乘除運(yùn)算中的誤差分析

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上三、乘除運(yùn)算中的誤差分析前面我們提到過(guò)，“乘除運(yùn)算”當(dāng)中我們應(yīng)該考慮“相對(duì)誤差”，而這是我們誤差分析最為重要的內(nèi)容。那么，如果相乘或者相除的兩個(gè)數(shù)分別發(fā)生一定程度的近似，它們的乘積或者商又會(huì)發(fā)生什么樣的變化呢？我們首先先給出兩個(gè)重要的結(jié)論：1.              兩個(gè)數(shù)相乘，那么這兩個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差之和，近似為總體的相對(duì)誤差；2.         

2、;     兩個(gè)數(shù)相除，那么這兩個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差之差，近似為總體的相對(duì)誤差。我們先舉兩個(gè)相乘的例子：注：上面分析的所有誤差指的都是“相對(duì)誤差”，因?yàn)橹挥小跋鄬?duì)誤差”才能在乘除運(yùn)算當(dāng)中保持近似的加減關(guān)系。四、近似誤差與選項(xiàng)差異通過(guò)上面的分析我們知道，近似的計(jì)算會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，那么這種誤差會(huì)不會(huì)對(duì)最后結(jié)果的判定產(chǎn)生影響呢？這就取決于近似誤差（“近似誤差”指的是數(shù)字近似后產(chǎn)生的相對(duì)誤差，在與“選項(xiàng)差異”進(jìn)行大小比較時(shí)，指其絕對(duì)值）與選項(xiàng)差異之間的相對(duì)關(guān)系了，通俗的講就是：選項(xiàng)差別大，估算可大膽；選項(xiàng)差別小，估算需謹(jǐn)慎。但我們需要的不僅僅是這樣一句定性的描述，我

3、們更加需要的是定量的結(jié)論。首先，我們對(duì)兩個(gè)數(shù)字之間的“相對(duì)差異”進(jìn)行一個(gè)定義：我們以兩個(gè)數(shù)字當(dāng)中較大的數(shù)字為真實(shí)值，較小的數(shù)字為估算值，這樣計(jì)算得到的“相對(duì)誤差”的絕對(duì)值，我們稱之為這兩個(gè)數(shù)字之間的“相對(duì)差異”。譬如“4”和“5”，我們以5為真實(shí)值，以4為估算值，得到的“相對(duì)誤差”為“-20%”，那么我們就說(shuō)“4和5之間的相對(duì)差異為20%”。再譬如說(shuō)，9和12之間的相對(duì)差異為25%，15和18之間的相對(duì)差異為16.7%等等。然后，我們對(duì)“選項(xiàng)差異”進(jìn)行一個(gè)定義：所謂“選項(xiàng)差異”，是指四個(gè)選項(xiàng)中任意兩個(gè)數(shù)值之間的“相對(duì)差異”的最小值。具體操作時(shí)，我們僅需要考慮相鄰數(shù)字之間（是指大小相鄰，非而位置

4、相鄰）的相對(duì)差異即可。我們看下面這樣的選項(xiàng)設(shè)置：A.20          B.24               C.28               D.32我們考慮相鄰數(shù)字之間的相對(duì)差異：20與24之間的相對(duì)差異為16.7%，

5、24與28之間的相對(duì)差異為14.3%，28與32之間的相對(duì)差異為12.5%。那么，這樣設(shè)置下的“選項(xiàng)差異”就是12.5%。事實(shí)上，我們對(duì)選項(xiàng)差異的計(jì)算也只需要得到一個(gè)大致的值，并不一定需要計(jì)算得非常的精確。當(dāng)我們知道了“選項(xiàng)差異”之后，我們就可以在近似計(jì)算中控制近似誤差，使其不至于影響最后結(jié)果的判定。下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)例子：  例3706.38÷24.75=？A.20.5         B.24.5       C.28.5 

6、;     D.32.5答案C解析我們大致估算，“選項(xiàng)差異”高于10%，那么在近似計(jì)算中產(chǎn)生1%左右（或以下）的誤差不會(huì)影響到最后結(jié)果的判定：706.38÷24.75700÷25=28由“706.38”近似到“700”減小了1%左右，由“24.75”近似到“25”增加了1%左右，這樣的近似不會(huì)影響到最后結(jié)果的判定，因?yàn)椤斑x項(xiàng)差異”在10%以上。因此，我們選擇離28最近的數(shù)字“28.5”，選擇C。 通過(guò)上面的分析我們知道，近似估算若要不影響最后結(jié)果的判定，“近似誤差”必須比“選項(xiàng)差異”要小，但具體要小到什么程度呢？我們大概給出

