初中數(shù)學試題大全（六十九）尺規(guī)作圖難題

69初中數(shù)學組卷：尺規(guī)作圖難題

一.選擇題（共1小題）

1.如圖，矩形ABCD中，AD=3AB,。為AD中點，俞是半圓.甲、乙兩人想在會

上取一點P,使得4PBC的面積等于矩形ABCD的面積其作法如下：

（甲）延長B0交會于P點，則P即為所求；

（乙）以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交會于P點，則P即為所求.

對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）

Bl---------------------------------------------'C

A.兩人皆正確B.兩人皆錯誤

C.甲正確，乙錯誤D.甲錯誤，乙正確

二.填空題（共10小題）

2.如圖，在一張長為8cm,寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為5cm

的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩

個頂點在矩形的邊上）.則剪下的等腰三角形的面積為cm2.

3.閱讀下面材料:

在數(shù)學課上，老師提出如下問題:

尺規(guī)作圖：作一條戲段的垂直平分級.

已知：線段月5.

小蕓的作法如下:

如圖,/C

]

(1)分別以點4和點B為圓心，大于己43的長為半

徑作弧，兩弧相交于C,。兩點；_____、B

(2)作直姣CD.

?

老師說："小蕓的作法正確.”

請回答：小蕓的作圖依據(jù)是.

4.如圖，將4ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,點B,點C

均落在格點上.

(I)計算AC2+BC2的值等于；

(II)請在如圖所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出一個以AB為一邊的矩形,

使該矩形的面積等于AC?+BC2,并簡要說明畫圖方法(不要求證明).

5.如圖，將線段AB放在邊長為1的小正方形網格，點A點B均落在格點上，

請用無刻度直尺在線段AB上畫出點P,使AP=%叵，并保留作圖痕跡.(備注:

3

本題只是找點不是證明，.?.只需連接一對角線就行)

6.已知：ZAOB,求作/AOB的平分線；如圖所示，填寫作法:

①.

②________

（I）當NMAN=69。時，Na的大小為（度）；

（II）如圖，將NMAN放置在每個小正方形的邊長為1cm的網格中，角的一邊

AM與水平方向的網格線平行，另一邊AN經過格點B,且AB=2.5cm.現(xiàn)要求只

能使用帶刻度的直尺，請你在圖中作出/a,并簡要說明做法（不要求證

明）.

5肉口口

_/______________

一乙二二二二二二

了IIIII

8.請在圖中作出^ABC的角平分線BD（要求保留作圖痕跡）.

9.如圖，已知方格紙中的每個小方格都是相同的正方形.NACB畫在方格紙上,

請在小方格的頂點上標出一個點P，使點P落在/ACB的平分線上..

10.如圖所示是由7個完全相同的正方形拼成的圖形，請你用一條直線將它分成

面積相等的兩部分.（在原圖上作出）.

11.如圖，在^ABC中，ZC=90",ZCAB=60°,按以下步驟作圖：

①分別以A,B為圓心，以大于LAB的長為半徑做弧，兩弧相交于點P和Q.

2

②作直線PQ交AB于點D,交BC于點E,連接AE.若CE=4,則AE=

三.解答題（共18小題）

12.CD經過NBCA頂點C的一條直線，CA=CB.E,F分別是直線CD上兩點，且

ZBEC=ZCFA=Za.

（1）若直線CD經過NBCA的內部，且E,F在射線CD上，請解決下面兩個問

題：

①如圖1,若NBCA=90°,Za=90°,

則BECF；EF|BE-AF|（填">","V"或"="）；

②如圖2,若0°<ZBCA<180°,請?zhí)砑右粋€關于Na與NBCA關系的條

件，使①中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立.

（2）如圖3,若直線CD經過NBCA的外部，Na=/BCA,請?zhí)岢鯡F,BE,AF

三條線段數(shù)量關系的合理猜想（不要求證明）.

13.如圖，在^ABC中，BA=BC,ZB=120°,AB的垂直平分線MN交AC于D,

14.課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖1,己知四邊形ABCD

中，AC平分NDAB,ZDAB=60°,NB與ND互補，求證：AB+AD=VsAC.小敏反

復探索，不得其解.她想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決該問題.

（1）特殊情況入手添加條件："NB=ND",如圖2,可證AB+AD=J^C；（請你

完成此證明）

（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖3,過C

點分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F.（請你補全證明）

15.(1)-5的絕對值是.

