(jì)值為 求導(dǎo)無法解決的問題，如下例。 例5 設(shè)是來自均勻分布的樣本，試求的最大似然估計(jì)。解 似然函數(shù)為要使達(dá)到最大，首先一點(diǎn)是示性函數(shù)取值應(yīng)

4、該為1，其次是盡可能大。由于是的單調(diào)減函數(shù)，所以的取值就盡可能小，但示性函數(shù)為1決定了不能小于，由此給出了的最大似然估計(jì)：。最大似然估計(jì)的不變性：如果是的最大似然估計(jì)，則對(duì)任一函數(shù)，其最大似然估計(jì)為。例6 設(shè)是來自正態(tài)總體N (m，s 2)的樣本，在前例中已經(jīng)求得了參數(shù)的最大似然估計(jì)為于是由最大似然估計(jì)的不變性可得如下參數(shù)的最大似然估計(jì)，它們是概率的MLE為總體0.90分位數(shù)的MLE是，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的0.90分位數(shù)。§6.2 點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)6.2.1 相合性定義6.2.1 設(shè)為未知參數(shù)，是的一個(gè)估計(jì)量，是樣本容量，若對(duì)任何一個(gè)，有則稱為參數(shù)的相合估計(jì)。注意：相合性一般可以應(yīng)用

5、大數(shù)定律或直接由定義、依概率收斂的性質(zhì)來證。例1 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，則由辛欽大數(shù)定律及依概率收斂的性質(zhì)知：(1)是的相合估計(jì)；(2)是的相合估計(jì)(3)也是的相合估計(jì)由此可見，參數(shù)的相合估計(jì)不止一個(gè)。定理6.2.1 設(shè)是的一個(gè)估計(jì)量，若。則為的相合估計(jì)。例2 設(shè)是來自均勻總體的樣本，證明的最大似然估計(jì)是相合估計(jì)。證明 由上一節(jié)知，的最大似然估計(jì)是。由次序統(tǒng)計(jì)量的分布，我們知道的分布密度函數(shù)為故有 由定理知，是的相合估計(jì)。定理6.2.2 若分別是的相合估計(jì)，是的連續(xù)函數(shù)，則是的相合估計(jì)。注意：(1)樣本均值是總體均值的相合估計(jì)；(2)樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的相合估計(jì)；(3)樣本變異系數(shù)是總體

6、變異系數(shù)的相合估計(jì)。例3 設(shè)一個(gè)試驗(yàn)有三種可結(jié)果，其發(fā)生概率分別為，現(xiàn)做了n次試驗(yàn)，觀測(cè)到三種結(jié)果發(fā)生的次數(shù)分別為，可以采用頻率替換方法估計(jì)。由于可以有三個(gè)不同的的表達(dá)式：，由大數(shù)定律，分別是，的相合估計(jì)，由上面定理知，上述三個(gè)估計(jì)都是的相合估計(jì)。6.2.2 無偏性定義6.2.2設(shè)是的一個(gè)估計(jì)，的參數(shù)空間為，若對(duì)任意的，有則稱是的無偏估計(jì)，否則稱為有偏估計(jì)。注意：無偏性可以改寫為，表示沒有系統(tǒng)偏差。例4設(shè)總體的k階矩存在，則樣本的k階矩是總體k階矩的無偏估計(jì)。證 因?yàn)樗?ak 是 mk 的無偏估計(jì)。另外，檢驗(yàn)是否為的無偏估計(jì)。因?yàn)?，故，?所以不是s 2的無偏估計(jì)，但 為s 2的無偏估計(jì)量.

