第八章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析

1、第八章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析一、狀態(tài)空間的基本概念1. 狀態(tài) 反應(yīng)系統(tǒng)運行狀況，并可用一個確定系統(tǒng)未來行為的信息集合。2. 狀態(tài)變量 確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨立（數(shù)目最少的）變量，如果給定了時刻這組變量的值和時輸入的時間函數(shù)，則系統(tǒng)在任何時刻的行為就可完全確定。3. 狀態(tài)向量 以狀態(tài)變量為元素構(gòu)成的向量，即。4. 狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量為坐標(biāo)的維空間。系統(tǒng)在某時刻的狀態(tài)，可用狀態(tài)空間上的點來表示。5. 狀態(tài)方程 描述狀態(tài)變量，輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組。6. 輸出方程 描述輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程。二、狀態(tài)空間描述（狀態(tài)空間表達(dá)式）1. 狀態(tài)方程與輸出方程合起來稱為狀態(tài)

2、空間描述或狀態(tài)空間表達(dá)式，線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間描述一般用矩陣形式表示，對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)有（8-1）對于線性定常離散系統(tǒng)有（8-2）2. 狀態(tài)空間描述的建立：系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述可以由系統(tǒng)的微分方程，結(jié)構(gòu)圖（方框圖），狀態(tài)變量圖、傳遞函數(shù)或脈沖傳遞函數(shù)（Z傳遞函數(shù)）等其它形式的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出。3. 狀態(tài)空間描述的線性變換及規(guī)范化（標(biāo)準(zhǔn)型）系統(tǒng)狀態(tài)變量的選擇不是唯一的，狀態(tài)變量選擇不同，狀態(tài)空間描述也不一樣。利用線性變換可將系統(tǒng)的矩陣A（見式8-1）規(guī)范化為四種標(biāo)準(zhǔn)型：能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型、對角標(biāo)準(zhǔn)型、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。三、傳遞函數(shù)矩陣及其實現(xiàn)1. 傳遞矩陣：多輸入多輸出系統(tǒng)的輸出向量的拉氏變換與輸入

3、向量的拉氏變換之間的傳遞關(guān)系，稱為傳遞矩陣，即 （8-3）式中：系統(tǒng)的輸入向量系統(tǒng)的輸出向量傳遞函數(shù)矩陣與多輸入多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的關(guān)系是：（8-4）上式中的A，B，C，D即為狀態(tài)空間描述中的矩陣A,B,C,D。2. 傳遞矩陣的實現(xiàn)：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，尋找一個狀態(tài)空間描述，并滿足式（8-4），則稱為的一個實現(xiàn)。當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)等于傳遞函數(shù)矩陣的階數(shù)時，稱該系統(tǒng)為的最小實現(xiàn)。傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)并不唯一。實現(xiàn)的常用標(biāo)準(zhǔn)形式有：可控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)，可觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)、對角型實現(xiàn)和約當(dāng)型實現(xiàn)等。四、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解1. 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（矩陣指數(shù)函數(shù)）及其性質(zhì)。2. 計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法1)

4、 級數(shù)展開法（8-5）2) 拉氏變換法（8-6）3) 凱萊-哈密爾頓法（又稱待定系統(tǒng)法）（8-7）當(dāng)矩陣A的特征值互異時，可由下式確定：（8-8）當(dāng)矩陣A具有重特征值時，待定系數(shù)，由下式確定（其它相異特征值按式（8-8）處理）。（8-9）4) 希爾維斯特（Sylvester）法（8-10）式中：I單位陣當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的個特征值互異時，用希爾維斯特方法求最為簡便。1 性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程求解1) 齊次方程 的解（8-11）2) 非齊次方程 的解（8-12）4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化對式（8-1）表示的系統(tǒng)進(jìn)行離散化，可導(dǎo)出如式（8-2）所表示的離散化狀態(tài)空間描述。其中，（8-13）5離散系統(tǒng)狀態(tài)

