數(shù)據(jù)模型與決策課程案例分析

1、數(shù)據(jù)模型與決策課程案例一 生產(chǎn)戰(zhàn)略一、問(wèn)題提出 好身體公司（BFI）在長(zhǎng)島自由港工廠生產(chǎn)健身練習(xí)器械。最近他們?cè)O(shè)計(jì)了兩種針對(duì)家庭鍛煉所廣泛使用的舉重機(jī)。兩種機(jī)器都是用了BFI專利技術(shù)，這種技術(shù)提供給使用者除了機(jī)器本身運(yùn)動(dòng)功能之外的一些其他額外的運(yùn)動(dòng)功能。直到現(xiàn)在，這種功能也只有在很昂貴的、應(yīng)用于理療的舉重機(jī)上才可以獲得。 在最近的交易展銷會(huì)上，舉重機(jī)的現(xiàn)場(chǎng)演示引起了交易者濃厚的興趣，實(shí)際上，BFI現(xiàn)在收到的訂單數(shù)量已經(jīng)超過(guò)了這個(gè)時(shí)期BFI的生產(chǎn)能力。管理部門決定開(kāi)始這兩種器械的生產(chǎn)。這兩種器械分別被BFI 公司命名為BodyPlus100和BodyPlus200，由不同的原材料生產(chǎn)而成。 Bo

2、dyPlus100由一個(gè)框架、一個(gè)壓力裝置、一個(gè)提升一下拉裝置組成。生產(chǎn)一個(gè)框架需要4小時(shí)機(jī)器制造和焊接時(shí)間，2小時(shí)噴涂和完工時(shí)間；每個(gè)壓力裝置需要2小時(shí)機(jī)器制造和焊接時(shí)間，1小時(shí)噴涂和完工時(shí)間，每個(gè)提升一下拉裝置需要2小時(shí)機(jī)器制造和焊接時(shí)間，2小時(shí)噴涂和完工時(shí)間。另外，每個(gè)BodyPlus100還需要2小時(shí)用來(lái)組裝、測(cè)試和包裝。每個(gè)框架的原材料成本是450美元，每個(gè)壓力裝置的成本是300美元，每個(gè)提升一下拉裝置是250美元。包裝成本大約是每單位50美元。 BodyPlus200包括一個(gè)框架、一個(gè)壓力裝置、一個(gè)提升一下拉裝置和一個(gè)腿部拉伸裝置。生產(chǎn)一個(gè)框架需要5小時(shí)機(jī)器制造和焊接時(shí)間，4小時(shí)噴

3、涂和完工時(shí)間；生產(chǎn)一個(gè)壓力裝置需要3小時(shí)機(jī)器制造和焊接時(shí)間，2小時(shí)噴涂和完工時(shí)間；生產(chǎn)每個(gè)提升一下拉裝置需要2小時(shí)機(jī)器制造和焊接時(shí)間，2小時(shí)噴涂和完工時(shí)間，另外，每個(gè)BodyPlus200還需要2小時(shí)用來(lái)組裝、測(cè)試和包裝。每個(gè)框架的原材料成本是650美元，每個(gè)壓力裝置的成本是400美元，每個(gè)提升一下拉裝置是250美元，每個(gè)腿部拉伸裝置的成本是200美元。包裝成本大約是每單位75美元。 在下一個(gè)生產(chǎn)周期，管理部門估計(jì)有600小時(shí)機(jī)器和焊接時(shí)間，450小時(shí)噴涂和完工時(shí)間，140小時(shí)組裝、測(cè)試和包裝時(shí)間是可用的?，F(xiàn)在的每小時(shí)勞動(dòng)力成本是機(jī)器制造和焊接時(shí)間20美元，噴涂和完工時(shí)間15美元，組裝、測(cè)試和

4、包裝12美元。雖然對(duì)于BFI來(lái)說(shuō)由于新機(jī)器的獨(dú)特功能可能還會(huì)獲得一些價(jià)格的靈活性，但BodyPlus100的市場(chǎng)建議價(jià)格是2400美元，BodyPlus200是3500美元。授權(quán)的BFI銷售商可以以市場(chǎng)價(jià)格的70%來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品。 BFI的總裁相信BodyPlus200 的獨(dú)特功能可以幫助BFI 成為高端鍛煉器械的領(lǐng)導(dǎo)者。所以，他認(rèn)為BodyPlus200的數(shù)量至少會(huì)占到整個(gè)生產(chǎn)數(shù)量的25%。管理報(bào)告 分析BFI的生產(chǎn)問(wèn)題，為公司的總裁準(zhǔn)備一份報(bào)告，告訴他們你的發(fā)現(xiàn)和建議。報(bào)告包括以下幾個(gè)方面（不僅于此）： （1）BodyPlus100和BodyPlus200的建議生產(chǎn)數(shù)量是多少？ （2）Body