(2)如圖，ZAOB=50°,0c平分NAOB,則NA0C的度數(shù)=

16.如圖，某大學有A、B、C三棟教學樓，A、B在校內的主干道上，C在校內

支路的末端.為了方便教學和管理，現(xiàn)計劃修建一棟辦公樓P,使辦公室到公路

AB、BC的距離相等，且到B、C兩棟教學樓的距離也相等，請在圖中作出辦公樓

P的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫已知、求作、作法和結論，保留作圖痕跡，在

所作圖中標出P的位置）.

17.如圖1,矩形MNPQ中，點E,F,G,H分別在NP,PQ,QM,MN上，若

Z1=Z2=Z3=Z4,則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形.圖2,圖3,

圖4中，四邊形ABCD為矩形，且AB=4,BC=8.

理解與作圖：

（1）在圖2,圖3中，點E,F分別在BC,CD邊上，試利用正方形網格在圖上

作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH.

計算與猜想：

（2）求圖2,圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形

的周長是否為定值？

啟發(fā)與證明：

（3）如圖4,為了證明上述猜想，小華同學嘗試延長GF交BC的延長線于M,

試利用小華同學給我們的啟發(fā)證明（2）中的猜想.

18.如果一條直線能夠將一個封閉圖形的周長和面積同時平分，那么就把這條直

線稱作這個封閉圖形的二分線.

平行四邊形等腰三角形

備用圖2

(1)請在圖1的三個圖形中，分別作一條二分線.

(2)請你在圖2中用尺規(guī)作圖法作一條直線I,使得它既是矩形的二分線，又

是圓的二分線.(保留作圖痕跡，不寫畫法).

(3)如圖3,在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,是否存在過AB邊上的點

P的二分線？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由.

19.問題探究：

(1)請在圖①的正方形ABCD內，畫出使NAPB=90。的一個點，并說明理由.

(2)請在圖②的正方形ABCD內(含邊)，畫出使NAPB=60。的所有的點P,并說

明理由.

問題解決：

(3)如圖③，現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABCD,AB=4,BC=3.工人師傅想用它裁出兩

塊全等的、面積最大的^APB和△CP，D鋼板，且NAPB=/CP'D=60度.請你在圖

③中畫出符合要求的點和P和P，，并求出4APB的面積（結果保留根號）.

20.問題提出：以n邊形的n個頂點和它內部的m個點，共（m+n）個點作為

頂點，可把原n邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？

問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊性的策略，先從簡單

和具體的情形入手：

探究一：以^ABC的三個頂點和它內部的1個點P,共4個點為頂點，可把4ABC

分割成多少個互不重疊的小三角形？

如圖①，顯然，此時可把^ABC分割成3個互不重疊的小三角形.

探究二：以AABC的三個頂點和它內部的2個點P、Q,共5個點為頂點，可把

△ABC分割成多少個互不重疊的小三角形？

在探究一的基礎上，我們可看作在圖①^ABC的內部，再添加1個點Q,那么點

Q的位置會有兩種情況：

一種情況，點Q在圖①分割成的某個小三角形內部.不妨假設點Q在APAC內

部，如圖②;

另一種情況，點Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上.不妨假設點Q在

PA±,如圖③.

顯然，不管哪種情況，都可把^ABC分割成5個不重疊的小三角形.

探究三：以^ABC的三個頂點和它內部的3個點P、Q、R,共6個點為頂點可把

△ABC分割成個互不重疊的小三角形，并在圖④中畫出一種分割示意圖.

探究四：以aABC的三個頂點和它內部的m個點，共（m+3）個頂點可把aABC

分割成個互不重疊的小三角形.

探究拓展：以四邊形的4個頂點和它內部的m個點，共（m+4）個頂點可把四

邊形分割成個互不重疊的小三角形.

問題解決：以n邊形的n個頂點和它內部的m個點，共（m+n）個頂點可把△

ABC分割成個互不重疊的小三角形.

實際應用：以八邊形的8個頂點和它內部的2012個點，共2020個頂點，可把八

邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？（要求列式計算）

21.如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱

為這個平面圖形的一條面積等分線，例如平行四邊形的一條對角線所在的直線就

是平行四邊形的一條面積等分線.