5、方程求解1) 遞推法（8-14）2) Z變換法（8-15）五、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性與可觀測性1. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判斷 (8-16)1) 當(dāng)系統(tǒng)中的A矩陣為對角陣且特征根互異時，輸入矩陣B中無全零行。2) 當(dāng)A為約當(dāng)陣且相同特征根分布在一個約當(dāng)塊內(nèi)時，輸入矩陣B中約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的行中不全為零，且輸入矩陣中與相異特征根對應(yīng)的行不全為零。3) 的行向量線性無關(guān)。4) 單輸入系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)型。5) 單輸入/單輸出系統(tǒng)，當(dāng)狀態(tài)空間描述導(dǎo)出的傳遞函數(shù)沒有零、極點對消時，系統(tǒng)可控，可觀測。2輸出可控型判據(jù)（8-17）1) 狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個不同的概念，其間沒有必然的聯(lián)系。單輸入/

6、單輸出系統(tǒng)若輸出不可控，則系統(tǒng)或不可控或不可觀測。3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測型判據(jù)（8-18）1) 當(dāng)系統(tǒng)的A陣為對角陣且特征根互異時，輸出矩陣C無全零列。2) 當(dāng)系統(tǒng)的A陣為約當(dāng)陣且相同的特征值分布在一個約當(dāng)塊內(nèi)時，輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列對應(yīng)的列不全為零，輸出矩陣中與相異特征值對應(yīng)的列不全為零。3) 的列向量線性無關(guān)。4) 單輸出系統(tǒng)為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。六、線性定常離散系統(tǒng)的可控性和可觀測型判據(jù)1. 可控性判據(jù)（8-19）2. 可觀測性判據(jù)（8-20）七、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器1. 狀態(tài)反饋與狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的極點配置1) 狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系

7、數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入比較后形成控制率，作為受控系統(tǒng)的控制輸入，即（8-21）式中： 若受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 (8-22)將式（8-21）代入式（8-22）可得（8-23）上式的簡化寫法為2) 狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的極點配置極點配置是通過計算選擇狀態(tài)反饋陣K，使得閉環(huán)控制系統(tǒng)的極點（即的特征值）正好處于所希望的一組極點的位置上。即令（8-24）式中：為希望的一組閉環(huán)極點。a) 用狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點任意配置的充分必要條件是受控系統(tǒng)的狀態(tài)要完全可控。狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點，只改變系統(tǒng)的極點。b) 在引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的可控性不會改變，但可觀測性不一定與原系統(tǒng)一致。c) 對于單輸入系統(tǒng)

8、，只要系統(tǒng)可控，則必能通過狀態(tài)反饋實現(xiàn)閉環(huán)極點的任意配置，而且不影響系統(tǒng)零點的分布。2狀態(tài)觀測器及其設(shè)計1) 狀態(tài)觀測器：應(yīng)用狀態(tài)反饋涉及狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，除了受控系統(tǒng)的狀態(tài)要完全可控外，還要求所有的狀態(tài)變量是可以量測的。當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量不能全部量測到時，實現(xiàn)完全狀態(tài)反饋就會遇到困難，因此提出了用狀態(tài)觀測器來重構(gòu)系統(tǒng)的全部狀態(tài)。故狀態(tài)觀測器又稱狀態(tài)估計器。2) 狀態(tài)觀測器的設(shè)計設(shè)計狀態(tài)觀測器的方框圖如圖1.8-1的虛框所示。+-+狀態(tài)觀測器圖1.8-1從圖1.8-1可以求出狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程和輸出方程（8-25）（8-24）狀態(tài)觀測器的反饋矩陣可由下式求出（8-26）式中：為一組希望的，可任意配置的極點，它決定了狀態(tài)誤差衰減的速率。3) 狀態(tài)觀測器存在的基本條件a) 原系統(tǒng)完