第八講比和比例關(guān)系

1、第八講 比和比例關(guān)系比和比例，是小學(xué)數(shù)學(xué)中的最后一個(gè)內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)更多數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ).有了“比”這個(gè)概念和表達(dá)方式，處理倍數(shù)、分?jǐn)?shù)等問題，要方便靈活得多.我們希望，小學(xué)同學(xué)學(xué)完這一講，對“除法、分?jǐn)?shù)、比例實(shí)質(zhì)上是一回事，但各有用處”有所理解.這一講分三個(gè)內(nèi)容：一、比和比的分配；二、倍數(shù)的變化；三、有比例關(guān)系的其他問題.一、比和比的分配最基本的比例問題是求比或比值.從已知一些比或者其他數(shù)量關(guān)系，求出新的比.例1 甲、乙兩個(gè)長方形，它們的周長相等.甲的長與寬之比是32，乙的長與寬之比是75.求甲與乙的面積之比.解：設(shè)甲的周長是2. 甲與乙的面積之比是答：甲與乙的面積之比是864875

2、.作為答數(shù)，求出的比最好都寫成整數(shù).例2 如右圖，ABCD是一個(gè)梯形，E是AD的中點(diǎn)，直線CE把梯形分成甲、乙兩部分，它們的面積之比是107.求上底AB與下底CD的長度之比.解：因?yàn)镋是中點(diǎn)，三角形CDE與三角形CEA面積相等.三角形ADC與三角形ABC高相等，它們的底邊的比ABCD=三角形ABC的面積三角形ADC的面積=（10-7）（7×2）= 314.答：ABCD=314.兩數(shù)之比，可以看作一個(gè)分?jǐn)?shù)，處理時(shí)與分?jǐn)?shù)計(jì)算幾乎一樣.三數(shù)之比，卻與分?jǐn)?shù)不一樣，因此是這一節(jié)講述的重點(diǎn).例3 大、中、小三種杯子，2大杯相當(dāng)于5中杯，3中杯相當(dāng)于4小杯.如果記號表示2大杯、3中杯、4小杯容量之

3、和，求與之比.解：大杯與中杯容量之比是52=104，中杯與小杯容量之比是43，大杯、中杯與小杯容量之比是1043.=（10×2+4×3+3×4）（10×5+4×4+3×3）=4475.答：兩者容量之比是4475.把52與43這兩個(gè)比合在一起，成為三樣?xùn)|西之比1043，稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個(gè)更一般的例子.甲乙=35，乙丙=74，35=3×75×7=2135，74=7×54×5=3520，甲乙丙=213520.花了多少錢？解：根據(jù)比例與乘法的關(guān)系，連比后是甲乙丙=2×

4、163×163×2=324863.答：甲、乙、丙三人共花了429元.例5 有甲、乙、丙三枚長短不相同的釘子，甲與乙，而它們留在墻外的部分一樣長.問：甲、乙、丙的長度之比是多少？解：設(shè)甲的長度是6份.x=54.乙與丙的長度之比是而甲與乙的長度之比是 65=3025.甲乙丙=302526.答：甲、乙、丙的長度之比是302526.于利用已知條件65，使大部分計(jì)算都整數(shù)化.這是解比例和分?jǐn)?shù)問題的常用手段.例6 甲、乙、丙三種糖果每千克價(jià)分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價(jià)是多少元？解一：設(shè)每種糖果所花錢數(shù)為1，因

5、此平均價(jià)是答：這些糖果每千克平均價(jià)是27.5元.上面解法中，算式很容易列出，但計(jì)算卻使人感到不易.最好的計(jì)算方法是，用22，30，33的最小公倍數(shù)330，乘這個(gè)繁分?jǐn)?shù)的分子與分母，就有：事實(shí)上，有稍簡捷的解題思路.解二：先求出這三種糖果所買數(shù)量之比.不妨設(shè)，所花錢數(shù)是330，立即可求出，所買數(shù)量之比是甲乙丙=151110.平均數(shù)是（15+11+10）÷3=12.單價(jià)33元的可買10份，要買12份，單價(jià)是下面我們轉(zhuǎn)向求比的另一問題，即“比的分配”問題，當(dāng)一個(gè)數(shù)量被分成若干個(gè)數(shù)量，如果知道這些數(shù)量之比，我們就能求出這些數(shù)量.例7 一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加3

