對稱——重要的物理思維方法

1、 對稱重要的物理思維方法 大千世界千差萬別、千變?nèi)f化，卻又和諧統(tǒng)一、協(xié)調(diào)。上下、左右、陰陽、正負(fù)互相對應(yīng)，構(gòu)成一個對立統(tǒng)一的整體反映客觀世界的這種內(nèi)在一致性、規(guī)律的不變性,這種平衡的美感,這就是對稱。這種對稱可以幫助我們認(rèn)識物理世界的規(guī)律性,探索未知世界的奧秘,學(xué)好物理學(xué)。一、對稱性普遍存在于物理學(xué)中對稱性普遍存在于各種物理現(xiàn)象、過程和規(guī)律之中，它反映了物理世界的和諧與優(yōu)美。概括起來說，中學(xué)物理中的對稱主要表現(xiàn)為時空對稱、數(shù)學(xué)對稱和抽象對稱。、時空對稱時空對稱表示物理現(xiàn)象（或系統(tǒng)）在時空變換下的不變性。主要包括：空間對稱、時間對稱、時間和空間同時對稱。杠桿的平衡、平面鏡的成像、磁場的兩極、電荷

2、的正負(fù)、光的可逆性等表現(xiàn)物質(zhì)的直觀形象在空間的對稱；做勻速運(yùn)動的物體，通過空間任一位置的速度都相等，相干光在干涉空間任一區(qū)域都保持相等的條紋亮度。做勻加速直線運(yùn)動的物體，通過空間任一位置的加速度都相等，表現(xiàn)了物質(zhì)在運(yùn)動過程中的空間對稱。物體沿光滑斜面上滑和下滑、豎直上拋和下落等表現(xiàn)出了時間的對稱，彈簧振子的振動則同時表現(xiàn)出了時間和空間的對稱：振子在平衡位置兩側(cè)任意相對稱的位置上受到的合外力、具有的速度和加速度的大小相同，通過對稱軌跡的時間、位移大小、合外力的沖量、合外力所做的功相同，等等。我們不難看出，物質(zhì)運(yùn)動對時空表現(xiàn)出的對稱，其含義已大大超出軸對稱、中心對稱等幾何對稱的概念，它是對運(yùn)動時空

3、中的某一點(diǎn)或某一時刻表現(xiàn)出某種重復(fù)或特定的序，例如量值的恒定、周期性的復(fù)現(xiàn)、過程的可逆、互斥的存在等等。、數(shù)學(xué)對稱數(shù)學(xué)對稱表示物理內(nèi)容在數(shù)學(xué)形式（圖與式）上的對稱性或不變性。例如，簡諧運(yùn)動的振動圖象、交變電流的圖象都是正弦圖象，它們具有的對稱性表現(xiàn)為物理內(nèi)容在數(shù)學(xué)圖形上的對稱。動量定理與動能定理k之間，萬有引力定律與庫侖定律之間具有的對稱性以及機(jī)械能守恒定律EK1 + EP1 = EK2 + EP2具有的對稱性表現(xiàn)為物理內(nèi)容在數(shù)學(xué)表達(dá)式上的對稱性。、抽象對稱抽象對稱則以抽象的方法反映出物理內(nèi)容的對稱。例如：處于平衡狀態(tài)的氣體分子的熱運(yùn)動在三維空間各個自由度上發(fā)生運(yùn)動的幾率相等；氣體對容器器壁的

4、壓強(qiáng)處處相等；當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)趨近于無限時絕對誤差的代數(shù)和為零等等，都體現(xiàn)了物理內(nèi)容的抽象對稱。二、對稱思維在物理學(xué)的研究與發(fā)展中起著重要作用1、對稱思維在物理學(xué)發(fā)展中曾起著重要作用在人們認(rèn)識客觀的認(rèn)識史上，對稱性曾給予人們許多有益的啟示。人們通過對稱性思考，作出假設(shè)，揭示未知的規(guī)律、預(yù)言未知事件及其基本特性，并從對稱性特征上去研究、分析遵循對稱的條件或破壞對稱的原因。所以，對稱性在物理學(xué)中有著極為重要的作用，而且其重要性正隨著近代物理的發(fā)展與日俱增。這里略舉幾例。電磁感應(yīng)的發(fā)現(xiàn) 1820年，丹麥物理學(xué)家奧斯特在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，這一實(shí)驗(yàn)使法拉第從對稱性上誘發(fā)了一連串思考：這一現(xiàn)象的逆效應(yīng)是

