高二數(shù)學(xué)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理教案 人教版

1、高二數(shù)學(xué)分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理教案教學(xué)目標：掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用這兩個原理分析和解決一些簡單問題教具準備：投影膠片（兩個原理）教學(xué)過程：設(shè)置情境先看下面的問題：2002年夏季在韓國與日本舉行的第17屆世界杯足球賽共有32個隊參賽它們先分成8個小組進行循環(huán)賽，決出16強，這16個隊按確定的程序進行淘汰賽后，最后決出冠亞軍，此外還決出了第三、第四名問一共安排了多少場比賽？要回答上述問題，就要用到排列、組合的知識排列、組合是一個重要的數(shù)學(xué)方法，粗略地說，排列、組合方法就是研究按某一規(guī)則做某事時，一共有多少種不同的做法在運用排列、組合方法時，經(jīng)常要用到分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，

2、下面我們舉一些例子來說明這兩個原理探索研究引導(dǎo)學(xué)生看下面的問題（出示投影）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中，火車有3班，汽車有2班那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？因為一天中乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有325種不同的走法，如圖所示一般地，有如下原理：（出示投影）分類計數(shù)原理  完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有 種不同的方法，在第2類辦法中有 種不同的方法，在第 類辦法中有 種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法再看下面的問題（出示投影）從甲地到乙地，要從甲地選乘火車到丙地，再于次日從

3、丙地乘汽車到乙地一天中，火車有3班，汽車有2班那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法（如圖）？這個問題與前一個問題不同在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地；而在這個問題中，必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個步驟，才能從甲地到乙地這里，因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有3×26種不同的走法（讓學(xué)生具體列出6種不同的走法）于是得到如下原理：（出示投影）分步計數(shù)原理 完成一件事，需要分成 個步驟，做第1步有 種不同的方法，做第2步有 種不同的方法，做第種不同的方法教師提出問題：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理有

4、什么不同？學(xué)生回答后，教師出示投影：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題，它們的區(qū)別在于：分類計數(shù)原理與“分類”有關(guān)，各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步計數(shù)原理與“分步”有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成（出示投影）例1  書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？（解答略）教師點評：注意區(qū)別“分類”與“分步”例2  一種號碼鎖有4個撥號盤，每

5、個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼？（解答略）例3  要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？（解答略）演練反饋1有不同的中文書9本，不同的英文書7本，不同的日文書5本從其中取出不是同一國文字的書2本，問有多少種不同的取法？（由一名學(xué)生板演后，教師講評）2集合 ， 從 、 中各取1個元素作為點 的坐標（1）可以得到多少個不同的點？（2）這些點中，位于第一象限的有幾個？（由一名學(xué)生板演后，教師講評）3某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有3處樓梯，問從1樓到5樓共有多少種不同的走法？4某藝術(shù)組有9人，每人至少會鋼琴和小號中的一種

6、樂器，其中7人會鋼琴，3人會小號，從中選出會鋼琴與會小號的各1人，有多少種不同的選法？參考答案1解：取出不是同一國文字的書2本，可以分為三類：中英、中日、英日，而每一類中又都可分兩步來取，因此有種不同的取法注意：有些較復(fù)雜的問題往往不是單純的“分類”“分步”可以解決的，而要將“分類”“分步”結(jié)合起來運用一般是先“分類”，然后再在每一類中“分步”，綜合應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理2解：（1）一個點的坐標有 、 兩個元素決定，它們中有一個不同則表示不同的點可以分為兩類： 中的元素為 ， 中的元素為 或 中的元素為 ， 中的元素為 ，共得到 3×44×324個不同的點

7、（2）第一象限內(nèi)的點，即 、 均為正數(shù)，所以只能取 、 中的正數(shù)，共有2×22×28個不同的點3解：由于1、2、3、4層每一層到上一層都有3處樓梯，根據(jù)分步計數(shù)原理4解：由題意可知，在藝術(shù)組9人中，有且僅有一人既會鋼琴又會小號（把該人稱為“多面手”），只會鋼琴的有6人，只會小號的有2人，把會鋼琴、小號各1人的選法分為兩類：第一類：多面手入選，另一人只需從其他8人中任選一個，故這類選法共有8種第二類：多面手不入選，則會鋼琴者只能從6個只會鋼琴的人中選出，會小號的1人也只能從只會小號的 2人中選出，放這類選法共有6×212種，因此有 種故共有20種不同的選法注意：像本

8、題中的“多面手”可稱為特殊“對象”，本題解法中按特殊“對象”進行“兩分法分類”是常用的方法總結(jié)提煉分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，它不僅是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其基本思想貫穿于解決本章應(yīng)用問題的始終要注意“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系布置作業(yè)：課本P87習(xí)題10.1  2，3，4，5板書設(shè)計：10.1分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理（一）圖101圖102兩個原理（二）例題分析例1例2例3（三）練習(xí)（四）小結(jié)典型例題例1 在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？ 分析與解：分析個位數(shù)字，可分以下幾類個

9、位是9，則十位可以是1，2，3，8中的一個，故有8個；個位是8，則十位可以是1，2，3，7中的一個，故有7個；與上同樣：個位是7的有6個；個位是6的有5個；個位是2的只有1個由分類計數(shù)原理知，滿足條件的兩位數(shù)有（個）說明：本題是用分類計數(shù)原理解答的，結(jié)合本題可加深對“做一件事，完成之可以有n類辦法”的理解，所謂“做一件事，完成它可以有n類辦法”，這里是指對完成這件事情的所有辦法的一個分類分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次分類時要注意滿足一個基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這

