02數(shù)形結(jié)合的思想方法

1、專題二：數(shù)形結(jié)合的思想方法【考情預(yù)測(cè)】1、重要內(nèi)容：數(shù)形結(jié)合法就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙和諧地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種“結(jié)合”尋找解題途徑，使問題得到解決。它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，所涉及的主要內(nèi)容有：（1）圖形與符號(hào)、圖形與文字的互譯；（2）充分利用圖像研究函數(shù)特性；（3）向量中相關(guān)問題的解決與應(yīng)用；（4）函數(shù)圖像與方程，不等式的解集間的聯(lián)系；（5）圓錐曲線圖形與方程，定義間的內(nèi)在聯(lián)系；（6）三角函數(shù)圖像的特征。數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：（1）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合

2、其圖像求參數(shù)的取值范圍；（2）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究方程根的范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)模型并結(jié)合其圖像研究量與量之間的大小關(guān)系；（4）構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；（5）構(gòu)建解析幾何模型研究最值問題；（6）構(gòu)造方程模型，求解的個(gè)數(shù)；（7）研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。在運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：（1）要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；（2）要恰當(dāng)引參合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；（3）要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；（4）精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于求解問題。2、命題回顧：廣東省近四年

3、來(lái)高考試題涉及數(shù)形結(jié)合思想方法題量與分值對(duì)照一覽表年份題量分值2004年題10，12，15，18，2039分2005年題4，9，14，16，17，2051分2006年題4，7，9，1727分2007年題4，6，7，15，17，1944分3、命題展望：數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效。因而數(shù)形結(jié)合的能力必然是歷年高考的一個(gè)重點(diǎn)。關(guān)于數(shù)形結(jié)合的重要性，可以引用著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生的話再次說(shuō)明：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休；切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫分離?！薄?/p>

4、典型例題】【例1】（1）（2007年海南寧夏）函數(shù)在區(qū)間的簡(jiǎn)圖是（ ）xyODxyOBxyOAxyOC（2）函數(shù)的圖像大致是（ ）【解析】（1）令，則，排除B，D；再令，則，故選A。（2）函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，排除A，D；又時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故選B。【答案】（1）A；（2）B【點(diǎn)評(píng)】已知函數(shù)解析式尋找函數(shù)圖像的試題，關(guān)鍵是結(jié)合圖像研究關(guān)鍵點(diǎn)的函數(shù)值，采用排除法，一步步得到正確答案。體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用。【例2】（1）（2007年山東）設(shè)是不等式組表示的平面區(qū)域，則中的點(diǎn)到直線距離的最大值是 。（2）某紡紗廠生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗，已知生產(chǎn)甲種棉紗1噸需耗一級(jí)子棉2噸，二級(jí)子棉1噸；生產(chǎn)乙種棉紗

5、需耗一級(jí)子棉1噸，二級(jí)子棉2噸，每1噸甲種棉紗的利潤(rùn)是600元，每1噸乙種棉紗的利潤(rùn)是900元，工廠在生產(chǎn)這兩種棉紗的計(jì)劃中要求消耗一級(jí)子棉不超過300噸，二級(jí)子棉不超過250噸。甲、乙兩種棉紗應(yīng)各生產(chǎn)多少噸，能使利潤(rùn)總額最大，并求最大利潤(rùn)?！窘馕觥浚?）先畫出平面區(qū)域與直線，如圖所示：由圖易知，中的點(diǎn)到直線距離的最大值就是點(diǎn)A到直線的距離，而A點(diǎn)的坐標(biāo)為方程組的解，即，則所求距離最大值為：。（2）將已知數(shù)據(jù)列成下表：資源消耗量產(chǎn)品甲種棉紗（1噸）乙種棉紗（1噸）資源限額（噸）一級(jí)子棉（噸）21300二級(jí)子棉（噸）12250利潤(rùn)（元）600900設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種棉紗分別為噸、噸，利潤(rùn)總額為元，