5、Plus200的數(shù)量占生產(chǎn)數(shù)量至少25%的要求會(huì)怎樣影響利潤(rùn)？ （3）為了增加利潤(rùn)應(yīng)擴(kuò)展哪方面的努力？ 把你的線性規(guī)劃模型和圖形解作為你報(bào)告的附錄部分。二、問(wèn)題分析與模型建立根據(jù)案例對(duì)好身體公司（BFI）兩種器械產(chǎn)品BodyPlus100和BodyPlus200的描述，用表格形式列舉出該兩種產(chǎn)品的各項(xiàng)基本信息，表格如下：零件產(chǎn)品原材料成本（美元）BodyPlus100BodyPlus200BodyPlus100BodyPlus200框架4 2 5 4450650壓力裝置2 13 2300400提升/下拉2 22 2250250組裝22腿拉200包裝5075總共用時(shí)(h)8 510 8總成本(美

6、元)10501575機(jī)器/焊接(h）600勞動(dòng)成本(美元/h)20噴涂/完工(h)45015組、測(cè)、包(h)14012售價(jià)(美元)24003500表1.1（1）BodyPlus100和BodyPlus200的建議生產(chǎn)數(shù)量是多少？ 設(shè)BodyPlus100的建議生產(chǎn)數(shù)量是x1，BodyPlus200的建議生產(chǎn)數(shù)量是x2,總利潤(rùn)是Z，則目標(biāo)函數(shù)：maxz=2400x1+3500x220(8x1+10x2)15(5x1+8x2)12(2x1+2x2) =2141x1+3156x2 約束條件： 8x1+10x2 600 5x1+8x2 450 2x1+2x2 140 x1，x2 0（2）BodyPlu

7、s200的數(shù)量占生產(chǎn)數(shù)量至少25%的要求會(huì)怎樣影響利潤(rùn)？ 設(shè)BodyPlus100的建議生產(chǎn)數(shù)量是x1，BodyPlus200的建議生產(chǎn)數(shù)量是x2,總利潤(rùn)是Z，則 目標(biāo)函數(shù)：maxz=2400x1+3500x220(8x1+10x2)15(5x1+8x2)12(2x1+2x2) =2141x1+3156x2 約束條件： 8x1+10x2 600 5x1+8x2 450 2x1+2x2 140 x1 -3x2 0 x1，x2 03、 模型求解與結(jié)果解釋根據(jù)已經(jīng)建立的模型，運(yùn)用圖解法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行求解。建立直角坐標(biāo)系，用橫軸代表x1，縱軸代表x2。（1）BodyPlus100和BodyPlus200

8、的建議生產(chǎn)數(shù)量是多少？根據(jù)問(wèn)題（1）約束條件：作8x1+10x2 = 600直線，令x1=0，則x2=60；令x2=0，則x1=75同理，作5x1+8x2=450， 2x1+2x2=140兩直線得圖形如下：X11X22O 2x1+2x2=1401801359045 45 90 135 180 5x1+8x2=4508x1+10x2 = 600 圖1.1 由圖可知，陰影部分即為可行域范圍， 且當(dāng)x1=150/7，y=300/7時(shí)，z最大，此時(shí)maxz=181135.7可得最優(yōu)解為：x1=150/7，y=300/7綜上所述，建議生產(chǎn)BodyPlus100產(chǎn)品21臺(tái)，生產(chǎn)BodyPlus200產(chǎn)品4

9、3臺(tái)。該生產(chǎn)建議下各項(xiàng)約束條件情況如下：約束條件耗費(fèi)時(shí)間可用時(shí)間機(jī)器/焊接(h）598600噴涂/完工(h)449450組、測(cè)、包(h)128140表1.2（2）BodyPlus200的數(shù)量占生產(chǎn)數(shù)量至少25%的要求會(huì)怎樣影響利潤(rùn)？根據(jù)問(wèn)題（2）的約束條件，即在問(wèn)題（1）的基礎(chǔ)上增加 x1-3x2 0這一項(xiàng)約束條件。因此，我們?cè)趫D1.1的基礎(chǔ)上增加x1-3x2 =0直線，令x1=0，則x2=0；令x1=90，則x2=30得到圖形如下： 由圖可知，陰影部分即為可行域范圍。對(duì)比圖1.1和圖1.2可行域范圍明顯減小。 當(dāng)由此約束條件的情況下，當(dāng)x1=150/7，y=300/7時(shí)，z最大，此時(shí)maxz