7、下面這樣的參考： 選項(xiàng)差異÷近似誤差4倍以下49倍950倍50倍以上估算建議不建議使用注意控制誤差選擇近似值忽略誤差 我們進(jìn)行的乘除計(jì)算，一般是23個(gè)數(shù)字的計(jì)算，當(dāng)“選項(xiàng)差異”不到“近似誤差”的4倍時(shí)，多個(gè)數(shù)字的“近似誤差”就很可能影響到最后結(jié)果的判定，這時(shí)候我們不建議使用這種精度的估算。當(dāng)“選項(xiàng)差異”為“近似誤差”的49倍時(shí)，我們一般會(huì)進(jìn)行“有向誤差分析”或者“誤差抵消”以提高精度，后面我們將有專題進(jìn)行討論。當(dāng)“選項(xiàng)差異”為“近似誤差”的950倍時(shí)，選擇離估算結(jié)果最近的值即可，正因如此，我們一般推薦大家將“近似誤差”控制在選項(xiàng)差異的1/10左右（或以下），更高的

8、精度計(jì)算一般是沒(méi)有必要的。當(dāng)“近似誤差”不到“選項(xiàng)差異”的“1/50”時(shí)，我們得到的結(jié)果完全可以直接代表最終正確的答案。 例438716÷84397=？A.35.37%              B.40.74%              C. 45.87%     &

9、#160;       D.49.34%答案C解析初步估算，選項(xiàng)差異在在10%左右，我們可以對(duì)原數(shù)字進(jìn)行1%左右（或以下）的近似：38716÷8439739000÷8400046%，選擇最接近的值，即C。 例59.503×5.837=？A.50.44                 B.55.47   

10、60;             C.59.98                 D.60.28答案B解析C和D之間的相對(duì)差異很小，但我們知道：9.503×5.837<10×6=60，所以D選項(xiàng)可以直接排除不予考慮。而A、B、C之間的“選項(xiàng)差異”在7%以上，那么我們可以對(duì)原數(shù)字進(jìn)行0.7%左右（

11、或以下）的近似：9.503×5.8379.5×5.8=55.1，選擇最接近的值，即B。 例66405÷79934=？A.4%                    B.6%                

12、60;   C.8%                    D.10%答案C解析6405÷799346400÷80000=8%。“選項(xiàng)差異”為20%，近似誤差低于1，因此誤差可以直接忽略，估算得到的值即可代表最終的真實(shí)值。 學(xué)到這里，我們把思路理清楚一下：我們?cè)谶M(jìn)行近似估算之前，先分析“選項(xiàng)差異”，然后在近似中將“近似誤差”控制在“選項(xiàng)差異”的“1/10”左

13、右（或以下），然后選擇與計(jì)算結(jié)果最接近的選項(xiàng)即可。這樣一來(lái)，似乎所有的近似估算都變得特別簡(jiǎn)單，然而，如果有一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有解決的話，我們的計(jì)算仍然沒(méi)有得到實(shí)質(zhì)的簡(jiǎn)化，那就是：如何快速判斷近似估算的“近似誤差”（譬如說(shuō)將5.837近似為5.8，“近似誤差”到底是多少？），這個(gè)問(wèn)題不解決，誤差分析無(wú)從談起；這個(gè)問(wèn)題掌握后，不僅“近似誤差”的問(wèn)題解決了，“選項(xiàng)差異”的估算也同時(shí)得到解決，因?yàn)閮烧弑举|(zhì)是相同的。誤差初步理論（3）(選自資料分析模塊寶典五版)五、近似誤差的估算在學(xué)“近似誤差”的估算之前，我們先強(qiáng)調(diào)兩個(gè)重要的問(wèn)題：1.      &#

14、160;  我們對(duì)“近似誤差”的分析只需要也只能進(jìn)行“估算”，精算是沒(méi)有必要也是不可行的，實(shí)際操作中我們只需要給出一個(gè)大概的值即可；2.         “近似誤差”一般分成兩檔：“1-10%”與“1-10”，明顯低于1很多的一般可以忽略，明顯高于10%很多的情形在近似中一般也很難見到。 我們一般運(yùn)用“左移兩位百分法”估算“1-10%”左右的“近似誤差”。譬如，當(dāng)我們判斷將“42.83”近似為“42”時(shí)產(chǎn)生了多大的“近似誤差”時(shí)，先將絕對(duì)誤差（不考慮正負(fù)號(hào)）“0.83”左移兩位變?yōu)椤?3.00”

15、，再與原數(shù)“42.83”進(jìn)行比較，大概是2倍的關(guān)系，那么這個(gè)近似的近似誤差應(yīng)該大約就是“-2%”。如下圖所示：通過(guò)上面六個(gè)例子的講述，相信大家已經(jīng)掌握了“近似誤差”估算的要領(lǐng)。與此同時(shí)，“選項(xiàng)差異”的估算也是通過(guò)同樣的方法進(jìn)行估算的，只是在具體操作的時(shí)候有這樣兩點(diǎn)特別之處：1.         “選項(xiàng)差異”關(guān)于“絕對(duì)誤差”的計(jì)算可能較為復(fù)雜，我們一般截取前12位計(jì)算即可；2.         “選項(xiàng)差異”很容易達(dá)到“相對(duì)誤差”很難達(dá)到的