6、則目標(biāo)函數(shù)，線性約束條件為，作出可行域，如圖陰影部分：把變形為平行直線系，由圖可知，當(dāng)經(jīng)過可行域上的點(diǎn)時(shí)，截距最大，解方程組，得的坐標(biāo)為，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，。所以，應(yīng)生產(chǎn)甲種棉紗噸，乙種棉紗噸，能使利潤(rùn)總額達(dá)最大值元?！军c(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃試題，就是一類體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的題型。解題的關(guān)鍵在于畫出正確的可行域，然后結(jié)合可行域特點(diǎn)尋找符合題設(shè)的元素?！纠?】已知向量，則與的夾角的取值范圍是（ ）A、；B、；C、；D、【解析】本題用常規(guī)化簡(jiǎn)的方法處理相當(dāng)麻煩，可采用數(shù)形結(jié)合方法。事實(shí)上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，過原點(diǎn)作此圓的切線，傾斜角分別為、（易求，故。），則范圍為，選D?！军c(diǎn)評(píng)】理解向量的幾

7、何表示，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法，可避開復(fù)雜的分析與計(jì)算，從而直觀地得到結(jié)果，提高解題效率。【例4】已知實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍?！窘馕觥堪炎冃螢椋鋷缀我饬x為：以為圓心，1為半徑的圓。設(shè)，其幾何意義為：圓上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率。將變形為，則圓心到直線的距離，解得，的取值范圍為?！军c(diǎn)評(píng)】所給的限制條件與所求式子如果能夠找到它的幾何意義，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，用數(shù)形結(jié)合的解題思想來(lái)解這類問題，既準(zhǔn)確又過程簡(jiǎn)單。OyDAFx【例5】（1）已知點(diǎn)，在雙曲線上求一點(diǎn)，其坐標(biāo)為 時(shí)，使最小。（2）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若過點(diǎn)且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 。【解析】（1）如圖

8、，易知點(diǎn)在雙曲線的右支內(nèi)，則由雙曲線的第二定義知：若使最小，只需（是到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）最小，過點(diǎn)作右準(zhǔn)線的垂線，則與雙曲線右支的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。（2）根據(jù)直線與漸近線斜率的大小關(guān)系，從而。【點(diǎn)評(píng)】解析結(jié)合問題的解決，常用數(shù)形結(jié)合的思想方法。*【例6】（2007年廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖，公司在年初分配給A、B.C.D四個(gè)維修點(diǎn)的某種配件各50件，在A使用前發(fā)現(xiàn)需將A、B、C、D四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為40、45、61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動(dòng)件次（n件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為n）為（ ）A、15；B、16；C

9、、17；D、18【解析】A到D調(diào)動(dòng)10件，需要10次；B到C調(diào)動(dòng)5件，需要5次；C到D調(diào)動(dòng)1件，需要1次，此時(shí)完成調(diào)動(dòng)，共需16次，選B?！军c(diǎn)評(píng)】此題結(jié)合圖形，可以輕易選到正確答案。【能力強(qiáng)化】1、設(shè)平面向量的和，如果平面向量滿足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ）A、；B、；C、；D、2、若滿足條件，則的最大值是（ ）A、11；B、10；C、9；D、83、若，則（ ）A、；B、；C、；D、4、設(shè)全集，集合，那么等于（ ）A、；B、；C、；D、5、方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是 個(gè)。6、在圓心為的扇形中，以圓心為起點(diǎn)作射線，則使得的概率為 。7、設(shè)二次方程有二相異實(shí)根，若（1）一根大于2，另一根小于2；

10、（2）一根大于2，另一根小于0；（3）二根都大于0。試分別求實(shí)數(shù)的取值范圍。8、如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，平面底面。（1）證明平面；（2）求面與面所成的二面角的大小。9、已知函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若對(duì)任意，恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍?！就卣顾季S】10、設(shè)。（1）指出的單調(diào)區(qū)間；（2）求出的最值?！緟⒖即鸢浮?、【答案】D【解析】可以數(shù)形結(jié)合地認(rèn)為是一種“平衡”，相應(yīng)地各自模放大2倍，且都朝同方向旋轉(zhuǎn)，仍不失“平衡”，即，故選D。2、【答案】A【解析】如圖畫出平面可行域，設(shè)，畫出直線，當(dāng)變化時(shí)，在可行域內(nèi)平移，平移到過點(diǎn)（即兩直線交點(diǎn)）時(shí)，最大，。故選A。

