第二章 非線性方程

1、第二章 非線性方程求根 代數(shù)方程求根問(wèn)題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，早在16世紀(jì)時(shí)找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世紀(jì)才證明 次的一般代數(shù)方程式不能用代數(shù)公式求解。因此需要研究用數(shù)值方法求得滿足一定精度的代數(shù)方程式的近似解。 在工程和科學(xué)技術(shù)中許多問(wèn)題常常歸結(jié)為求解非線性方程式問(wèn)題，例如在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)領(lǐng)域，研究人口增長(zhǎng)率等。 本章將介紹幾種求解非線性方程近似解的數(shù)值方法。最后一節(jié)簡(jiǎn)單介紹求解非線性方程組的方法。 §1 二 分 法 設(shè)有非線性方程 (1.1) 其中，為上連續(xù)函數(shù)且設(shè)（不妨設(shè)方程（1.1）于內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根）。 求方程（1.1）實(shí)根的二分法過(guò)程，就是將含根區(qū)間逐步分半

2、，檢查函數(shù)值符號(hào)的變化，以便確定含根的充分小區(qū)間。 二分法敘述如下：記。第1步分半計(jì)算：將分半，計(jì)算中點(diǎn)及，如果 則根一定在區(qū)間內(nèi)，否則根一定在區(qū)間內(nèi)（若 則）。于是得到長(zhǎng)度縮小一半的含根區(qū)間，即 ，且第步分半計(jì)算：重復(fù)上述過(guò)程，設(shè)已完成第1步，第步分半計(jì)算得到含根區(qū)間 且滿足： （1）， 即； （2）；現(xiàn)進(jìn)行第k步分半計(jì)算： （3） 計(jì)算 且有 （1.2）（4） 確定新的含根區(qū)間，即如果，則根一定在內(nèi)，否則根一定在區(qū)間內(nèi)，且有 總之，由上述二分法得到一序列，由（1.2），則有 可用二分法求方程實(shí)根的近似值到任意指定的精度。事實(shí)上，設(shè)為給定精度要求，試確定分半次數(shù)k使 由，兩邊取對(duì)數(shù)，即得 （

3、1.3）例1 用二分法求于內(nèi)一個(gè)實(shí)根，且要求精確到小數(shù)后第3位（即要求）。 解 由和公式（1.3）可確定所需分半次數(shù)。計(jì)算結(jié)果如下表。 表 6-1k11.02.01.58.89062521.01.51.251.56469731.01.251.125-0.09771341.1251.251.18750.61665351.1251.18751.156250.23326961.1251.156251.1406250.061577871.1251.1406251.13281319575681.1328131.1406251.1367190.020619091.1328131.1367191.13476

4、64.307101.1328131.1347661.133789111.1337891.1347661.134277二分法優(yōu)點(diǎn)是方法簡(jiǎn)單，且對(duì)只要求連續(xù)即可。可用二分法求出于內(nèi)全部實(shí)根。但二分法不能求復(fù)根及偶數(shù)重根。二分法：設(shè)有方程，其中于連續(xù)，且滿足條件（且設(shè)于內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根）。 （1） 計(jì)算，； （2） 如果 或 ,則輸出 ； （3） 如果，則；否則其中表示給定的最大分半次數(shù)，當(dāng) 或時(shí)分半終止。 §2 迭 代 法迭代法是一種逐次逼近法。它是求解代數(shù)方程，超越方程及方程組的一種基本方法，但存在收斂性及收斂快慢問(wèn)題。 為了用迭代法求非線性方程的近似根，首先需要將此方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的方程

5、 (2.1)顯然，將轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程(2.1)的方法是很多的。 例2 方程可用不同方法轉(zhuǎn)化為等價(jià)方程 ( a) (b) 定義：（迭代法）設(shè)方程為。 （1）選取方程根的一個(gè)初始近似，且按下述逐次代入法，構(gòu)造一近似解序列： （2.2）這種方法稱(chēng)為迭代法（或稱(chēng)為單點(diǎn)迭代法）。稱(chēng)為迭代函數(shù)。 （2）如果由迭代法產(chǎn)生的序列有極限存在，即，則稱(chēng)為收斂或稱(chēng)迭代過(guò)程（2.2）收斂。否則稱(chēng)不收斂。 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且 ，則有，即為方程（2.1）的解（稱(chēng)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)）。 事實(shí)上，由迭代過(guò)程（2.2）兩邊取極限，則有 顯然，在由方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的方程時(shí)，選擇不同的迭代函數(shù)，就會(huì)產(chǎn)生不同的序列（即使初始值選擇一樣），且這

