理想氣體狀態(tài)方程和克拉珀龍方程的幾個推論及其應(yīng)用

1、理想氣體狀態(tài)方程和克拉珀龍方程的幾個推論及其應(yīng)用山東莒南一中 李樹祥 山東莒南前劉山小學 張伯英對于理想氣體, 有兩個基本方程: 一是研究任意質(zhì)量的氣體, 在任意狀態(tài)下, 三個狀態(tài)參量之間的關(guān)系的克拉珀龍方程PV = nRT；二是研究一定質(zhì)量的理想氣體在狀態(tài)變化的過程中, 初狀態(tài)和末狀態(tài)的狀態(tài)參量之間的關(guān)系的理想氣體狀態(tài)方程=。由這兩個方程可推導出一些有用的推論。推論一( 理想氣體的密度方程) ：設(shè)氣體的質(zhì)量為 m, 在狀態(tài) I 時的密度為 1, 溫度為 T 1,壓強為 P1 ; 狀態(tài)時的密度為2 , 溫度為 T2 , 壓強為P2, 則有.推導 把1= m/ V1 和2= m/ V2 代入理想

2、氣體的狀態(tài)方程即得上式。此公式雖由一定質(zhì)量的理想氣體的狀態(tài)方程推出, 但此式卻與質(zhì)量無關(guān), 故常用來解決變質(zhì)量氣體的狀態(tài)變化問題。例 1 ：貯氣筒中壓縮空氣的溫度是 T 1=27°C, 壓強是 P1= 40atm。當從筒內(nèi)放出一半質(zhì)量的空氣以后, 筒內(nèi)剩余空氣的溫度是 T 2=12°C, 問這些剩余空氣的壓強 P2 是多少?解析： 筒內(nèi)放出一半質(zhì)量的氣體后, 由于貯氣筒的容積不變, 氣體的密度變?yōu)樵瓉淼囊话? 即2= 。故由推論一得P2=P12T 2/1T 1=40×1/2×285/1×300= 19atm推論二： 一定質(zhì)量的理想氣體 ，從溫度

3、為T 1、壓強為 P 的狀態(tài)等容變化到溫度為 T = T+ T、壓強為 P= P+ P 的狀態(tài)時, 氣體壓強的變化量P= . ； 從溫度為 T1、體積為 V 的狀態(tài)等壓變化到溫度為 T= T + T、體積為 V = V + V 的狀態(tài)時, 氣體體積的變化量V= .推導 設(shè)氣體由狀態(tài) P、T 、V 變化到狀態(tài)P、T 、V。因等容變化時 V= V, 故由氣體狀態(tài)方程有P/ P= T / T，由分比定理得 P/ P= T / T,所以P= TP/ T。同理可推得V= TV/ T例 2： 一定質(zhì)量的理想氣體, 在等壓變化過程中, 溫度由 300K 升高至 301K, 問體積的增量等于它在 300K 時

4、體積的多少?解析 ：依題設(shè), 氣體溫度的增量為T = 301- 300= 1K由推論二可得, 體積的增量為V= V/ 300，即體積的增量等于它在 300K 時體積的 1/ 300。推論三： 把壓強、體積、溫度分別為 P1、V 1、T 1、P2、V2、T 2, 的幾部分理想氣體( 不管這幾部分氣體性質(zhì)是否相同) 進行混合, 混合后的壓強、體積、溫度為 P、V、T , 則有+. =若把壓強、體積、溫度為 P、V、T 的一定質(zhì)量的氣體分成幾部分, 則有=+. 推導 設(shè)幾部分氣體的摩爾數(shù)分別為 n1、n2、, 則由質(zhì)量守恒可知, 混合后的總摩爾數(shù)為n= n1+ n2+ 。由克拉珀龍方程有n1=, ,

5、得+=，即+= 同理, 可導出推論三的后部分結(jié)論。例 3 一個潛水艇位于水面下 h= 200m,艇上有一個容積 V = 2m3 的貯氣鋼筒, 筒內(nèi)貯有壓縮空氣, 將筒內(nèi)一部分空氣壓入水箱( 水箱有排水孔與海水相連) , 排出海水 V1= 10m3, 此時筒內(nèi)剩余氣體的壓強是 P2= 95atm。設(shè)在排水過程中溫度不變, 求貯氣鋼筒內(nèi)原來的壓縮空氣的壓強。設(shè)水面上空氣壓強為 P0= 1atm,海水密度為= 1. 0 ×103kg/ m3, g = 10m/ s2,1atm= 1. 0×105Pa。解析 本題是一個壓縮空氣排水的問題,相當于把貯氣筒內(nèi)的壓縮氣體( 已知體積 V=

6、2m3, 設(shè)壓強為 P, 溫度為 T ) 分為兩個部分, 一部分進入水箱( 已知體積為 V1= 10m3, 溫度 T1= T , 設(shè)壓強為 P1 ) , 一部分留在貯氣筒( 已知體積 V2= V = 2m3, 壓強 P2= 95atm, 溫度 T 2=T ) 。水箱內(nèi)空氣的壓強可直接算出P1 = P0 + g h = 1 +1×103×10×200/1×105 =21atm對壓縮空氣, 由推論三有PV/T=P1V1/T1+P2V2/T 2得 P =(P1V 1+ P2V2)/V=（21×10+ 95×2）/2=200atm推論四 k

7、個不同狀態(tài)的理想氣體合并后再分成另外m 個不同的狀態(tài), 則有+.= +.推導同推論三的推導類似, 由混合前氣體的總摩爾數(shù)n1+ n2+ 等于混合后的總摩爾數(shù) n1+ n2+ , 再利用克拉珀龍方程即可導出推論四。例 4 如圖所示甲、乙兩容器用細管相連, V1=1L, V2 = 2L, 甲容器內(nèi)空氣的壓強為 P1= 1atm, 乙容器中空氣的壓強為P2= 2atm, 溫度均為T 1= T2= 27°C。打開閥門,并將甲容器的溫度降為 T1= - 73°C, 乙容器的溫度仍為 T2= 27°C, 問此時容器內(nèi)氣體的壓強為多少?解析 由推論四有+= +, 即+= +得 P =（）÷（）= 1. 43atm推論五 （道爾頓分壓定律）容器中混合氣體的壓強，等于在同樣溫度、同樣體積下混合氣體各成分單獨存在時的分壓強之和。即P1+P2=P.推導 ，由推論三得+=，若V1=V2=V,T1=T2=T,則P1+P2=P例5，一足球容積4L,內(nèi)有壓強P=2atm，用一容積為1L的打