排列組合專題復(fù)習(xí)及經(jīng)典例題詳解

1、排列組合專題復(fù)習(xí)及經(jīng)典例題詳解1. 學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握排列、組合問題的解題策略2.重點（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略：（2）合理分類與準(zhǔn)確分步的策略；（3）排列、組合混合問題先選后排的策略；（4）正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略；（5）相鄰問題捆綁處理的策略；（6）不相鄰問題插空處理的策略3.難點綜合運用解題策略解決問題4.學(xué)習(xí)過程:(1)知識梳理1分類計數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有幾類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法在第n類型辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法2分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種

2、不同的方法，做第n步有種不同的方法；那么完成這件事共有種不同的方法特別提醒：分類計數(shù)原理與“分類”有關(guān)，要注意“類”與“類”之間所具有的獨立性和并列性；分步計數(shù)原理與“分步”有關(guān)，要注意“步”與“步”之間具有的相依性和連續(xù)性，應(yīng)用這兩個原理進行正確地分類、分步，做到不重復(fù)、不遺漏3排列：從n個不同元素中，任取m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，時叫做選排列，時叫做全排列.4排列數(shù)：從n個不同元素中，取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示.5排列數(shù)公式：排列數(shù)具有的性質(zhì)：特別提醒：規(guī)定0!=16

3、組合：從n個不同的元素中，任取m(mn)個不同元素，組成一組，叫做從n個不同元素中取m個不同元素的一個組合. 7組合數(shù)：從n個不同元素中取m(mn)個不同元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的組合數(shù)，用符號表示. 8組合數(shù)公式：組合數(shù)的兩個性質(zhì)： ； 特別提醒：排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出m個元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系. (2)典型例題考點一:排列問題例1.六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（

4、5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端.【解析】：(1)方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1個，有種站法，然后其余5人在另外5個位置上作全排列有種站法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有站法：方法二：由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5個人中選2個人站，有種站法，然后中間4人有種站法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有站法：方法三：若對甲沒有限制條件共有種站法，甲在兩端共有種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：（2）方法一：先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，和其余4人進行全排列有種站法，再把甲、乙進行全排列，有種站法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有方法二：先把甲

5、、乙以外的4個人作全排列，有種站法，再在5個空檔中選出一個供甲、乙放入，有種方法，最后讓甲、乙全排列，有種方法，共有（3）因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個人站隊，有種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個空檔（含兩端）中，有種站法，故共有站法為此外，也可用“間接法”，6個人全排列有種站法，由（2）知甲、乙相鄰有種站法，所以不相鄰的站法有.（4）方法一：先將甲、乙以外的4個人作全排列，有種，然后將甲、乙按條件插入站隊，有種，故共有站法.方法二：先從甲、乙以外的4個人中任選2人排在甲、乙之間的兩個位置上，有種，然后把甲、乙及中間2人看作一個“大”元素與余下

6、2人作全排列有種方法，最后對甲、乙進行排列，有種方法，故共有站法.（5）方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他4人在中間位置作全排列，有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有站法.方法二：首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間4個位置，由剩下的4人去站，有種站法，由分步乘法計數(shù)原理共有站法.（6）方法一：甲在左端的站法有種，乙在右端的站法有種，甲在左端而且乙在右端的站法有種，故甲不站左端、乙不站右端共有-2+=504（種）站法.方法二：以元素甲分類可分為兩類：甲站右端有種站法，甲在中間4個位置之一，而乙又不在右端有種，故共有+=504（種）站法.考點二:組合問題例

7、2. 男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）至少有1名女運動員；（3）隊長中至少有1人參加；（4）既要有隊長，又要有女運動員.【解析】：（1）選法為.（2）方法一：至少1名女運動員包括以下幾種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分類計數(shù)原理可得總選法數(shù)為.方法二：因“至少1名女運動員”的反面為“全是男運動員”，故可用間接法求解.從10人中任選5人有種選法，其中全是男運動員的選法有種.所以“至少有1名女運動員”的選法.（3）方法一：可分類求解：“只有男隊長”的選法為；“只有女隊長”的選