6、2，解：新的分?jǐn)?shù)，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比23.因此例8 加工一個(gè)零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個(gè)零件要加工，為盡早完成任務(wù)，甲、乙、丙應(yīng)各加工多少個(gè)？所需時(shí)間是多少？解：三人同時(shí)加工，并且同一時(shí)間完成任務(wù)，所用時(shí)間最少，要同時(shí)完成，應(yīng)根據(jù)工作效率之比，按比例分配工作量.三人工作效率之比是他們分別需要完成的工作量是所需時(shí)間是700×3=2100分鐘）=35小時(shí) .答：甲、乙、丙分別完成700個(gè)，600個(gè)，525個(gè)零件，需要35小時(shí).這是三個(gè)數(shù)量按比例分配的典型例題.例9 某團(tuán)體有100名會員，男會員與女會員的人數(shù)之比是1411

7、，會員分成三個(gè)組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會員與女會員人數(shù)之比是：甲：1213，乙：53，丙：21，那么丙有多少名男會員？解：甲組的人數(shù)是100÷2=50（人）.乙、丙兩組男會員人數(shù)是 56-24=32 （人）.答：丙組有12名男會員.上面解題的最后一段，實(shí)質(zhì)上與“雞兔同籠”解法一致，可以設(shè)想，“兔例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比依次是123.小龍走各段路程所用時(shí)間之比依次是456.已知他上坡時(shí)速度為每小時(shí)3千米，路程全長50千米.問小龍走完全程用了多少時(shí)間？解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.上坡、平路、下

8、坡的速度之比是走完全程所用時(shí)間答：小龍走完全程用了10小時(shí)25分.上面是通常思路下解題.123計(jì)算中用了兩次，似乎重復(fù)計(jì)算，最后算式也頗費(fèi)事.事實(shí)上，靈活運(yùn)用比例有簡捷解法.解二：全程長是上坡這一段長的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的時(shí)設(shè)小龍走完全程用x小時(shí).可列出比例式二、比的變化已知兩個(gè)數(shù)量的比，當(dāng)這兩個(gè)數(shù)量發(fā)生增減變化后，當(dāng)然比也發(fā)生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個(gè)數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的內(nèi)容.例11 甲、乙兩同學(xué)的分?jǐn)?shù)比是54.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分?jǐn)?shù)比是57.甲、乙原來各得多少分？解一：甲、乙兩人的分?jǐn)?shù)之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化

9、后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關(guān)鍵.9與12的最小公倍數(shù)是36，我們讓變化前后都按36份來算.54=（5×4）（4×4）=2016.57=（5×3）（7×3）=1521.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當(dāng)于20-15=5份.因此原來甲得22.5÷5×20=90（分），乙得 22.5÷5×16=72（分）.答：原來甲得90分，乙得72分.我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.解二：設(shè)原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式.（5x

10、-22.5）（4x+22.5）=57即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）15x=12×22.5x=18.甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.解：其他球的數(shù)量沒有改變.增加8個(gè)紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是5（14-5）=59.在沒有球增加時(shí)，紅球與其他球數(shù)量之比是1（3-1）=12=4.59.因此8個(gè)紅球是5-4.5=0.5（份）.現(xiàn)在總球數(shù)是答：現(xiàn)在共有球224個(gè).本題的特點(diǎn)是兩個(gè)數(shù)量中，有一個(gè)數(shù)量沒有變.把12寫成4.59，就是充分利用這一特點(diǎn).本題也可以列出如下方程求解：（x+8）2x=59.例13 張家與李家的收入錢數(shù)之比是

11、85，開支的錢數(shù)之比是83，結(jié)果張家結(jié)余240元，李家結(jié)余270元.問每家各收入多少元？解一：我們采用“假設(shè)”方法求解.如果他們開支的錢數(shù)之比也是85，那么結(jié)余的錢數(shù)之比也應(yīng)是85.張家結(jié)余240元，李家應(yīng)結(jié)余x元.有240x=85，x=150（元）.實(shí)際上李家結(jié)余270元，比150元多120元.這就是85中5份與83中3份的差，每份是120÷（5-3）=60.（元）.因此可求出答：張家收入720元，李家收入450元.解二：設(shè)張家收入是8份，李家收入是5份.張家開支的3倍與李家開支的8倍的錢一樣多.我們畫出一個(gè)示意圖：張家開支的3倍是（8份-240）×3.李家開支的8倍是（