（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分

線的有;

（2）如圖，梯形ABCD中，AB〃DC,如果延長DC到E,使CE=AB,連接AE,

那么有S梯形ABCD=SAADE.請你給出這個結論成立的理由，并過點A作出梯形ABCD

的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（如圖，四邊形中，與不平行，過點能否作出

3）ABCDABCDSAADC>SAABC?A

四邊形ABCD的面積等分線？若能，請畫出面積等分線，并給出證明；若不能，

圖1圖2

22.提出問題：如圖，在“兒童節(jié)"前夕，小明和小華分別獲得一塊分布均勻且形

狀為等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD〃BC）,在蛋糕的邊緣均勻分布著巧克力，

小明和小華決定只切一刀將自己的這塊蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力質量

都一樣）.

背景介紹：這條分割直線既平分了梯形的面積，又平分了梯形的周長，我們稱這

條線為梯形的"等分積周線

嘗試解決：（1）小明很快就想到了一條分割直線，而且用尺規(guī)作圖作出.請你幫

小明在圖1中作出這條"等分積周線"，從而平分蛋糕.

（2）小華覺得小明的方法很好，所以模仿著在自己的蛋糕（圖2）中畫了一條

直線EF分別交AD、BC于點E、F.你覺得小華會成功嗎？如能成功，說出確定

的方法；如不能成功，請說明理由.

（3）通過上面的實踐，你一定有了更深刻的認識.若圖2中AD〃BC,ZA=90°,

AD<BC,AB=4cm,BC=6cm,CD=5cm.請你找出梯形ABCD的所有"等分積周線”,

并簡要的說明確定的方法.

23.在圖中求作一點P,使點P到NAOB兩邊的距離相等，并且使0P等于MN,

保留作圖痕跡并寫出作法.（要求：用尺規(guī)作圖）

24.一種電訊信號轉發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km.現(xiàn)要求：在一邊長為30km的

正方形城區(qū)選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉發(fā)裝置，使這些裝置轉發(fā)

的信號能完全覆蓋這個城市.問：

（1）能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到預

設的要求？在圖1中畫出安裝點的示意圖，并用大寫字母M、N、P、Q表示安

裝點；

（2）能否找到這樣的3個安裝點，使得在這些點安裝了這種轉發(fā)裝置后能達到

預設的要求？在圖2中畫出示意圖說明，并用大寫字母M、N、P表示安裝點，

25.如圖所示，有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農戶種植（即將梯形

面積等分），試設計一種方案（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫出作法）,

并簡要說明理由.

26.如圖（1）,凸四邊形ABCD,如果點P滿足NAPD=NAPB=a,且NBPC=NCPD=B，

則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點.

（1）在圖（2）正方形ABCD內畫一個半等角點P,且滿足aWB；

（2）在圖（3）四邊形ABCD中畫出一個半等角點P,保留畫圖痕跡（不需寫出

圖（3）

畫法）.圖⑴圖（2）

27.作圖題：已知：NAOB,點M、N.求作：點P,使點P到OA、0B的距離

相等，且PM=PN.（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法.）

28.已知：如圖，直線AB與直線BC相交于點B,點D是直線BC上一點.

求作：點E,使直線DE〃AB,且點E到B,D兩點的距離相等.（在題目的原圖

中完成作圖）

結論：BE=DE.

29.如圖（1）,凸四邊形ABCD,如果點P滿足NAPD=NAPB=a.且NBPC=NCPD邛,

則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點.

（1）在圖（3）正方形ABCD內畫一個半等角點P,且滿足aW0；

（2）在圖（4）四邊形ABCD中畫出一個半等角點P,保留畫圖痕跡（不需寫出

畫法）；

（3）若四邊形ABCD有兩個半等角點Pi、P2（如圖（2））,證明線段P】P2上任一

點也是它的半等角點.

69初中數(shù)學組卷：尺規(guī)作圖難題

參考答案與試題解析

一.選擇題（共1小題）

1.（2014?臺灣）如圖，矩形ABCD中，AD=3AB,。為AD中點，而是半圓.甲、

乙兩人想在俞上取一點P,使得4PBC的面積等于矩形ABCD的面積其作法如下:

（甲）延長BO交眾于P點，則P即為所求；

（乙）以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交俞于P點，則P即為所求.

對于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確？（）

Bl--------------------------------------------IC

A.兩人皆正確B.兩人皆錯誤

C.甲正確，乙錯誤D.甲錯誤，乙正確

【分析】利用三角形的面積公式進而得出需P『H=PzK=2AB,即可得出答案.

