數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

1、數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用作者：伍文娟 摘要：數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一，它作為一種常用的證明方法，集歸納、猜想和證明于一體，內(nèi)容既抽象又具體，蘊(yùn)含著非常深刻的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)歸納法并不是通過對(duì)某些生活問題（比如多米諾骨牌或者火車車廂）的研究而發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，再將它運(yùn)用于數(shù)學(xué)問題的求解之后形成的一種數(shù)學(xué)思想方法，而是數(shù)學(xué)家們通過對(duì)一些數(shù)學(xué)問題求解方法探究，逐步提煉出來的一種特殊的數(shù)學(xué)思想方法。因此，數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生于數(shù)學(xué)本身，而不是生活中的規(guī)律在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法在解題中有廣泛的應(yīng)用，它是一種遞推的基礎(chǔ)，第一步是證明命題n=1;第二步是假設(shè)n=k時(shí)成立，再證明n=k+1時(shí)命題頁成立

2、。這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。完成了這兩步，就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)結(jié)論都成立，由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。 關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)歸納法 引言：數(shù)學(xué)家皮亞諾提出了算術(shù)公理系統(tǒng)，用其中的歸納公理奠定數(shù)學(xué)歸納法的邏輯基礎(chǔ)。歸納公理：由自然數(shù)組成的集合為，,若中任意自然數(shù)的后繼也屬于，則包含了全部自然數(shù)。本文從第一數(shù)學(xué)歸納法和第二數(shù)學(xué)歸納法的原理出發(fā)，逐步闡述數(shù)學(xué)歸納法蘊(yùn)含的遞推數(shù)學(xué)思想，結(jié)合高中數(shù)學(xué)解題中常出現(xiàn)的與數(shù)學(xué)歸納法有關(guān)的題型，根據(jù)分析-假設(shè)-論證-結(jié)論的思路，總結(jié)了數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)解題方面的應(yīng)用。 正文：一、

3、理論基礎(chǔ)第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)P(n)是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)的命題,如果P(n)滿足： （1）對(duì)n=1成立； （2）假設(shè)P(k)(k是正整數(shù))成立能推出P(k+1)成立; 那么命題P(n)對(duì)一切正整數(shù)成立. 證明：設(shè)集合M=n|P(n)不成立，假設(shè)M不是空集， 則M中必有最小數(shù) m，且m>1. P(m-1)成立，據(jù)(2)， P(m)成立，矛盾！故命題P(n)對(duì)一切正整數(shù)成立. 第二數(shù)學(xué)歸納法： 假設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題,如果滿足:(1) 成立；(2)假設(shè)對(duì)于所有滿足的自然數(shù)成立，則也成立；那么,命題對(duì)一切自然數(shù)都成立。證明:設(shè),又設(shè)(差集)假設(shè)不空,由自然數(shù)的最小數(shù)原理, 有最小數(shù)由條件(1)知,故

4、因此,又由條件(2)知,必有這與矛盾,所以A為空集從而,則命題對(duì)一切自然數(shù)n都成立。 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等，現(xiàn)舉例數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的題型。二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例1已知數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n，求證：對(duì)任意的nN*，不等式···>都成立證明由bn2n，得，所以·······.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式·······&g

5、t;成立(1) 當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?gt;，所以不等式成立(2) 即·······>成立(3) 則當(dāng)nk1時(shí)，左邊·········(4) >·(5) >.所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由(1)、(2)可得不等式·······>對(duì)任意的nN*都成立三、利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除的問題求證：能被整除，當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)，以上兩

6、項(xiàng)都可以被整除，四、數(shù)學(xué)歸納法用于幾何問題的證明 有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓相交于兩點(diǎn)，并且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓把平面分成部分。五、數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列證明中的運(yùn)用高考數(shù)學(xué)中結(jié)合數(shù)列來體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法是非常常見的題，有些數(shù)列的通項(xiàng)不好求，我們可以先對(duì)前面幾項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行猜想，繼而用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，這不失一種很好解決問題的方法。在生活上可以將此精髓應(yīng)用，可以達(dá)到很好的效果。假設(shè) (1) 若，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)若，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得對(duì)所有成立？證明你的結(jié)論解：(1) 變下形式有 根據(jù)這個(gè)規(guī)律進(jìn)行猜想有下面用數(shù)學(xué)歸納法證明以上結(jié)論：證明：1、（1）當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立（

7、2）假設(shè)時(shí)命題成立 即則當(dāng)時(shí)命題也成立所以2、設(shè)則令 即解得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明命題（1）當(dāng)時(shí)， 結(jié)論成立（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即易知在(，1上為減函數(shù)，從而即再由在(，1上為減函數(shù)，得故因此當(dāng)時(shí)命題也成立綜上，存在使對(duì)所有成立六、對(duì)將數(shù)學(xué)歸納法用于解題的總結(jié)高中生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法往往停留在機(jī)械的步驟上，對(duì)原理了解的不透徹，在一定程度上會(huì)阻礙他們理解該知識(shí)點(diǎn)，因此合理的教學(xué)在一定程度上會(huì)幫助學(xué)生克服面臨的困難，與此同時(shí)可以幫助學(xué)生更好把握數(shù)學(xué)歸納法的題目，奪得更高的分?jǐn)?shù)。下面提出幾點(diǎn)教學(xué)的建議，此建議是根據(jù)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)學(xué)歸納法知識(shí)排版選題提出的。(1) 對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原

8、理的理解是這一節(jié)的難點(diǎn)，一定要特別注意對(duì)數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的特別方法，其實(shí)它更應(yīng)該反映的是一種遞推的數(shù)學(xué)思想，先存在一個(gè)使結(jié)論成立的最小正整數(shù)，這是遞推的基礎(chǔ)，在這個(gè)基礎(chǔ)上，假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，根據(jù)這個(gè)假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，那么久可以遞推出對(duì)所有不小于的正整數(shù)命題都成立。這是遞推的一句。有了這個(gè)一句，加上遞推的基礎(chǔ)，就可以說明對(duì)所有的正整數(shù)n，命題都成立。(2) 通過教學(xué)要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可。數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，教學(xué)中要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)。如果命題只證到成立，就斷定對(duì)一切正整數(shù)n都成立，即不做第二步證明，這就是不完整歸納，不足

9、以證明命題的正確性。但沒有第一步，也是不正確的。有些命題，如果只作第二步，完全可以做通，但事實(shí)上它們是不成立的。如。若n=k時(shí),則可推得n=k+1時(shí)，然而n=1時(shí)命題成立顯然不成立。這個(gè)例子說明，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟是問題的兩個(gè)方面，一個(gè)是命題成立的基礎(chǔ)，另一個(gè)是遞推的依據(jù)（延續(xù)關(guān)系），二者缺一不可，教學(xué)中可以通過反例來讓學(xué)生體會(huì)這一點(diǎn)。(3) 教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生特別注意根據(jù)題意找準(zhǔn)初始值（不是每個(gè)問題的初始值都是1）教材所給例子中雖然第一步中的起始值都是從n=1開始的，但其實(shí)n從幾開始要依據(jù)題目而論，只不過從n=1開始的題目比較普遍，難度也不太大，這一點(diǎn)教師可以依據(jù)學(xué)生情況做一補(bǔ)充。另外，在第一步驟中，只需證明n取第一個(gè)值時(shí)命題成立就可以了，無需繼續(xù)驗(yàn)證其他有限個(gè)值，因?yàn)橐坏┯辛恕暗谝粋€(gè)”的基礎(chǔ)，再有第二部遞推的依據(jù)，即保證了n取第2個(gè)，第3個(gè)值時(shí)命