7、由此可知不是s 2的無偏估計(jì)量，而樣本方差是s 2的無偏估計(jì)。 不過，當(dāng)時(shí)，有。稱是s 2的漸近無偏估計(jì)。注意：無偏性不具有不變性。即是的無偏估計(jì)時(shí)，不一定是的無偏估計(jì)，除非是的線性函數(shù)。如是s 2的無偏估計(jì)，但不是的無偏估計(jì)。例5 設(shè)總體為，是樣本，我們已經(jīng)證明是s 2的無偏估計(jì)。由定理5.3.1，其密度函數(shù)為 從而由此，我們有這說明不是的無偏估計(jì)，利用修正技術(shù)可得是的無偏估計(jì)，其中是修偏系數(shù)?？梢宰C明當(dāng)時(shí)，有，這說明是的漸近無偏估計(jì)，從而在樣本容量較大時(shí)，不經(jīng)修正的也是的一個(gè)很好的估計(jì)。6.2.3 有效性定義6.2.3設(shè)均為未知參數(shù)q 的無偏估計(jì)量，若 且至少存在一個(gè)q 0ÎQ，

8、使上述不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱有效。例6 設(shè)是取自某總體的樣本，記總體均值為，總體方差為，則都是的無偏估計(jì)，但顯然，只要，比有效。例7 在例2中，均勻總體中的極大似然估計(jì)是，由于，所以不是的無偏估計(jì)，但是的漸近無偏估計(jì)。經(jīng)過修偏后可以得到的一個(gè)無偏估計(jì)：。且另一方面，由矩法，我們可得到的另外一個(gè)無偏估計(jì)，且由此，當(dāng)時(shí)，比有效。6.2.4 均方誤差均方誤差定義式為：由于因此均方誤差由兩部分組成，點(diǎn)估計(jì)的方差與偏差的平方。如果點(diǎn)估計(jì)是無偏的，則均方誤差等于其方差。例8 在前例中，的均方誤差現(xiàn)在考慮的形如的估計(jì)，其均方誤差為用求導(dǎo)的方法不難求出當(dāng)時(shí)上述均方誤差達(dá)到最小，且，這表示雖然是的有偏估計(jì)，但其均

9、方誤差所以在均方誤差的標(biāo)準(zhǔn)下，有偏估計(jì)優(yōu)于無偏估計(jì)。例5 設(shè)總體為，是樣本，我們已經(jīng)證明是s 2的無偏估計(jì)。由定理5.3.1，其密度函數(shù)為 從而由此，我們有這說明不是的無偏估計(jì)，利用修正技術(shù)可得是的無偏估計(jì)，其中是修偏系數(shù)?？梢宰C明當(dāng)時(shí)，有，這說明是的漸近無偏估計(jì)，從而在樣本容量較大時(shí)，不經(jīng)修正的也是的一個(gè)很好的估計(jì)。6.2.3 有效性定義6.2.3設(shè)均為未知參數(shù)q 的無偏估計(jì)量，若 且至少存在一個(gè)q 0ÎQ，使上述不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱有效。例6 設(shè)是取自某總體的樣本，記總體均值為，總體方差為，則都是的無偏估計(jì)，但顯然，只要，比有效。例7 在例2中，均勻總體中的極大似然估計(jì)是，由于，

10、所以不是的無偏估計(jì)，但是的漸近無偏估計(jì)。經(jīng)過修偏后可以得到的一個(gè)無偏估計(jì)：。且另一方面，由矩法，我們可得到的另外一個(gè)無偏估計(jì)，且由此，當(dāng)時(shí)，比有效。6.2.4 均方誤差均方誤差定義式為：由于因此均方誤差由兩部分組成，點(diǎn)估計(jì)的方差與偏差的平方。如果點(diǎn)估計(jì)是無偏的，則均方誤差等于其方差。例8 在前例中，的均方誤差現(xiàn)在考慮的形如的估計(jì)，其均方誤差為用求導(dǎo)的方法不難求出當(dāng)時(shí)上述均方誤差達(dá)到最小，且，這表示雖然是的有偏估計(jì)，但其均方誤差所以在均方誤差的標(biāo)準(zhǔn)下，有偏估計(jì)優(yōu)于無偏估計(jì)。§6.3 最小方差無偏估計(jì)6.3.1 Rao-Blackwell定理定理6.3.1(Rao-Blackwell定理