【解答】解：要使得aPBC的面積等于矩形ABCD的面積，

需P甲H=PzK=2AB.

故兩人皆錯誤.

故選:B.

【點評】此題主要考查了三角形面積求法以及矩形的性質，利用四邊形與三角形

面積關系得出是解題關鍵.

填空題（共10小題）

2.（2014?黃岡）如圖，在一張長為8cm,寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一

個腰長為5cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點

重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上）.則剪下的等腰三角形的面積為—至或

【分析】因為等腰三角形腰的位置不明確，所以分（1）腰長在矩形相鄰的兩邊

上，（2）一腰在矩形的寬上，（3）一腰在矩形的長上，三種情況討論.（1）AAEF

為等腰直角三角形，直接利用面積公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE

邊上的高BF,再代入面積公式求解；（3）先求出AE邊上的高DF,再代入面積

公式求解.

【解答】解：分三種情況計算：

2

，SAAEF=L\E?AF=LX5X5=空厘米,

222

BF=&F2_BE氣/52-1米,

SAAEF=^AE*BF=1-X5X

(3)當AE=EF=5厘米時，如圖

DF=7EF2-DE2=V52-32=4座米，

.0AEF=XAE?DF」X5X4=10厘米2.

22

故答案為：空，5返，10.

2

【點評】本題主要考查矩形的角是直角的性質和勾股定理的運用，要根據(jù)三角形

的腰長的不確定分情況討論.

3.(2015?北京)閱讀下面材料:

在數(shù)學課上，老師提出如下問題：

尺視作圖：作一條線段的垂直平分線

己知：線段45.

____________,B

小蕓的作法如下:

如圖，

(1)分別以點/和點B為圓心，大于;43的長為半

徑作弧，兩弧相交于CD兩點；

(2)作直統(tǒng)C。.

老師說："小蕓的作法正確.”

請回答：小蕓的作圖依據(jù)是到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線

上，兩點確定一條直線..

【分析】通過作圖得到CA=CB,DA=DB,則可根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理

判斷CD為線段AB的垂直平分線.

【解答】解:VCA=CB,DA=DB,

，CD垂直平分AB（到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，兩點

確定一條直線.）

故答案為：到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，兩點確定一條

直線..

【點評】本題考查了基本作圖：基本作圖有：作一條線段等于已知線段；作一個

角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知

直線的垂線.

4.（2014?天津）如圖，將AABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,

點B,點C均落在格點上.

（I）計算AC2+BC2的值等于11；

（H）請在如圖所示的網格中，用無刻度的直尺，畫出一個以AB為一邊的矩形，

使該矩形的面積等于AC2+BC2,并簡要說明畫圖方法（不要求證明）如圖所

木：

【分析】（1）直接利用勾股定理求出即可；

（2）首先分別以AC、BC、AB為一邊作正方形ACED,正方形BCNM,正方形ABHF；

進而得出答案.

【解答】解：（I）AC2+BC2=（V2）2+32=11；

故答案為：11;

（2）方法一:

分別以AC、BC、AB為一邊作正方形ACED,正方形BCNM,正方形ABHF；

延長DE交MN于點Q,連接QC,平移QC至AG,BP位置，直線GP分別交AF,

BH于點T,S,

則四邊形ABST即為所求.

方法二：

如圖1,所求矩形的面積等于兩個粉色正方形的面積和

小正方形面積為2,大正方形面積為9,

圖1

如圖2,第一次變化，圖中綠色三角形的面積等于粉色小正方形的面積,

如圖3,第二次變化，圖中藍色平行四邊形的面積等于粉色小正方形的面積,

*-

經過幾次變形以后，如圖5,兩塊陰影所示的面積和，還是等于11,

如圖6,然后進行一次割補，上面黑色陰影與aABC全等，把黑色割補到aABC,

則平行四邊形ABEF的面積也是11,

圖6

下面再進行最后一次等積變形，過A,B兩點分別做AB的垂，然后延長EF,與

這兩條垂線分別相交于M,N

如圖7,矩形ABMN與平行四邊形ABEF面積相等，都是

【點評】此題主要考查了應用設計與作圖，借助網格得出正方形是解題關鍵.