12、5份-270）×8.從圖上可以看出5×8-8×3=16份，相當(dāng)于270×8-240×3=1440（元）.因此每份是1440÷16=90（元）.張家收入是90×8=720（元），李家收入是90×5=450（元）.本題也可以列出比例式：（8x-240）（5x-270）=83.然后求出x.事實(shí)上，解方程求x的計(jì)算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術(shù)味道，而且一些數(shù)量關(guān)系也直觀些.例14 A和B兩個(gè)數(shù)的比是85，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個(gè)數(shù).解：減少相同的數(shù)34，因此未減時(shí)，與減了以后，A與B兩數(shù)之差并

13、沒有變，解題時(shí)要充分利用這一點(diǎn).85，就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是21，兩者相差1.將前項(xiàng)與后項(xiàng)都乘以3，即21=63，使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2（份）或5-3=2（份）.因此，每份是342=17.A數(shù)是17×8=136，B數(shù)是17×5=85.答：A，B兩數(shù)分別是136與85.本題也可以用例13解一“假設(shè)”方法求解，不過要把減少后的21，改寫成84.例15 小明和小強(qiáng)原有的圖畫紙之比是43，小明又買來15張.小強(qiáng)用掉了8張，現(xiàn)有的圖畫紙之比是52.問原來兩人各有多少張圖畫紙？解一：充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性.4+3=7，5+2

14、=7，15-8=7.原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成7份，總數(shù)多了7張，因此，新的1份=原來1份+1原來4份，新的5份，5-4=1，因此新的1份有15-1×4=11（張）.小明原有圖畫紙11×5-15=40（張），小強(qiáng)原有圖畫紙11×2+8=30（張）.答：原來小明有40張，小強(qiáng)有30張圖畫紙.解二：我們也可采用例13解一的“假設(shè)”方法.先要將兩個(gè)比中的前項(xiàng)化成同一個(gè)數(shù)（實(shí)際上就是通分）43=201552=208.但現(xiàn)在是208，因此這個(gè)比的每一份是當(dāng)然，也可以采用實(shí)質(zhì)上與解方程完全相同的圖解法.解三：設(shè)原來小明有4“份”，小強(qiáng)有3“份”圖畫紙.把小明現(xiàn)有的圖畫

15、紙張數(shù)乘2，小強(qiáng)現(xiàn)有的圖畫紙張數(shù)乘5，所得到的兩個(gè)結(jié)果相等.我們可以畫出如下示意圖：從圖上可以看出，3×5-4×2=7（份）相當(dāng)于圖畫紙15×2+8×5=70（張）.因此每份是10張，原來小明有40張，小強(qiáng)有30張.例11至15這五個(gè)例題是同一類型的問題.用比例式的方程求解沒有多大差別.用算術(shù)方法，卻可以充分利用已知數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機(jī)應(yīng)變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運(yùn)算，對小學(xué)生說來是超前的，不容易熟練掌握.例13的解一，也是一種通用的方法.“假設(shè)”這一思路是很有用的，希望讀者能很好掌握，靈活運(yùn)用.從課外的角度，我們更應(yīng)啟發(fā)

16、小同學(xué)善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進(jìn)思維.例16 粗蠟燭和細(xì)蠟燭長短一樣.粗蠟燭可以點(diǎn)5小時(shí)，細(xì)蠟燭可以點(diǎn)4小時(shí).同時(shí)點(diǎn)燃這兩支蠟燭，點(diǎn)了一段時(shí)間后，粗蠟燭長是細(xì)蠟燭長的2倍.問這兩支蠟燭點(diǎn)了多少時(shí)間？我們把問題改變一下：設(shè)細(xì)蠟燭長度是2，每小時(shí)點(diǎn)等需要時(shí)間是答：這兩支蠟燭點(diǎn)了3小時(shí)20分.把細(xì)蠟燭的長度和每小時(shí)燒掉的長度都乘以2，使原來要考慮的“2倍”變成“相等”，思考就簡捷了.解這類問題這是常用的技巧.再請看一個(gè)稍復(fù)雜的例子.例17 箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的3倍多2只.每次從箱子里取出7只白球，15只紅球

17、，經(jīng)過若干次后，箱子里剩下3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？解：因?yàn)榧t球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球，每次取15只，最后應(yīng)剩51只.因?yàn)榘浊蛎看稳?只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7×321只，最后應(yīng)剩 3×3 9只.因此.共取了（51- 3×3）÷（7×3-15） 7（次）.紅球有 15×7 53 158（只）.白球有 7×7352（只）.原來紅球比白球多 158-52106（只）.答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多106只.三、比例的其他問題 ，這