11、) 設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，用條件期望構(gòu)造一個(gè)新的隨機(jī)變量，其定義為則有其中等號(hào)成立的充分必要條件是X和幾乎處處相等。定理6.3.2 設(shè)總體概率密度函數(shù)是，是其樣本，T=T()是的充分統(tǒng)計(jì)量，則對(duì)的任一無偏估計(jì)，令，則也是的無偏估計(jì)，且證明 由于T=T()是充分統(tǒng)計(jì)量，故而與無關(guān)，因此它也是一個(gè)估計(jì)(統(tǒng)計(jì)量)，只要在定理6.3.1中取即可完成本定理的證明。注意，充分性原則：如果無偏估計(jì)不是充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，則將之對(duì)充分統(tǒng)計(jì)量求條件期望可以得到一個(gè)新的無偏估計(jì)，該估計(jì)的方差比原來的估計(jì)的方差要小，從而降低了無偏估計(jì)的方差。即考慮的估計(jì)問題只需要在基于充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)中進(jìn)行即可。例1 設(shè)是來自的樣

12、本，則(或)是的充分統(tǒng)計(jì)量。為估計(jì)，可令由于所以是的無偏估計(jì)。這個(gè)估計(jì)并不好，它只使用了兩個(gè)觀測(cè)值，下面用Rao-Blackwell定理對(duì)之加以改進(jìn)：求關(guān)于充分統(tǒng)計(jì)量的條件期望，過程如下。其中?？梢则?yàn)證，是的無偏估計(jì)，且6.3.2 最小方差無偏估計(jì)定義6.3.1 對(duì)參數(shù)估計(jì)問題，設(shè)是的一個(gè)無偏估計(jì)，如果對(duì)另外任意一個(gè)的一個(gè)無偏估計(jì)，在參數(shù)空間上有都有則稱是一致是最小方差無偏估計(jì)，簡(jiǎn)記為UMVUE。注意：定理6.3.2表明，如果UMVUE存在，則它一定是充分統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)。一般而言，如果依賴充分統(tǒng)計(jì)量的無偏估計(jì)只有一個(gè)，則它就是UMVUE。定理6.3.3 設(shè)X=()是來自某總體的一個(gè)樣本，(X)是

13、的一個(gè)無偏估計(jì)，。如果對(duì)任意一個(gè)滿足的，都有則是的UMVUE。例2 設(shè)是來自指數(shù)分布的樣本，則根據(jù)因子分解定理可知，是的充分統(tǒng)計(jì)量，由于，所以是的無偏估計(jì)。設(shè)是的任一無偏估計(jì)，則 即 兩端對(duì)求導(dǎo)。得 這說明，從而 由定理6.3.3，是的UMVUE。6.3.3 Cramer-Rao不等式定義6.3.2 設(shè)總體的概率函數(shù)，滿足下列條件：(1)參數(shù)空間是直線上的一個(gè)開區(qū)間；(2)支撐與無關(guān)；(3)導(dǎo)數(shù)對(duì)一切都存在；(4)對(duì)，積分與微分運(yùn)算可交換次序，即(5)期望存在，則稱 為總體分布的費(fèi)希爾(Fisher)信息量。 注意：越大可被解釋為總體分布中包含未知參數(shù)的信息越多。 例3 設(shè)總體為泊松分布，其分

14、布列為 可以看出定義6.3.2的條件滿足，且于是 。例4 設(shè)總體為指數(shù)分布，密度函數(shù)為可以驗(yàn)證定義6.3.2的條件滿足，且于是 定理6.3.4(Cramer-Rao不等式) 設(shè)定義6.3.2的條件滿足，是來自該總體的樣本，T=T()是的任一個(gè)無偏估計(jì)，存在，且對(duì)中一切，對(duì)的微分可在積分號(hào)下進(jìn)行，即對(duì)離散總體，則將上述積分改為求和符號(hào)后，等式仍然成立，則有上式稱為C-R不等式。稱為的無偏估計(jì)的方差的C-R下界，簡(jiǎn)稱的C-R下界。特別地，對(duì)的無偏估計(jì)，有注意：如果C-R不等式中的等號(hào)成立，則稱T=T()是的任有效估計(jì)，有效估計(jì)一定是UMVUE。例5 設(shè)總體分布列為它滿足定義6.3.2的所有條件，可