5、否存在？能不能用磁體使導(dǎo)線中產(chǎn)生出電流來呢？等等。在1822年的日記里，他記下了一個大膽設(shè)想：由電產(chǎn)生磁，由磁產(chǎn)生電。并使用了“感應(yīng)”這個詞，從此，他開始了長達(dá)數(shù)十年的實(shí)驗(yàn)探索，終于在1831年8月29日發(fā)現(xiàn)了電磁感應(yīng)現(xiàn)象，完成了名副其實(shí)的“磁生電”的對稱性設(shè)想。法拉第這一劃時代的發(fā)現(xiàn)，找到了把機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的方法，開創(chuàng)了電的時代，發(fā)動了又一次工業(yè)革命，對整個世界產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。物質(zhì)波假設(shè)的提出 1923年到1924年間，德布羅意從完全符合對稱性的思考上提出這樣問題：既然光有波動性，也具有粒子性，那么具有粒子性的實(shí)物粒子（原子、電子、質(zhì)子等）是否也具有波動性呢？他通過對原子、電子等實(shí)物

6、粒子的性質(zhì)和光的性質(zhì)進(jìn)行深刻的研究后，于1924年在博士論文答辯中提出了一個大膽的假設(shè)：“一般的物質(zhì)也具有波粒二象性”。他假設(shè)每一個運(yùn)動的粒子都有一個波與之對應(yīng)，這個粒子的質(zhì)量E和動量P與它所對應(yīng)的波的頻率和波長之間，也象光子一樣遵從下面的關(guān)系：Eh，/。與某種這個實(shí)物粒子所對應(yīng)的波就稱為物質(zhì)波或德布羅意波。這種假設(shè)后來為戴維森和湯姆生用實(shí)驗(yàn)予以證實(shí)。德布羅意從對稱性思考提出的物質(zhì)波假設(shè)，揭開了“自然界巨大面罩的一角”。宇稱不守恒定律的發(fā)現(xiàn) 許多事實(shí)表明：對于一個多粒子系統(tǒng)，不論經(jīng)過怎樣的相互作用（如中子、質(zhì)子、介子等之間的強(qiáng)相互作用或電磁相互作用）和發(fā)生怎樣的變化（包括可能會使粒子數(shù)發(fā)生變化

7、），系統(tǒng)的總宇稱保持不變，這就是曾被奉為金科玉律的“宇稱守恒定律”?？墒?，楊振寧、李政道經(jīng)過仔細(xì)的分析和研究后，對宇稱守恒定律在弱作用過程中是否成立提出了質(zhì)疑：他們指出：“和一般所確信的相反，在弱相互作用中實(shí)際上并不存在左右對稱的任何實(shí)驗(yàn)依據(jù)。如果左右對稱在弱相互作用中并不存立，則宇稱的概念就不能應(yīng)用于和粒子的衰變機(jī)構(gòu)中，因此和可以是同一粒子?！彼麄儾⑻岢隽擞脤?shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證的方案。后來得到了吳健雄的實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。楊振寧、李政道因此獲得了1956年的諾貝爾物理學(xué)獎。弱相互作用過程中宇稱的不守恒，開創(chuàng)了粒子物理的新局面。宇稱不守恒定律的發(fā)現(xiàn)給我們一個啟示：對稱能給人一種圓滿、勻稱、均衡的美感，對稱破缺

8、則體現(xiàn)了物理世界的多姿多彩，有時還可能意味著新的更高層次的對稱性的建立，同時還會導(dǎo)致物理理論的重大突破。2、對稱思維巧妙地運(yùn)用在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中庫侖做鈕秤實(shí)驗(yàn)的時候，當(dāng)時還不知道怎么測量電量，電量的單位也還沒有確定，庫侖運(yùn)用對稱思想,把一個帶電小球與另一個大小、形狀、材料完全相同的不帶電小球接觸，則該小球所帶的電量變?yōu)樵瓉淼?，依此下去，就巧妙地將帶電金屬小球的電量分為原來的?，終于發(fā)現(xiàn)了點(diǎn)電荷間的作用定律。托馬斯揚(yáng)在解決光的相干性問題時，用單色光照射小孔S，如圖1，再由S發(fā)散的光照射相鄰的另外兩個小孔S1和S2，于是在屏上就觀察到了從S1和S2發(fā)出的兩束光的干涉圖象。這里他正是運(yùn)用了對稱思想巧妙地