5.（2015?自貢）如圖，將線段AB放在邊長為1的小正方形網格，點A點B均

落在格點上，請用無刻度直尺在線段AB上畫出點P,使AP=2叵，并保留作圖

3

痕跡.（備注：本題只是找點不是證明，.?.只需連接一對角線就行）

【分析】利用勾股定理列式求出AB=JF，然后作一小正方形對角線，使對角線

與AB的交點滿足AP：BP=2：1即可.

【解答】解：由勾股定理得，

AB=^42+12=Vrr.

所以，AP=空立時AP：BP=2：1.

3

點P如圖所示.

【點評】本題考查了應用與設計作圖，考慮利用相似三角形對應邊成比例的性質

是解題的關鍵.

6.（2010?涼山州）已知：ZAOB,求作NAOB的平分線；如圖所示，填寫作法：

①以。為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于M,交OB于N.

②分別以M、N為圓心，大于U/IN的長為半徑畫弧，兩弧在NAOB的內部交

1-

于點C.

③畫射線OC,射線OC即為所求..

【分析】關鍵應描述出OM=ON,在/AOB的內部交于點C,角平分線是射線這

幾點.

【解答】解：①以。為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于M,交OB于N.

②分別以M、N為圓心，大于工MN的長為半徑畫弧，兩弧在NAOB的內部交于

點C.

③畫射線0C,射線0C即為所求.

【點評】根據(jù)所給圖形抓住關鍵點是解決本題的關鍵.

7.（2012?天津）“三等分任意角"是數(shù)學史上一個著名問題.已知一個角/MAN,

設NaJ/MAN.

（I）當NMAN=69。時，Na的大小為23（度）；

（II）如圖，將NMAN放置在每個小正方形的邊長為1cm的網格中，角的一邊

AM與水平方向的網格線平行，另一邊AN經過格點B,且AB=2.5cm.現(xiàn)要求只

能使用帶刻度的直尺，請你在圖中作出Na,并簡要說明做法（不要求證明）如

圖，讓直尺有刻度一邊過點A設該邊與過點B的豎直方向的網格線交于點C

與過點B水平方向的網格線交于點D,保持直尺有刻度的一邊過點A調整點C、

D的位置，使CD=5cm,畫射線AD,此時NMAD即為所求的/a..

【分析】（I）根據(jù)題意，用69。乘以上，計算即可得解;

3

（II）利用網格結構，作以點B為直角頂點的直角三角形，并且使斜邊所在的直

線過點A,且斜邊的長度為5,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可

得斜邊上的中線等于AB的長度，再結合三角形的外角性質可知，ZBAD=2ZBDC,

再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得NBDC=NMAD,從而得到NMADJ/MAN.

【解答】解：（I）1X69°=23°；

3

（H）如圖，讓直尺有刻度一邊過點A,設該邊與過點B的豎直方向的網格線交

于點C,與過點B水平方向的網格線交于點D,保持直尺有刻度的一邊過點A,

調整點C、D的位置，使CD=5cm,畫射線AD,此時NMAD即為所求的Na.

【點評】本題考查了應用與設計作圖，主要利用了直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半的性質，使作出的直角三角形斜邊上的中線恰好把三角形分成兩個等

腰三角形是解題的關鍵.

8.（2005?長沙）請在圖中作出AABC的角平分線BD（要求保留作圖痕跡）.

【分析】①以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角ABC兩邊于點M,N；

②分別以點M,N為圓心，以大于J_MN的長度為半徑畫弧，兩弧交于點E；

2

③作射線BE交AC與D.

則線段BD為4ABC的角平分線.

【解答】解:

【點評】本題主要考查基本作圖：作一個角的平分線.

9.（2004?江西）如圖，已知方格紙中的每個小方格都是相同的正方形.ZACB

畫在方格紙上，請在小方格的頂點上標出一個點P,使點P落在NACB的平分線

上.請參見解答.

【分析】CA,CB上分別取點A,B使CA=CB=5；以點A、B、C為頂點，作菱形

即可找到P點.

【解答】解：作法：

【點評】考查了格點中角平分線的畫法；注意盡量運用格點構造菱形.

10.（2014?思明區(qū)校級模擬）如圖所示是由7個完全相同的正方形拼成的圖形,

請你用一條直線將它分成面積相等的兩部分.（在原圖上作出）.

【分析】將圖形分為兩部分，分別算出兩部分的面積，使面積值相等.

【解答】解:如圖:

設小正方形的邊長為2,E為BC中點.