15、以算得該分布的費(fèi)希爾信息量為，若是該總體的樣本，則的C-R下界為。由于樣本均值是的無偏估計(jì)，且其方差等于，達(dá)到了C-R下界，所以是的有效估計(jì)，它也是的UMVUE。例6 設(shè)總體為指數(shù)分布，它滿足定義6.3.2的所有條件，例6.3.4中已經(jīng)算出該分布的費(fèi)希爾信息量為，若是樣本，則的C-R下界為，而是的無偏估計(jì)，且其方差等于，達(dá)到了C-R下界，所以是的有效估計(jì)，它也是的UMVUE。注意：大多無偏估計(jì)都達(dá)不到其C-R下界。例7 設(shè)總體為正態(tài)分布，它滿足定義6.3.2的所有條件，下面計(jì)算它的費(fèi)希爾信息量。由于，故令，則的C-R下界為的無偏估計(jì)為可以證明，這是的UMVUE。其方差大于C-R下界。表明所有的

16、的無偏估計(jì)的方差都大于其C-R下界。定理6.3.5 設(shè)總體X有密度函數(shù)，為非退化區(qū)間，假定(1)對(duì)任意的，偏導(dǎo)數(shù)，和對(duì)所有都存在；(2)，有，其中函數(shù)，滿足，(3)，。若是來自該總體的樣本，則存在未知參數(shù)的最大似然估計(jì)，且具有相合性和漸近正態(tài)性，。如上定理表明最大似然估計(jì)通常是漸近正態(tài)的，且其漸近方差有一個(gè)統(tǒng)一的形式，主要依賴于費(fèi)希爾信息量。例8 設(shè)是來自的樣本，可以驗(yàn)證該總體分布在已知或已知時(shí)均定理6.3.5的三個(gè)條件。(1)在已知時(shí)，的MLE為，由定理6.3.5知，服從漸近正態(tài)分布。從而有，該近似分布與的精確分布相同。(2)在已知時(shí)，的MLE為，從而有§6.4 貝葉斯估計(jì)6.4.

17、1 統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)總體信息樣本信息先驗(yàn)信息：如果我們把抽取樣本看作一次試驗(yàn)，則樣本信息就是試驗(yàn)中得到的信息。貝葉斯學(xué)派的基本觀點(diǎn)是：任一未知量都可以看作是隨機(jī)變量，可用一個(gè)概率分布去描述，這個(gè)分布稱為先驗(yàn)分布；6.4.2 貝葉斯公式的密度函數(shù)形式(1)總體依賴于參數(shù)的概率函數(shù)在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中記為，它表示在隨機(jī)變量取某個(gè)給定值時(shí)總體的條件概率函數(shù)。(2)根據(jù)參數(shù)的先驗(yàn)信息確定先驗(yàn)分布。(3)從貝葉斯觀點(diǎn)看，樣本X=()的產(chǎn)生要分兩步進(jìn)行。首先設(shè)想從先驗(yàn)分布產(chǎn)生一個(gè)樣本，這一步是人們無法看到的。第二步從(X)中產(chǎn)生一組樣本，這時(shí)樣本X=()的聯(lián)合條件概率函數(shù)為(X)這個(gè)分布綜合了總體信息和樣本信息。

18、(4)由于是設(shè)想出來的，仍然是未知的，它是按先驗(yàn)分布產(chǎn)生的。為把先驗(yàn)信息綜合進(jìn)去，不能只考慮，對(duì)的其他值發(fā)生的可能性也要加以考慮，故要用進(jìn)行綜合。這樣一來，樣本X和參數(shù)的聯(lián)合分布為(X)=(X)這個(gè)聯(lián)合分布把總體信息、樣本信息和先驗(yàn)信息三種可用信息都綜合進(jìn)去了。(5)目的是要對(duì)未知參數(shù)作統(tǒng)計(jì)推斷。在沒有樣本信息時(shí)，只能依據(jù)先驗(yàn)分布對(duì)作出推斷。在有了樣本觀察值X=()之后，應(yīng)該依據(jù)(X)對(duì)作出推斷。若把(X)作如下分解：(X)X)(X)其中(X)是X的邊際概率函數(shù)： (X)=XX它與無關(guān)，或者說(X)中不含含的任何信息。因此能用來對(duì)作出推斷的僅是條件分布X)，它的計(jì)算公式是X)=(X)/(X)=