16、10%以上的差異，這時(shí)候一般通過(guò)計(jì)算“絕對(duì)誤差是真實(shí)值的幾分之一”或者運(yùn)用類似的“左移一位十分法”來(lái)進(jìn)行估算。 我們分析某題選項(xiàng)當(dāng)中兩個(gè)數(shù)值“784.31”、“768.45”之間的相對(duì)差異，兩個(gè)數(shù)相差約為“16.00”，將之與“784.31”做對(duì)比，通過(guò)“左移兩位百分法”易知相對(duì)差異大約為2%左右。 我們?cè)俜治瞿愁}選項(xiàng)當(dāng)中兩個(gè)數(shù)值“6437.21”、“4829.32”之間的相對(duì)差異，兩個(gè)數(shù)相差約為“1600.00”，將之與“6437.21”做對(duì)比，前者大概是后者的1/4，得知相對(duì)差異大約為25%。 我們?cè)俜治瞿愁}選項(xiàng)當(dāng)中兩個(gè)數(shù)值“3158”、“1871”之間的相對(duì)

17、差異，兩個(gè)數(shù)相差約為“1300”，將之左移一位（變成“13000”）與“3158”做對(duì)比，大概是后者的4倍左右，得知相對(duì)差異大約為十分之4，即40%左右。 至此，我們便真正掌握了“近似誤差”和“選項(xiàng)差異”的估算，在精度范圍允許的前提下，我們便可以自由的進(jìn)行截位估算了。六、有向誤差分析我們前面提到過(guò)，當(dāng)“選項(xiàng)差異”為“近似誤差”的49倍時(shí)，對(duì)數(shù)字的近似有可能會(huì)在一定程度上影響到對(duì)最后結(jié)果的判定，這時(shí)候我們一般有兩種辦法來(lái)應(yīng)對(duì)和修正，我們先介紹第一種辦法：有向誤差分析。所謂有向誤差分析，指的是截位估算的時(shí)候，通過(guò)對(duì)過(guò)程數(shù)字的相對(duì)誤差來(lái)判斷最后估算結(jié)果相對(duì)誤差的符號(hào)，直白的說(shuō)，就是判斷估算

18、結(jié)果是大于真實(shí)值還是小于真實(shí)值，從而鎖定答案的方法。這是一種定性的分析方法，在后面的章節(jié)里，我們還可能碰到定量的分析。我們用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)闡明這個(gè)道理：例75461÷14831=？A.33%                  B.35%               &

19、#160;  C.37%                  D.39%答案C解析5461÷148315400÷15000=36%這時(shí)候問(wèn)題來(lái)了，與36%最接近的有兩個(gè)選項(xiàng)，這時(shí)候應(yīng)該怎么選擇呢？我們可以選用“有向誤差分析”來(lái)判定。通過(guò)簡(jiǎn)單估算，“選項(xiàng)差異”超過(guò)5%（37%與39%之間的相對(duì)差異），將“5461”、“14831”分別近似為“5400”、“15000”的近似誤差都在1%左右，于是我們可

20、以確定，結(jié)果肯定在36%的附近，也就是在35%與37%之間進(jìn)行選擇。很明顯，近似的過(guò)程縮小了分子而擴(kuò)大了分母，導(dǎo)致估算值36%小于真實(shí)值，因此我們選擇C。 例83390.5×36.69%×12.73%=？A.143                          B.158   

21、0;                       C.174                           D.1

22、91答案B解析3390.5×36.69%×12.73%3333.333×36%×12.50%=150“選項(xiàng)差異”在10%左右，“近似誤差”在2%以內(nèi)，算得結(jié)果肯定在150附近。由于近似過(guò)程中三個(gè)因子都被縮小，所以近似結(jié)果肯定小于真實(shí)值，那么答案就應(yīng)該比150要大，所以選擇B。七、誤差抵消與精度提高我們前面提到過(guò)：兩個(gè)數(shù)相乘（或相除），那么這兩個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差之和（或之差），近似為總體的相對(duì)誤差（事實(shí)上，對(duì)于多于兩個(gè)數(shù)的數(shù)字的乘除也是近似滿足的）。那么，如果我們?cè)诮频臅r(shí)候，使得乘法中的相對(duì)誤差保持相反的方向或者除法中的相對(duì)誤差保持相同的方向，就能有效的抵消

23、誤差，從而提高精度。而這便是我們應(yīng)對(duì)“選項(xiàng)差異”不足夠大時(shí)的另外一個(gè)有效方法。我們?cè)賮?lái)看這兩個(gè)例子： 例95461÷14831=？A.33%                  B.35%                  C.37%

24、0;                 D.39%答案C解析5461÷148315500÷15000=36.7%，選擇C。注釋截位近似時(shí)，被除數(shù)提高了1%左右，除數(shù)也提高了1%左右，兩者相減，誤差將大大的被削減。 例103390.5×36.69%×12.73%=？A.143              &