10、=181135.7 可得最優(yōu)解為：x1=150/7，y=300/7 此時(shí)的建議生產(chǎn)量仍為BodyPlus100產(chǎn)品21臺(tái)，生產(chǎn)BodyPlus200產(chǎn)品42臺(tái)。 綜上所述，有BodyPlus200的產(chǎn)量比例約束時(shí)最大利潤(rùn)無(wú)影響。 （3）為了增加利潤(rùn)應(yīng)擴(kuò)展哪方面的努力？根據(jù)表1.2，在最優(yōu)解情況下各項(xiàng)約束條件情況來(lái)看，可以得出如下結(jié)論：1. 機(jī)器/焊接所用時(shí)間僅比可用時(shí)間少2小時(shí)；2. 噴涂/完工所用時(shí)間僅比可用時(shí)間少1小時(shí)；3. 組、測(cè)、包所用時(shí)間比可用時(shí)間少12個(gè)小時(shí)，在其他條件允許的情況下可以再組裝6臺(tái)器械。針對(duì)上述結(jié)論，為增加利潤(rùn)提出如下建議：1. 增加機(jī)器制造和焊接時(shí)間的可用時(shí)間；2.

11、 增加噴涂和完工的可用時(shí)間。4、 參考文獻(xiàn)1 侯文華等譯，數(shù)據(jù)、模型與決策：管理科學(xué)篇北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012數(shù)據(jù)模型與決策課程案例二 投資戰(zhàn)略一、問(wèn)題提出J.D.威廉姆斯公司是一個(gè)投資質(zhì)詢公司，為大量的客戶管理高達(dá) 1.2 億美元的資金。公司運(yùn)用一個(gè)很有價(jià)值的模型，為每個(gè)客戶安排投資，分別投資在股票增長(zhǎng)基金、收入基金和貨幣市場(chǎng)基金。為了保證客戶投資的多元化，公司對(duì)這三種投資的數(shù)額加以限制。一般來(lái)說(shuō)，投資在股票方面的資金占總投資20%-40%之間，投資在收入基金上的資金應(yīng)確保在 20%-50%之間，貨幣市場(chǎng)方面的投資至少應(yīng)該占30%。此外，公司還嘗試著引入了風(fēng)險(xiǎn)承受能力指數(shù)，以迎合不同投

12、資者的需求。比如，威廉姆斯的一位新客戶希望投資800000 美元。對(duì)其風(fēng)險(xiǎn)承受能力進(jìn)行評(píng)估得出其風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)為0.05。公司的風(fēng)險(xiǎn)分析人員計(jì)算出，股票市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)是0.10，收入基金的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)是0.07，貨幣市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)是0.01。整個(gè)投資的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)是各項(xiàng)投資所占總投資的百分率與其風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)乘積的代數(shù)和。 此外公司預(yù)測(cè)，股票基金的年收益率是18%，收入基金的收益是12.5%，貨幣市場(chǎng)基金的收益是7.5%?，F(xiàn)在，基于以上信息，公司應(yīng)該如何安排這位客戶的投資呢？建立數(shù)字模型，求出使總收益最大的解，并根據(jù)模型寫(xiě)出管理報(bào)告。 管理報(bào)告 （1）如何將800 000美元投資于這3種基金。按照你的計(jì)劃，投資的

13、年收益是多少？ （2）假設(shè)客戶的風(fēng)險(xiǎn)承受指數(shù)提高到0.055，那么在投資計(jì)劃更改后，收益將增加多少？ （3）假設(shè)客戶的風(fēng)險(xiǎn)承受指數(shù)不變，仍然是0.05，而股票成長(zhǎng)基金的年收益率從18%下降到14%，那新的最佳投資方案是什么？ （4）假設(shè)現(xiàn)在客戶認(rèn)為投資在股票方面的資金太多了，如果增加一個(gè)約束條件即投資于股票增長(zhǎng)基金的資金不可以超過(guò)投資于收入基金的資金，那么新的最佳方案是什么？ （5）當(dāng)遇到預(yù)期收益變化時(shí)，你所建立的線性規(guī)劃模型應(yīng)該可以對(duì)客戶的投資方案作出修改，那么這個(gè)模型的適用范圍是什么？二、問(wèn)題分析與模型建立根據(jù)案例對(duì)J.D.威廉姆斯公司三種基金股票增長(zhǎng)基金、收入基金和貨幣市場(chǎng)基金的描述，用

14、表格形式列舉出三種基金的各項(xiàng)基本信息，表格如下：基金類型年收益率風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)投資限額總投資額總風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)股票基金18%0.1020%-40%8000000.05收入基金12.5%0.0720%-50%貨幣基金7.5%0.0130% （1）如何將800 000美元投資于這3種基金。按照你的計(jì)劃，投資的年收益是多少？ 設(shè)三種投資基金的數(shù)量分配分別為x1，x2，x3（單位為百萬(wàn)），投資的年收益為z，則目標(biāo)函數(shù)maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3約束條件： x1+x2+x30.8 0.16x10.32 0.16x20.4 x30.24 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0