6、些序列的收斂情況也不會(huì)相同。 例3 對(duì)例2中方程，考察用迭代法求根： （a）， (b) ， 表 6 2 k01.01.011.3414710.52359921.4738200.02360131.49530141.49715251.49728961.49730071.497300 由計(jì)算看出，我們選取的兩個(gè)迭代函數(shù)和，分別構(gòu)造序列 收斂情況不一樣（初始值都取為1.0），在（a）種情況收斂且。在（b）種情況出現(xiàn)計(jì)算無(wú)定義。 因此，對(duì)于用迭代法求方程近似根需要研究下述問(wèn)題： （1） 如何選取迭代函數(shù)使迭代過(guò)程 收斂。 （2） 若 收斂較慢時(shí)，怎樣加速收斂。 迭代法的幾何意義： 從幾何上解釋?zhuān)蠓匠谈?/p>

7、的問(wèn)題，是求曲線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。當(dāng)?shù)瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)在根處滿足下述幾種條件時(shí)，從幾何上來(lái)考查迭代過(guò)程的收斂情況如圖(1)-(4)。從曲線上一點(diǎn)出發(fā)，沿著平行于軸方向前進(jìn)交于一點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿平行于軸方向前進(jìn)交于點(diǎn)，顯然，的橫坐標(biāo)就是。繼續(xù)這過(guò)程就得到序列，且從幾何上觀察知道在（1），（2）情況下收斂于，在（3）、（4）情況不收斂于。 由迭代法的幾何意義可知，為了保證迭代過(guò)程收斂，應(yīng)該要求當(dāng)時(shí)，迭代函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足條件；否則方程于可能有幾個(gè)根或迭代法不收斂，為此有下述關(guān)于迭代法收斂性定理。 定理1 設(shè)有方程 （1） 設(shè)于一階導(dǎo)數(shù)存在； （2） 當(dāng)時(shí)，有； （3） 當(dāng)時(shí)，滿足條件：。 則 （1） 在上有

8、唯一解； （2） 對(duì)任意選取初始值，迭代過(guò)程收斂，即；（3）； （2.3）（4）誤差估計(jì) （2.4）只證明（2），（3），（4）。 證（2）由定理假設(shè)條件（2），當(dāng)取時(shí)，則有，。記誤差，由中值公式有 其中c在與之間，即。又利用假設(shè)條件（3）得到誤差的遞推關(guān)系 （2.5）反復(fù)利用（3.5），得到 （當(dāng)）即 。證（3） 由迭代公式，顯然有 （2.6）其中 在與之間，于是 即 證（4） 反復(fù)利用（2.6），可得 。 由定理3結(jié)果（2.3）可知，當(dāng)計(jì)算得到的相鄰兩次迭代滿足條件 （2.7）時(shí)，則誤差 。所以在電算時(shí)可利用來(lái)控制迭代終止，但是要注意，當(dāng)時(shí)，即使很小，但誤差還可能較大。當(dāng)已知，及給定精度要

9、求時(shí)，利用（2.4）可確定使誤差達(dá)到給定精度要求所需要迭代次數(shù)。事實(shí)上，由可得 （2.8）定理1中的假設(shè)條件：當(dāng)時(shí)，。在一般情況下，可能對(duì)于大范圍的含根區(qū)間不滿足，而在根的鄰域是成立的，為此有下述迭代過(guò)程局部收斂性結(jié)果。定理 2（迭代法的局部收斂性）設(shè)給定方程 （1）設(shè)為方程的解； （2）設(shè)在的鄰近連續(xù)可微且有則對(duì)任意取初值，迭代過(guò)程（）收斂于（稱(chēng)迭代過(guò)程具有局部收斂性）。 證： 取，于是只要驗(yàn)證定理3中條件（2）成立，定理4即得證。 事實(shí)上，設(shè)，則滿足 ，其中，。這說(shuō)明。 例4 試用迭代法解方程：。 解 （1）由于當(dāng)時(shí)，連續(xù)，且顯然有 及 即知，方程于及內(nèi)有根，分別記為及。 （2）考查取初值