19、(X)/X這個(gè)條件分布稱為后驗(yàn)分布，它集中了總體、樣本和先驗(yàn)中有關(guān)的一切信息。上式就是用密度函數(shù)表示的貝葉斯公式。它要比更接近的實(shí)際情況。6.4.3 貝葉斯估計(jì)由后驗(yàn)分布X)估計(jì)有三種常用的方法：(1)使用后驗(yàn)分布的密度函數(shù)最大值點(diǎn)作為的點(diǎn)估計(jì)的最大后驗(yàn)估計(jì)；(2)使用后驗(yàn)分布的中位數(shù)作為的點(diǎn)估計(jì)的后驗(yàn)中位數(shù)估計(jì)；(3)使用后驗(yàn)分布的均值作為的點(diǎn)估計(jì)的后驗(yàn)期望估計(jì)。這是用得最多的一種方法，一般也簡(jiǎn)稱為貝葉斯估計(jì)，記為例1 設(shè)某事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為，為估計(jì)，對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行了n次獨(dú)立觀測(cè)，其中事件A發(fā)生了X次，顯然。假若在試驗(yàn)前對(duì)事件A沒有什么了解，從而對(duì)其發(fā)生的概率也沒有任何信息。在這種情

20、況下，貝葉斯建議采用“同等無知”的原則使用區(qū)間(0,1)上的均勻分布作為的先驗(yàn)分布，因?yàn)樗?0,1)上的每一點(diǎn)的機(jī)會(huì)均等。這一假設(shè)后被稱為貝葉斯假設(shè)。由此即可利用貝葉斯公式求出的后驗(yàn)分布。具體如下：先寫出和的聯(lián)合分布然后求X的邊際分布最后求出的后驗(yàn)分布最后的結(jié)果說明，其后驗(yàn)期望估計(jì)為如果不用先驗(yàn)信息，只用總體信息與樣本信息，那么事件A發(fā)生的概率的最大似然估計(jì)為是與貝葉斯估計(jì)不同兩個(gè)估計(jì)。 例2 設(shè)是來自正態(tài)分布的一個(gè)樣本，其中已知，未知，假設(shè)的先驗(yàn)分布亦為正態(tài)分布，其中先驗(yàn)均值和先驗(yàn)方差均已知，試求的貝葉斯估計(jì)。解 樣本X的分布和的先驗(yàn)分布分別為(X)由此可以寫出X與的聯(lián)合分布 (X)其中，

21、。若記 A=，則有 (X)注意到A，B，C均與無關(guān)，由此容易計(jì)算樣本的邊際密度函數(shù) (X)=X應(yīng)用貝葉斯公式可得到后驗(yàn)分布 X)=(X)/(X)這說明在樣本給定后，的后驗(yàn)分布為，即 X后驗(yàn)均值即為其貝葉斯估計(jì)：它是樣本均值與先驗(yàn)均值的加權(quán)平均。當(dāng)總體方差較小或樣本量較大時(shí)，樣本均值的權(quán)重較大；當(dāng)先驗(yàn)方差較小時(shí)，先驗(yàn)均值的權(quán)重較大，這一綜合符合人們的經(jīng)驗(yàn)，也是可以接受的。6.4.4 共軛先驗(yàn)分布定義6.4.1 設(shè)是總體參數(shù)，是其先驗(yàn)分布，若對(duì)任意的樣本觀測(cè)值得到的后驗(yàn)分布X)與屬于同一個(gè)分布族，則稱該分布族是的共軛先驗(yàn)分布(族)。例3 在例1中，知道(0，1)上的均勻分布就是貝塔分布的一個(gè)特例，