15、.05 （2）假設(shè)客戶的風(fēng)險(xiǎn)承受指數(shù)提高到0.055，那么在投資計(jì)劃更改后，收益將增加多少？ 設(shè)三種投資基金的數(shù)量分配分別為x1，x2，x3（單位為百萬(wàn)），投資的年收益為z，則目標(biāo)函數(shù)maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3約束條件： x1+x2+x30.8 0.16x10.32 0.16x20.4 x30.24 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.055（3）假設(shè)客戶的風(fēng)險(xiǎn)承受指數(shù)不變，仍然是0.05，而股票成長(zhǎng)基金的年收益率從18%下降到14%，那新的最佳投資方案是什么？ 設(shè)三種投資基金的數(shù)量分配分別為x1，x2，x3（單位為百萬(wàn)），投資的年收益為z，則目

16、標(biāo)函數(shù)maxz=0.14x1+0.125x2+0.075x3約束條件： x1+x2+x30.8 0.16x10.32 0.16x20.4 x30.24 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05（4）假設(shè)現(xiàn)在客戶認(rèn)為投資在股票方面的資金太多了，如果增加一個(gè)約束條件即投資于股票增長(zhǎng)基金的資金不可以超過(guò)投資于收入基金的資金，那么新的最佳方案是什么？ 設(shè)三種投資基金的數(shù)量分配分別為x1，x2，x3（單位為百萬(wàn)），投資的年收益為z，則目標(biāo)函數(shù)maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3約束條件： x1+x2+x30.8 0.16x10.32 0.16x20.4 x30.24

17、 x1x2 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.05 （5）當(dāng)遇到預(yù)期收益變化時(shí)，你所建立的線性規(guī)劃模型應(yīng)該可以對(duì)客戶的投資方案作出修改，那么這個(gè)模型的適用范圍是什么？根據(jù)該問(wèn)題的描述，可以理解為當(dāng)預(yù)期收益率在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，最佳投資方案是否改變，即對(duì)目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)進(jìn)行敏感度分析，確定當(dāng)最優(yōu)解不變時(shí)的預(yù)期收益率的范圍。因此可基于問(wèn)題（1）的模型，運(yùn)用LINGO軟件對(duì)其作敏感度分析，求解出該模型適用的范圍。 設(shè)三種投資基金的數(shù)量分配分別為x1，x2，x3（單位為百萬(wàn)），投資的年收益為z，則目標(biāo)函數(shù)maxz=0.18x1+0.125x2+0.075x3約束條件： x1+x2+

18、x30.8 0.16x10.32 0.16x20.4 x30.24 0.125x1+0.0875x2+0.0125x3=0.053、 模型求解與結(jié)果解釋（1）如何將800 000美元投資于這3種基金。按照你的計(jì)劃，投資的年收益是多少？根據(jù)問(wèn)題（1）的約束條件，利用LINGO軟件對(duì)（1）的模型求解可得：根據(jù)軟件運(yùn)行結(jié)果可知，該條件下三種基金最近分配方案為：基金類型股票基金收入基金貨幣基金投資額（萬(wàn)美元）0.2490.160.391即當(dāng)x1=0.249，x2=0.16，x3=0.391時(shí)，z最大，滿maxz=0.9413（萬(wàn)美元） （2）假設(shè)客戶的風(fēng)險(xiǎn)承受指數(shù)提高到0.055，那么在投資計(jì)劃更改后

19、，收益將增加多少？根據(jù)問(wèn)題（2）的約束條件，利用LINGO軟件對(duì)（2）的模型求解可得：根據(jù)軟件運(yùn)行結(jié)果可知，該條件下三種基金最近分配方案為：基金類型股票基金收入基金貨幣基金投資額（萬(wàn)美元）0.2930.160.347即當(dāng)x1=0.293，x2=0.16，x3=0.347時(shí)，z最大，滿maxz=0.988（萬(wàn)美元）（3）假設(shè)客戶的風(fēng)險(xiǎn)承受指數(shù)不變，仍然是0.05，而股票成長(zhǎng)基金的年收益率從18%下降到14%，那新的最佳投資方案是什么？根據(jù)問(wèn)題（3）的約束條件，利用LINGO軟件對(duì)（3）的模型求解可得：根據(jù)軟件運(yùn)行結(jié)果可知，該條件下三種基金最近分配方案為：基金類型股票基金收入基金貨幣基金投資額（萬(wàn)美元）0.160.2930.347即當(dāng)x1=0.16，x2=0.293，x3=0.