18、里必須用分?jǐn)?shù)來說，而不能用比.實(shí)際上它還是隱含著比例關(guān)系：（甲-7）乙= 23.因此，有些分?jǐn)?shù)問題，就是比例問題.加33張，他們兩人取的畫片一樣多.問這些畫片有多少張？答：這些畫片有261張.解：設(shè)最初的水量是1，因此最后剩下的水是樣重，就有因此原有水的重量是答：容器中原來有8.4千克水.例18和例19，通常在小學(xué)數(shù)學(xué)中，叫做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題.“比”有前項(xiàng)和后項(xiàng)，當(dāng)兩項(xiàng)合在一起寫成一個(gè)分?jǐn)?shù)后，才便于與其他數(shù)進(jìn)行加、減運(yùn)算.這就是把比（或除法）寫成分?jǐn)?shù)的好處.下面一個(gè)例題卻是要把分?jǐn)?shù)寫成比，計(jì)算就方便些.例20 有兩堆棋子， A堆有黑子 350個(gè)和白子500個(gè)， B堆有黑子 堆中拿到 A堆黑子、白子各

19、多少個(gè)？子100個(gè)，使余下黑子與白子之比是（40-100）10031.再要從 B堆拿出黑子與白子到A堆，拿出的黑子與白子數(shù)目也要保持31的比.現(xiàn)在 A堆已有黑子 350 100 450個(gè)），與已有白子500個(gè)，相差從B堆再拿出黑子與白子，要相差50個(gè)，又要符合31這個(gè)比，要拿出白子數(shù)是50÷（3-1）25（個(gè)）.再要拿出黑子數(shù)是 25×3 75（個(gè)）.答：從B堆拿出黑子 175個(gè)，白子25個(gè).人，問高、初中畢業(yè)生共有多少人？解一：先畫出如下示意圖：6-51，相當(dāng)于圖中相差 17-125（份），初中總?cè)藬?shù)是 5×630份，因此，每份人數(shù)是520÷（30-1

20、7）= 40（人）.因此，高、初中畢業(yè)生共有40×（1712） 1160（人）.答：高、初中畢業(yè)生共1160人.計(jì)算出每份是例21與例14是完全一樣的問題，解一與例14的解法也是一樣的.（你是否發(fā)現(xiàn)？）解二是通常分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解法，顯然計(jì)算不如解一簡便.例18，19，20，21四個(gè)例題說明分?jǐn)?shù)與比例各有好處，你是否從中有所心得？當(dāng)然關(guān)鍵還是在于靈活運(yùn)用.下的錢共有多少元？解：設(shè)鋼筆的價(jià)格是1.這樣就可以求出，鋼筆價(jià)格是張剩下的錢數(shù)是李剩下的錢數(shù)答：張、李兩人剩下的錢共28元.題中有三個(gè)分?jǐn)?shù)，但它們比的基準(zhǔn)是不一樣的.為了統(tǒng)一計(jì)算單位，設(shè)定鋼筆的價(jià)格為1.每個(gè)人原有的錢和剩下的錢都可以通

21、過“1”統(tǒng)一地折算.解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，設(shè)定統(tǒng)一的計(jì)算單位是常用的解題技巧.作為這一講最后的內(nèi)容，我們通過兩個(gè)例題，介紹一下“混合比”.用100個(gè)銀幣買了100頭牲畜，問豬、山羊、綿羊各幾頭？這是十八世紀(jì)瑞士大數(shù)學(xué)家歐拉（17071783）提出的問題.們設(shè)1頭豬和5頭綿羊?yàn)锳組，3頭山羊和2頭羊綿為B組.A表示A組的數(shù)，B表示B組的數(shù)，要使（1 5）× A（3 2）× B100，或簡寫成 6A5B100.就恰好符合均價(jià)是1.類似于第三講雞兔同籠中例17，很明顯，A必定是5的整數(shù)倍.A5， B 4， 6×5 5×450，50是 100的約數(shù)，符合要求.A5，豬 5頭，綿羊 25頭，B=4，山羊12頭，綿羊8頭.豬山羊綿羊=512（258）.現(xiàn)在已把15和32兩種比，組合在