9、將點(diǎn)光源發(fā)出的一束光分為兩束，從而獲得了相干光源，觀察到了干涉現(xiàn)象，驗(yàn)證了光的波動性。 對稱曾啟發(fā)了物理學(xué)家，它所發(fā)揮的巨大作用已在物理學(xué)上樹立了豐碑。今后，對稱還將繼續(xù)推動物理學(xué)的發(fā)展，指導(dǎo)人們從更深層次上去探索物質(zhì)結(jié)構(gòu)及客觀世界之謎。三、對稱對物理學(xué)習(xí)的作用、利用對稱啟發(fā)直覺思維對稱在我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用物理知識上最突出的功能是啟發(fā)直覺思維，我們運(yùn)用對稱就是運(yùn)用物體在時空上表現(xiàn)出的對稱性，啟發(fā)我們直覺地、正確地感受一些物理問題。例如：電荷在球形導(dǎo)體表面呈均勻分布，當(dāng)其與等大中性球接觸時，兩球帶的電荷相等。許多問題，有時不必去作論證，可以借助對稱直接作出判斷。例 如圖，四只完全相同的電池串聯(lián)在一起

10、構(gòu)成一個閉合回路，若每只電池的電動勢為，內(nèi)電阻為r，則a、b、c、d四點(diǎn)的電勢為（ ）(A)aVbVcVd； (B)aVbVcVd；(C)aVbVcVd； (D) 無法確定。 圖2解析：由于a、b、c、d在閉合回路中是完全對稱的，根據(jù)對稱性使立即可得正確答案為（C）。我們還可以把這個問題進(jìn)一步推廣為：有n個相同的電池，首尾相接構(gòu)成閉合回路，根據(jù)對稱性，同樣可判知一個電池兩端之間的電勢差必定為零。因?yàn)榧热幻總€電池都相同，取出的兩點(diǎn)的位置對任何一個電池都是等價的，結(jié)果也必然相同。、運(yùn)用對稱思維方法巧解習(xí)題運(yùn)用對稱思維方法分析和解答物理問題，往往可以避免繁冗的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，一下子抓住問題的物理本質(zhì)，使分

11、析問題的思路變得清晰，解決問題的步驟變得簡捷。例 一物體以米/秒2的加速度做勻減速直線運(yùn)動至停止，求物體在停止運(yùn)動前第秒內(nèi)的位移大?。拷馕觯罕绢}若按常規(guī)思路去求解，似乎顯得條件不夠，而利用運(yùn)動的時間對稱性去思考，則該題就轉(zhuǎn)換成求初速度為零的勻加速直線運(yùn)動的物體在第秒內(nèi)的位移大小了。根據(jù) at2 得1 at12 = 0.5米又SSS 135 得 SS 17 SS3.5(米)也就是物體在停止運(yùn)動前第4秒內(nèi)的位移是3.5米。例 圖(a)電路中，用6根電阻都為r的電阻絲組成一錐形網(wǎng)絡(luò)，試求每兩個頂點(diǎn)之間的總電阻。解析：對于任何兩個頂點(diǎn)，電路結(jié)構(gòu)完全對稱（空間對稱），因此可任選兩個進(jìn)行計(jì)算，現(xiàn)以b、c兩

12、頂點(diǎn)為例，由于電路結(jié)構(gòu)上的對稱，a、d兩點(diǎn)的電勢必定相等。a、bd和ac、dc四根電阻絲形成平衡電橋，因此，原電路可簡化成圖3(b)的電路。于是，bc間的總電阻，為求bc兩點(diǎn)間的總電阻。Rbcr2r2rr2 圖3（a） 圖3（b）例3 如圖4所示，一條長為L的細(xì)繩，上端固定，下端拴著一個質(zhì)量為m的帶電小球，置于場強(qiáng)大小為E、方向水平的勻強(qiáng)電場中，且細(xì)繩偏離豎直方向時，小球平衡如果使偏角由增大到，然后將小球由靜止開始釋放，則應(yīng)為多大，才能使小球到達(dá)最低點(diǎn)時速度剛好為零？解析：小球最初靜止的位置（），就是小球發(fā)生振動的平衡位置。根據(jù)小球在振幅位置處的速度為零，且兩振幅位置和具有時空對稱性,即偏離平衡位置的角度相等。故為使小球到達(dá)最低點(diǎn)時的速度剛好為零，應(yīng)使角等于2倍的角，即=2，顯然，這里運(yùn)用對稱法比用功能關(guān)系和三角函數(shù)變換關(guān)系來計(jì)算更簡便。 圖4 圖5例4 如圖5所示，凸透鏡的焦距f =20厘米，在垂直主軸且距透鏡u = 60厘米的平面上物點(diǎn)S以半徑R = 5厘米，速度v = 1米/秒繞主軸做勻速圓周運(yùn)動。求像點(diǎn)s的運(yùn)動軌跡和運(yùn)動加速度?解析:根據(jù)透鏡成像具有共軛對稱的特性，不論物點(diǎn)如何運(yùn)動（或者透