22、其對(duì)應(yīng)的后驗(yàn)分布則是貝塔分布。更一般地，設(shè)的先驗(yàn)分布是均已知，則由貝葉斯公式可以求出后驗(yàn)分布為，這說明貝塔分布是伯努得試驗(yàn)中成功概率的共軛先驗(yàn)分布。例2中，在方差已知時(shí)正態(tài)總體均值的共軛先驗(yàn)分布是正態(tài)分布。§6.5 區(qū)間估計(jì)6.4.1 區(qū)間估計(jì)的概念定義6.5.1 設(shè)是總體的一個(gè)參數(shù)，其參數(shù)空間為，是來自該總體的樣本，對(duì)給定的一個(gè)()，若有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和，若對(duì)任意的，有則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)q 的置信度為1-a 的置信區(qū)間，分別稱為置信下限和上限。置信度1-a 也稱置信水平。定義式的意義：由定義可知，置信區(qū)間是以統(tǒng)計(jì)量為端點(diǎn)的隨機(jī)區(qū)間，對(duì)于給定的樣本觀察值,由統(tǒng)計(jì)量構(gòu)成的置信區(qū)間可能包含真

23、值q ，也可能不包含真值q ， 但在多次觀察或?qū)嶒?yàn)中，每一個(gè)樣本皆得到一個(gè)置信區(qū)間，在這些區(qū)間中包含真值q 的區(qū)間占100（1-a）%，不包含q的僅占100a %. 例如取a=0.05，在100次區(qū)間估計(jì)中，大約有95個(gè)區(qū)間包含真值q ，而不包含q得約占5個(gè)。定義6.5.2 沿用定義6.5.1的記號(hào)，如對(duì)給定的()，對(duì)任意的，有則稱為q的1-a同等置信區(qū)間。定義6.5.3 設(shè)是統(tǒng)計(jì)量，對(duì)給定的()，對(duì)任意的，有則稱為q 的置信水平為1-a 的(單側(cè))置信下限。假如等號(hào)對(duì)一切成立，則稱為q 的1-a同等置信下限。定義6.5.4 設(shè)是統(tǒng)計(jì)量，對(duì)給定的()，對(duì)任意的，有則稱為q 的置信水平為1-a

24、的(單側(cè))置信上限。假如等號(hào)對(duì)一切成立，則稱為q 的1-a同等置信上限。6.5.2 樞軸量法樞軸量法的步驟：(1)設(shè)法構(gòu)造一個(gè)樣本和q的函數(shù)使得G的分布不依賴于未知參數(shù)。一般稱具有這種性質(zhì)的G為樞軸量。(2)適當(dāng)?shù)剡x擇兩個(gè)常數(shù)c,d，使對(duì)給定的()，有(3)假如能將進(jìn)行不等式等式等價(jià)變形化為，則有這表明是q 的1-a同等置信區(qū)間。說明：構(gòu)造置信區(qū)間的關(guān)鍵在于構(gòu)造樞軸量，名字由此得來。樞軸量的尋找一般從q 的點(diǎn)估計(jì)入手。其中c,d的選擇有多種，目的是使得到的盡可能短。但實(shí)際上經(jīng)常采用對(duì)稱的原則，即c,d的選擇使這樣得到的置信區(qū)間稱為等尾置信區(qū)間。實(shí)用的置信區(qū)間大都是等尾置信區(qū)間。例1 設(shè)是來自均

25、勻總體的一個(gè)樣本，試對(duì)給定的()給出的1-a同等置信上限。解 采用樞軸量法分三步進(jìn)行(1)我們已知的最大似然估計(jì)為樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量，而的密度函數(shù)為它與參數(shù)無關(guān)，故可取作為樞軸量G。(2)由于的分布函數(shù)為，故，因此我們可以適當(dāng)?shù)倪x擇滿足(3)利用不等式變形可容易地給出的同等置信區(qū)間為該區(qū)間的平均長(zhǎng)度為。則在及的條件下，當(dāng)，時(shí)，取得最小值，這說明是的置信水平為1-a最短置信區(qū)間。6.5.3 單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間一、s 已知時(shí)m 的置信區(qū)間這時(shí)m的點(diǎn)估計(jì)為，其分布為，因此樞軸量可選擇為，和應(yīng)滿足經(jīng)過不等式變形得到 該區(qū)間的長(zhǎng)度為，由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為單峰對(duì)稱的，由圖中可見，在的條件下，當(dāng)時(shí)，