則SAABEJX1X4=2,所以梯形ADCE的面積為8-2=6；

2

則AE左側的面積總和為:4X3+2=14,AE右側的面積為4X2+6=14.

所以AE兩側的圖形面積相等.

【點評】此題重點在于分析出完整正方形多的一方分割的小圖形就少一點，這樣

才可以保證兩邊圖形面積相等.同時解題過程中可以設出具體的邊長然后驗證面

積相等.

11.（2013?三明）如圖，在^ABC中，ZC=90°,ZCAB=60°,按以下步驟作圖:

①分別以A,B為圓心，以大于LkB的長為半徑做弧，兩弧相交于點P和Q.

2

②作直線PQ交AB于點D,交BC于點E,連接AE.若CE=4,則AE=8.

【分析】根據(jù)垂直平分線的作法得出PQ是AB的垂直平分線，進而得出NEAB=

ZCAE=30°,即可得出AE的長.

【解答】解：由題意可得出：PQ是AB的垂直平分線，

...AE=BE,

?.,在aABC中，ZC=90°,ZCAB=60°,

.,.ZCBA=30°,

/.ZEAB=ZCAE=30°,

.,.CE=1V\E=4,

2

/.AE=8.

故答案為:8.

【點評】此題主要考查了垂直平分線的性質以及直角三角形中，30。所對直角邊

等于斜邊的一半，根據(jù)已知得出NEAB=NCAE=30。是解題關鍵.

三.解答題（共18小題）

12.（2008?臺州）CD經過NBCA頂點C的一條直線，CA=CB.E,F分別是直線

CD上兩點，且NBEC=NCFA=Na.

（1）若直線CD經過NBCA的內部，且E,F在射線CD上，請解決下面兩個問

題：

①如圖1,若NBCA=90。，Za=90°,

則BE=CF；EF=iBE-AFl（填"V"或"="）；

②如圖2,若0o<NBCAV180。，請?zhí)砑右粋€關于Na與NBCA關系的條件Na+

NBCA=180。，使①中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立.

（2）如圖3,若直線CD經過NBCA的外部，Za=ZBCA,請?zhí)岢鯡F,BE,AF

三條線段數(shù)量關系的合理猜想（不要求證明）.

【分析】由題意推出NCBE=NACF,再由AAS定理證△BCE^^CAF,繼而得答案.

【解答】解：（1）①?.?NBCA=90°,Za=90°,

/.ZBCE+ZCBE=90°,ZBCE+ZACF=90",

.,.ZCBE=ZACF,

VCA=CB,ZBEC=ZCFA；

/.△BCE^ACAF,

...BE=CF；EF=CF-CE|=|BE-AFI.

②所填的條件是：Za+ZBCA=180°.

證明：在ABCE中，ZCBE+ZBCE=180°-ZBEC=180°-Na.

VZBCA=180°-Za,

AZCBE+ZBCE=ZBCA.

又?:ZACF+ZBCE=ZBCA,

/.ZCBE=ZACF,

又?.?BC=CA,ZBEC=ZCFA,

.'.△BCE^ACAF(AAS)

，BE=CF,CE=AF,

又?.?EF=CF-CE,

EF=BE-AF.

(2)猜想:EF=BE+AF.

證明過程：

VZBEC=ZCFA=Za,Na=NBCA,ZBCA+ZBCE+ZACF=180°,ZCFA+ZCAF+Z

ACF=180°,

/.ZBCE=ZCAF,

XVBC=CA,

.'.△BCE^ACAF(AAS).

，BE=CF,EC=FA,

，EF=EC+CF=BE+AF.

【點評】本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關知識.注意對三

角形全等，相似的綜合應用.

13.(2004?呼和浩特)如圖，在△ABC中，BA=BC,ZB=120°,AB的垂直平分線

MN交AC于D,求證：AD=LDC.

2

【分析】連接BD,根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得

AD=BD,然后求出NA=NC=NABD=30。，再求出NDBC=90。，再根據(jù)直角三角形

30。所對的直角邊等于斜邊的一半即可得證.

【解答】解：如圖，連接DB.

「MN是AB的垂直平分線，

，AD=DB,

AZA=ZABD,

VBA=BC,ZB=120",

/.ZA=ZC=1(180°-120°)=30°,

2

AZABD=30",

XVZABC=120°,

AZDBC=120°-30°=90°,

.?.BDJDC,

2

.*.AD=lx)C.