10、些條件，才可以用分類計數(shù)原理 例2 在由電鍵組A與B所組成的并聯(lián)電路中，如圖，要接通電源，使電燈發(fā)光的方法有多少種？解：因為只要合上圖中的任一電鍵，電燈即發(fā)光，由于在電鍵組A中有2個電鍵，電鍵組B中有3個電鍵，應(yīng)用分類計數(shù)原理，所以共有：2+3=5種接通電源使燈發(fā)亮的方法。例3 二年級一班有學(xué)生56人，其中男生38人，從中選取一名男生和一名女生作代表，參加學(xué)校組織的調(diào)查團，問選取代表的方法有幾種分析與解：男生38人，女生18人，由分步計數(shù)原理共有 （種）答：選取代表的方法有684種說明：本題是用分步計數(shù)原理解答的，結(jié)合本題可以加深對“做一件事，完成之需要分成n個步驟”的理解，所謂“做

11、一件事，完成它需要分成n個步驟”，分析時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個分步的可行標準；其次，分步時還要注意滿足完成這件事情必須并且只需連續(xù)完成這對 個步驟后，這件事情才算圓滿完成，這時，才能使用來法原理例4 在電鍵組A、B組成的串聯(lián)電路中，如圖，要接通電源使燈發(fā)光的方法有幾種？解：只要在合上A組中兩個電鍵之后，再合上B組中3個電鍵中的任意一個，才能使電燈的電源接通，電燈才能發(fā)光，根據(jù)分步計數(shù)原理共有：2×3=6種不同的方法接通電源，使電燈發(fā)光。例5 有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，有多少種不同取法？分析：任取兩本不同類的書，有三類：

12、一、取數(shù)學(xué)、語文各一本；二、取語文、英語各一本；三、取數(shù)學(xué)、英語各一本然后求出每類取法，利用分類計數(shù)原理即可得解解：取出兩本書中，一本數(shù)學(xué)一本語文有 種不同取法，一本語文一本英語有 種不同取法，一本數(shù)學(xué)，一本英語有 種不同取法由分類計數(shù)原理知：共有 種不同取法說明：本例是一個綜合應(yīng)用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理的題目，在處理這類問題時，一定要搞清哪里是分類，哪里是分步，以確定利用加法或分步計數(shù)原理例6（1993年全國高考題）同室4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有（  ）A6種    

13、       B9種           C11種             D23種分析：本題完成的具體事情是四個人，每人抽取一張賀卡，問題是按照一定要求，抽取結(jié)果有多少種不同情況我們可以把抽卡片的過程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以此類推，但存在的問題是，我們把四個人記為 、 、 、 ，他們的卡片依次記為 、

14、、 、 ，如果第一步 抽取 ，接著 可抽 、 、 ，有三種方法，而 抽 或 ， 僅有兩種抽法，這樣兩步之間產(chǎn)生影響，這樣必須就 抽的結(jié)果進行分類解法1：設(shè)四人A，B，C，D寫的賀年卡分別是a，b，c，d，當A拿賀年卡b，則B可拿a，c，d中的任何一個，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b時有三種不同分配方法同理，A拿c ，d時也各有三種不同的分配方式由分類計數(shù)原理，四張賀年卡共有333=9種分配方式解法2：讓四人A，B，C，D依次拿一張別人送出的賀年卡如果A先拿有3種，此時寫被A拿走的那張賀年卡的人也有3種不同的取法接下來，剩下的兩個人都各只有一

15、種取法由分步計數(shù)原理，四張賀年卡不同的分配方式有 種 應(yīng)選B注意：（1）本題從不同的角度去思考，從而得到不同的解答方法，解法1是用分類計數(shù)原理解答的，解法2是用分步計數(shù)原理解答的在此有必要再進一步對兩個原理加以理解：如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類計數(shù)原理如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理（2）分類計數(shù)原理、來法原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學(xué)好，并正確地靈活加以應(yīng)用（3）如果把四個人依次抽

16、取的結(jié)果用一個圖表體現(xiàn)出來，就顯得更加清楚共有9種不同結(jié)果這個圖表我們稱之為“樹形圖”，在解決此類問題往往很有效，通過它可以把各種不同結(jié)果直觀地表現(xiàn)出來習(xí)題精選一、選擇題 1將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有（  ）A 種 B 種C 種D 種2將4個不同的小球放入3個不同的盒子，其中每個盒子都不空的放法共有（  ）A種 B 種C18種D36種3已知集合 ， ，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是（  ）A18B10C16D144用1，2，3，4四個數(shù)字在任取數(shù)（不重復(fù)?。┳骱?，則取出這些數(shù)的不同的和共有（  ）A8個B9個C10個D5個二、填空題1由數(shù)字2，3，4，5可組成_個三位數(shù)，_個四位數(shù)，_個五位數(shù)用1，2，3，9九個數(shù)字，可組成_個四位數(shù)，_個六位數(shù)商店里有15種上衣，18種褲子，某人要買一件上衣或一條褲子，共有_種不同的選法要買上衣、褲子各一件，共有_種不同的選法大小不等的兩個正方體玩具，分別在各面上標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，則向上的面標著的兩個數(shù)字之積不小于20的情形有_種三、解答題1從1，2，3，4，7，9中任取不相同的兩個