11、3、【答案】B【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)值的分布易求，由，結(jié)合圖像的疊加得到。故選B。4、【答案】B【解析】由圖集合表示直線上除點(diǎn)外的部分，集合表示坐標(biāo)平面內(nèi)除直線外的部分，所以表示坐標(biāo)平面內(nèi)除點(diǎn)外的部分，所以答案選B。5、【答案】3【解析】畫出及的圖像，如圖所示。的最大值為1，過點(diǎn)，由單調(diào)性得有3個(gè)交點(diǎn)。6、【答案】【解析】設(shè)弧長(zhǎng)，依題意有，畫出可行域后，可得所求概率為。x12x2x10x22x1x207、【解析】設(shè)，由題意，分別作草圖如下：數(shù)形結(jié)合得：（1）；（2）；（3）。8、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)圖系。*（1）不妨設(shè)作，則，。由，得。 又因而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直。

12、 平面。（2）設(shè)為中點(diǎn)，則，由，得，又。因此，是所求二面角的平面角，。解得所求二面角的大小為。9、【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的圖像（如圖），易知函數(shù)在區(qū)間上遞增，從而函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以。（2）恒成立恒成立，且拋物線在區(qū)間顯然是遞增的，即有。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，從而時(shí)，在區(qū)間上恒成立。10、【解析】（1）把看作兩函數(shù)，之差，在同一坐標(biāo)系里分別作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，并直觀考察的值的變化情況（如圖所示）。作的平行線，使之與半圓相切，切點(diǎn)為，連接，易見，可見點(diǎn)坐標(biāo)為。結(jié)合圖形不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)值從逐漸增大到時(shí)，逐漸減??；當(dāng)?shù)闹祻闹饾u增大到1時(shí)，逐漸增大。的減函數(shù)區(qū)間為；增函數(shù)區(qū)間為。（2）的最小

13、值為（當(dāng)時(shí)取得），最大值為3（當(dāng)時(shí)取得）。專題二：數(shù)形結(jié)合的思想方法DACB1、已知正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)，則向量的模是（ ）A、5；B、6；C、7；D、82、設(shè)，且，那么的最大值是（ ）A、；B、；C、；D、3、函數(shù)是（ ）A、非奇非偶函數(shù)，且在區(qū)間遞減；B、非奇非偶函數(shù)，且在區(qū)間遞增；C、偶函數(shù)，且在區(qū)間遞減；D、偶函數(shù)，且在區(qū)間遞增4、若函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且方程在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根0，則的值是（ ）A、大于0；B、小于0；C、無(wú)法判斷；D、05、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）A、和；B、和；C、和；D、和6、函數(shù)的最大值為 。7、已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值等于 。8、已

14、知，且滿足。求：（1）的取值范圍；（2）的最大值；（3）的最小值。9、已知二次函數(shù)。（1）若，且，證明有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）在（1）的條件下，是否存在，使得成立時(shí)，為正數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若對(duì)，且，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，證明必有一個(gè)在內(nèi)?！緟⒖即鸢浮?、【答案】A【解析】，故，選A。2、【答案】D*【解析】注意滿足的動(dòng)點(diǎn)是在以為圓心，以為半徑的圓周上，于是，只需求斜率的最大值。3、【答案】D【解析】易知是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，是遞增的。4、【答案】C【解析】在上的實(shí)根具體位置不確定，可舉反例如符合條件，與同號(hào)；如符合條件，與異號(hào)。5、【答案】A【解析】，可解不等式解決。也可畫出函數(shù)的圖像，由應(yīng)用函數(shù)中自變量與函數(shù)值同號(hào)。6、【答案】1【解析】可以與兩點(diǎn)連線的斜率聯(lián)系起來(lái)，它實(shí)際上是點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，而點(diǎn)在單位圓上移動(dòng)，問題變?yōu)椋呵髥挝粓A上的點(diǎn)與連線斜率的最大值。顯然，但點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（此時(shí)，與圓相切）時(shí)，的斜率最大，最大值為。7、【答案】【解析】，為等邊三角形，由圖易得圓