【點評】本題考查了30。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，線段垂直平分

線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，作出輔助線構造出直角三角形是解題

的關鍵.

14.（2007?紹興）課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖1,己知

四邊形ABCD中，AC平分NDAB,ZDAB=60°,NB與ND互補，求證：

AB+AD=J8C.小敏反復探索，不得其解.她想，若將四邊形ABCD特殊化，看

如何解決該問題.

（1）特殊情況入手添加條件："NB=ND",如圖2,可證AB+AD=V3AC；（請你

完成此證明）

（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖3,過C

點分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F.（請你補全證明）

DD

【分析】（1）如果："NB=ND",根據(jù)NB與ND互補，那么NB=ND=90。，又因

為ZDAC=ZBAC=30°，因止匕我們可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=^L\C,

2

那么AD+AB=VSAC.

（2）按（1）的思路，作好輔助線后，我們只要證明三角形CFD和BCD全等即

可得到（1）的條件.根據(jù)AAS可證兩三角形全等，DF=BE.然后按照（1）的解

法進行計算即可.

【解答】證明：（1）Y/B與ND互補，ZB=ZD,

/.ZB=ZD=90",

ZCAD=ZCAB=LNDAB=30°,

2

?.,在△ADC中，cos30°=坦,

AC

在△ABC中，330。=里

AC

.,.AB=^SAC,AD3^-AC

22人

/.AB+AD=V3AC.

(2)由(1)知，AE+AF=V3AC,

丁AC為角平分線,CF1AD,CE_LAB,

/.CE=CF.

而NABC與ND互補，

ZABC與NCBE也互補，

/.ZD=ZCBE.

■.?在RtACDF與RtACBE中，

，ZCEB=ZCFD

<ZD=ZCBE

,CE=CF

，RtACDF^RtACBE.

，DF=BE.

，AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=V3AC.

【點評】本題考查了直角三角形全等的判定及性質；通過輔助線來構建全等三角

形是解題的常用方法，也是解決本題的關鍵.

15.（2010?三明）（1）-5的絕對值是5.

（2）如圖，ZAOB=50°,OC平分NAOB,則NAOC的度數(shù)=25。.

【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義：正數(shù)的絕對值是正數(shù)作答；

（2）根據(jù)角平分線的定義求解.

【解答】解：（1）-5的絕對值是5；

（2）VZAOB=50°,OC平分NAOB,

/.ZA0C=iZA0B=25o.

2

故答案為：5、25°.

【點評】此題主要考查絕對值的定義和角平分線的定義，比較簡單.

16.（2012?沙坪壩區(qū)校級二模）如圖，某大學有A、B、C三棟教學樓，A、B在

校內的主干道上，C在校內支路的末端.為了方便教學和管理，現(xiàn)計劃修建一棟

辦公樓P,使辦公室到公路AB、BC的距離相等，且到B、C兩棟教學樓的距離也

相等，請在圖中作出辦公樓P的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫已知、求作、作法

和結論，保留作圖痕跡，在所作圖中標出P的位置）.

c

【分析】作出NABC的平分線，再作出BC的垂直平分線，交點即是P點位置.

【解答】解：如圖所示：

【點評】此題主要考查了角平分線的作法以及垂直平分線的作法，利用角平分線

的性質以及垂直平分線的性質解題是解題關鍵.

17.(2012?咸寧)如圖1,矩形MNPQ中，點E,F,G,H分別在NP,PQ,QM,

MN上，若N1=N2=N3=N4,則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形.圖

2,圖3,圖4中，四邊形ABCD為矩形，且AB=4,BC=8.

理解與作圖：

(1)在圖2,圖3中，點E,F分別在BC,CD邊上，試利用正方形網格在圖上

作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH.

計算與猜想：

(2)求圖2,圖3中反射四邊形EFGH的周長，并猜想矩形ABCD的反射四邊形

的周長是否為定值？

啟發(fā)與證明：

(3)如圖4,為了證明上述猜想，小華同學嘗試延長GF交BC的延長線于M,

試利用小華同學給我們的啟發(fā)證明（2）中的猜想.