26、達(dá)到最小，由此給出了的置信水平為1-a 的同等置信區(qū)間為。圖7-1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè) 分位點(diǎn)這是一個(gè)以主中心，半徑為的對(duì)稱區(qū)間，常將之表示為。例2 已知某種燈泡的壽命X (單位：小時(shí)) 服從正態(tài)分布N (m ，8)。現(xiàn)從這批燈泡中抽取10個(gè)，側(cè)得其壽命分別為1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200.若a =0.05， 試求期望m 的置信度為0.95的置信區(qū)間。解 由樣本算得, 查表得；由于s 2=8已知，故m的置信度為0.95的置信區(qū)間為，即1145.25，1148.75為所求得置信區(qū)間。例3 設(shè)總體為正態(tài)分布N (m ，1)，為得到

27、m 的置信度為0.95的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過1.2，樣本容量應(yīng)為多少？解 由于m 的置信度為0.95的置信區(qū)間為其區(qū)間長(zhǎng)度為，它僅依賴于樣本容量n而與樣本具體取值無關(guān)?，F(xiàn)要求，則有?，F(xiàn)在，從而，則，即樣本容量至少為11時(shí)才能使得的置信水平為0.95的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過1.2。 二、s 未知時(shí)m 的置信區(qū)間這時(shí)可用統(tǒng)計(jì)量，因?yàn)椋虼丝捎闷渥鳛闃休S量，由關(guān)系式進(jìn)行恒等變形, 即可得到置信水平為1-a 的置信區(qū)間為： .此處是的無偏估計(jì)。例4 為確定某種溶液中的甲醛濃度，取得4個(gè)獨(dú)立測(cè)量值的樣本，并算的樣本均值為，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s =0.03%。設(shè)被測(cè)總體近似的服從正態(tài)分布，a =0.05，試求出m的置

28、信水平為0.95的置信區(qū)間。解因?yàn)閟 2未知，所以m 的置信區(qū)間為這里,將代入即得m 的置信區(qū)間為8.292%,8.388%三、s 2的置信區(qū)間實(shí)際上，當(dāng)s 2未知時(shí)，均值m已知的情形極為少見，因此只就m未知的情況進(jìn)行討論。這時(shí)可取則相應(yīng)的樞軸量為其中為樣本方差。 類似地可得s 2的置信度為1-a 的置信區(qū)間為將之開方就得s的置信區(qū)間。例5 求上例中s 2的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解 對(duì)于s 2，由于m 未知，其置信區(qū)間為又 ， 和 代入即得。6.5.4 大樣本置信區(qū)間在樣本容量充分大時(shí)，可以用漸近分布來構(gòu)造近似的置信區(qū)間。設(shè)是來自二點(diǎn)分布的樣本，現(xiàn)要求的1-a 的置信區(qū)間，由中心極限定

29、理知，樣本均值的漸近分布為，因此有這個(gè)可以作為樞軸量，對(duì)給定的，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)可得括號(hào)里的事件等價(jià)于記，上述不等式可化為左側(cè)的二次多項(xiàng)式的判別式故此二次多項(xiàng)式的開口向上并與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的曲線，記此兩個(gè)交點(diǎn)即二次多項(xiàng)式的二根為，則有，二根可表示為由于比較大，在實(shí)用中通常略去項(xiàng)，于是置信區(qū)間近似為。例6 對(duì)某事件A作120次觀察，A發(fā)生36次，試給出事件A發(fā)生概率的0.95置信區(qū)間。解 這里n=120,，而，于是有即所求置信區(qū)間為0.218,0.382。例7 某傳媒公司欲調(diào)查電視臺(tái)某綜藝節(jié)目收視率，主為使得的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過，問應(yīng)調(diào)查多少用戶。解 的置信區(qū)間長(zhǎng)度為，這是一個(gè)隨機(jī)變量，但由于，所以對(duì)任意的觀測(cè)值有。這也