10、時(shí)，迭代過(guò)程的收斂性，其中迭代函數(shù)為。 顯然，及為增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，。又由，則當(dāng)時(shí)，于是由定理3可知，當(dāng)初值時(shí)迭代過(guò)程收斂。結(jié)果見(jiàn)表63表63 00.010.6931471820.99071046141.1461931151.1461932如果要求近似根準(zhǔn)確到小數(shù)后第6位（即要求），則由上表可知，且。所以。于是 ，。（3）為了求內(nèi)方程的根，考查迭代過(guò)程 （2.9） 顯然，當(dāng)時(shí)，。所以，迭代過(guò)程（2.9）不 收斂于。 （4）可將方程轉(zhuǎn)化等價(jià)方程 ，從而，且有。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)選取初值時(shí)，迭代過(guò)程 收斂。如取，則迭代12次有 ，且有。由上例可見(jiàn)，對(duì)于方程，迭代函數(shù)選取不同，相應(yīng)由迭代法產(chǎn)生的收斂情

11、況也不一樣。因此，我們應(yīng)該選擇迭代函數(shù)，使構(gòu)造的迭代過(guò)程 收斂且較快。迭代法：求解方程 （1） 選取解的初始估計(jì)；給定精度要求（2）對(duì)于，計(jì)算，其中為給定的最大迭代次數(shù)。（3）終止條件：當(dāng)時(shí)（或 ）迭代終止。 §3 牛 頓 法 解非線性方程牛頓方法是一種將非線性函數(shù)線性化的方法。牛頓方法的最大優(yōu)點(diǎn)是在方程單根附近具有較高的收斂速度，牛頓方法可用來(lái)計(jì)算的實(shí)根，還可計(jì)算代數(shù)方程的復(fù)根。它是求解方程應(yīng)用最廣泛的迭代法之一。 3.1 牛頓法公式及誤差分析 設(shè)有非線性方程 （3.1） 其中，假設(shè)在上一階連續(xù)可微，且 ；又設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（設(shè)）。現(xiàn)考慮用過(guò)曲線上點(diǎn) 的切線近似代替函數(shù)，即用

12、線性函數(shù)代替。且用切線的零點(diǎn)，作為方程（3.1）根的近似值，即 （3.2）一般，若已求得，將（3.2）中換為，重復(fù)上述過(guò)程，即得求方程根的牛頓方法的計(jì)算公式 （3.3）下面利用的泰勒公式進(jìn)行誤差分析。設(shè)已知的根的第次近似，于是在點(diǎn)泰勒公式為（設(shè)二次連續(xù)可微）： （3.4）其中C在與之間。 如果用線性函數(shù) 近似代替，其誤差為。且用根作為的根的近似值，又得到牛頓公式.現(xiàn)在（3.4）中取，則有 于是 .利用牛頓公式（3.3）即得誤差關(guān)系式 （3.5）誤差公式（3.5）說(shuō)明的誤差是與的誤差的平方成比例的。當(dāng)初始誤差充分小時(shí)，以后迭代的誤差將非?？斓臏p少。 由計(jì)算公式（3.3）可知，用牛頓方法求方程根，

13、每計(jì)算一步需要計(jì)算一次函數(shù)值及一次導(dǎo)數(shù)。 例5 用牛頓法求 根。 解 顯然，方程在，內(nèi)各有一根。牛頓法計(jì)算公式為 以為初值求解如下：，由此可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)3次迭代，即得誤差小于的平方根。同理可得另一平方根-5。注：當(dāng)初值選取靠近根時(shí)，牛頓法收斂且收斂較快；當(dāng)初值不是選取接近方程根時(shí)，牛頓法可能會(huì)給出發(fā)散的結(jié)果。 3.2 牛頓法的局部收斂性 設(shè)有方程，由于牛頓法是一種迭代法，其中迭代函數(shù)為 可用迭代法理論來(lái)考查牛頓方法的收斂性。 定理3 設(shè)方程有根，而在根鄰近具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且，則存在的一個(gè)鄰域 ，使得對(duì)于任意初值， 由牛頓法產(chǎn)生的序列收 斂 于，且有 （3.6）證 由于牛頓法是一個(gè)迭代法， 其迭代函數(shù)為 故 從而 于是由定理2知，牛頓法迭代法為局部收斂。且由（3.5）取極限即得（3.6）。 注： 在用牛頓法求的單根時(shí)，一般可用來(lái)估計(jì)的誤差，即當(dāng)充分接近時(shí)，若 ，意味著。 §4 弦 割 法 如果函數(shù)比較復(fù)雜，求導(dǎo)可能有困難，這時(shí)可將牛頓公式中近似用差商來(lái)代