8、法為；“男、女隊長都入選”的選法為；所以共有2+=196（種）選法.方法二：間接法：從10人中任選5人有種選法.其中不選隊長的方法有種.所以“至少1名隊長”的選法為-=196種.（4）當(dāng)有女隊長時，其他人任意選，共有種選法；不選女隊長時，必選男隊長，共有種選法，而且其中不含女運動員的選法有種，所以不選女隊長時的選法共有種選法.所以既有隊長又有女運動員的選法共有種.考點三:綜合問題例3.4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？（3）恰有2個盒不放球，共有幾種放法？【解析】：（1）為保證“恰有1個盒不放球”，先

9、從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另外2個盒子內(nèi)，由分步乘法計數(shù)原理，共有；（2）“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也就是說另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.（3）確定2個空盒有種方法；4個球放進2個盒子可分成（3，1）、（2，2）兩類：第一類有序不均勻分組有種方法；第二類有序均勻分組有種方法.故共有種.當(dāng)堂測試1.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生

10、中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有   （    ）A.70 種        B.80種         C.100 種        D.140 種【解析】：分為2男1女，和1男2女兩大類，共有種解題策略：合理分類與準(zhǔn)確分步的策略2.2020年北京奧運會組委會要從小張、小趙、小李、小

11、羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事司機、導(dǎo)游、翻譯、禮儀四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有 （    ）A.48 種        B.12種        C.18種       D.36種【解析】：合理分類，通過分析分為（1）小張和小趙恰有1人入選，先從兩人中選1人，然后把這個人在前兩項工作中安排一

12、個，最后剩余的三人進行全排列有種選法（2）小張和小趙都入選，首先安排這兩個人做前兩項工作有種方法，然后在剩余的3人中選2人做后兩項工作，有種方法故共有種選法解題策略：.特殊元素優(yōu)先安排的策略.合理分類與準(zhǔn)確分步的策略.排列、組合混合問題先選后排的策略3.從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（      ）A.48          B.12     &

13、#160;     C.180           D.162【解析】：分為兩大類：（1）含有0，分步：從另外兩個偶數(shù)中選一個，有種方法，.從3個奇數(shù)中選兩個，有種方法；.給0安排一個位置，只能在個、十、百位上選，有種方法；.其他的3個數(shù)字進行全排列，有種排法，根據(jù)乘法原理共有種方法（2）不含0，分步：偶數(shù)必然是2和4 ；奇數(shù)有種不同的選法，然后把4個元素全排列，共種排法，不含0 的排法有種根據(jù)加法原理把兩部分加一塊得108+72=180個4.甲組有5名男

14、同學(xué)，3名女同學(xué)；乙組有6名男同學(xué)，2名女同學(xué)若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（    ）A.150種      B.180種        C.300種       D.345種【解析】：4人中恰有1名女同學(xué)的情況分為兩種，即這1名女同學(xué)或來自甲組，或來自乙組，則所有不同的選法共有種選法解題策略：合理分類與準(zhǔn)確分步的策略5.甲、乙兩人從4門課程

15、中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有（     ）A.6        B.12     C.30     D.36【解析】：法一：甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法可以分為兩類：甲、乙所選的課程中2門均不相同，甲先從4門中任選2門，乙選取剩下的2門，有種甲、乙所選的課程中有且只有1門相同，分為2步：從4門中先任選一門作為相同的課程，有種選法，甲從剩余的3門中任選1門，乙從最后

16、剩余的2門中任選1門，有種選法，由分步計數(shù)原理此時共有種最后由分類計數(shù)原理，甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有6+24=30種故選C法二：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有種方法，然后再把兩個人全相同的情況去掉，兩個人全相同，可以將甲與乙看成為同一個人，從4門中任選兩門有種選法，所以至少有一門不相同的選法為種不同的選法解題策略：正難則反，等價轉(zhuǎn)化的策略6.用0 到9 這10 個 數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為   （      ）A.324     

17、60;        B.328         C.360          D.648【解析】：第一類個位是0，共種不同的排法；第二類個位不是0，共種不同的解法故共有+=328（個）解題策略：合理分類與準(zhǔn)確分步的策略.7.從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的總數(shù)為（   ）A.85&

18、#160;     B.56        C.49            D.28【解析】：合理分類，甲、乙全被選中，有種選法，甲、乙有一個被選中，有種不同的選法，共+=49種不同的選法解題策略：（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略；（2）合理分類與準(zhǔn)確分步的策略.8.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個班，則不同分法的總數(shù)為（    ）A.4 &