2

圖1

【分析】（1）根據(jù)網格結構，作出相等的角即可得到反射四邊形;

（2）圖2中，利用勾股定理求出EF=FG=GH=HE的長度，然后即可得到周長，圖

3中利用勾股定理求出EF=GH,FG=HE的長度，然后求出周長，從而得到四邊形

EFGH的周長是定值；

（3）證法一：延長GH交CB的延長線于點N,再利用"角邊角"證明RtAFCE和

RtAFCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得EF=MF,EC=MC,同理求出

NH=EH,NB=EB,從而得到MN=2BC,再證明GM=GN,過點G作GK1BC于K,

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質求出MK=J_MN=8,再利用勾股定理求出GM的

2

長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長；

證法二：利用"角邊角"證明RtAFCE和RtAFCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相

等可得EF=MF,EC=MC,再根據(jù)角的關系推出NM=NHEB,根據(jù)同位角相等，兩

直線平行可得HE〃GF,同理可證GH〃EF,所以四邊形EFGH是平行四邊形，過

點G作GK1BC于K,根據(jù)邊的關系推出MK=BC,再利用勾股定理列式求出GM

的長度，然后即可求出四邊形EFGH的周長.

【解答】解：（1）作圖如下:

圖2圖3

(2)在圖2中，EF=FG=GH=HE=J^7”=&5=2遙，

，四邊形EFGH的周長為4X2岳8旗，

在圖3中，EF=GH=62+產泥,FG=HE=^32+62=745=3^

，四邊形EFGH的周長為2X依+2X3倔2代+6倔8遙.

猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長為定值.

(3)證法一：延長GH交CB的延長線于點N.

VZ1=Z2,Z1=Z5,

/.Z2=Z5.

而FC=FC,

，RtAFCE^RtAFCM.

，EF=MF,EC=MC,

同理：NH=EH,NB=EB.

.,.MN=2BC=16.

VZM=90°-Z5=90°-Zl,NN=90°-N3,

AZM=ZN./.GM=GN.

過點G作GK_LBC于K,則KM=J-MN=8,

2

GM=VGK2+KM2=V42+82=4^

，四邊形EFGH的周長為2GM=8遍，

證法二：VZ1=Z2,Z1=Z5,

/.Z2=Z5.

而FC=FC,

，RtAFCE^RtAFCM.

，EF=MF,EC=MC.

VZM=900-Z5=90°-Zl,ZHEB=90°-N4,

而/1=N4,

，NM=NHEB.

，HE〃GF.

同理:GH〃EF.

四邊形EFGH是平行四邊形.

:.FG=HE,

而N1=N4,

RtAFDG^RtAHBE.

Z.DG=BE.

過點G作GK1BC于K,則KM=KC+CM=GD+CM=BE+EC=8.

二GM=7GK2+KM2=V42+82=4^

二四邊形EFGH的周長為2GM=8遙.

【點評】本題考查了應用與設計作圖，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應

用，矩形的性質，讀懂題意理解"反射四邊形EFGH"特征是解題的關鍵.

18.（2015?東城區(qū)二模）如果一條直線能夠將一個封閉圖形的周長和面積同時平

分，那么就把這條直線稱作這個封閉圖形的二分線.

4B

。一△工

囪平仃四邊形等腰二角形DC

（圖1）（圖2）

AJA

（圖3）備用圖1°A留用圖2L

（1）請在圖1的三個圖形中，分別作一條二分線.

（2）請你在圖2中用尺規(guī)作圖法作一條直線I,使得它既是矩形的二分線，又

是圓的二分線.（保留作圖痕跡，不寫畫法）.

（3）如圖3,在Rt^ABC中，NA=90。，AB=3,AC=4,是否存在過AB邊上的點

P的二分線？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）圓過圓心畫直線，平行四邊形過對角線畫直線，三角形做底邊的垂

直平分線；

（2）作出圓的圓心，再作出矩形的對角線，過矩形對角線交點和圓心畫直線即

可；

（3）利用中線的性質分析得出即可.

【解答】解:（1）（2）如圖所示：

0m

園帝j四躡等皆三角形D

（3）存在，

理由：設AP=x,PQ為二分線，則Q在BC邊上，CQ=2-x,BQ=x+3,BP=3-x,

過點Q做QELAB于E,

則QE=4(X+3),

5

**SAPBQ=3,

.,.▲(3-x).I[?+：＞')=3,

25

?x-娓

2

，AP=返.

2

【點評】此題主要考查了應用設計作圖以及中線的性質等知識，根據(jù)新定義分別

分析得出是解題關鍵.

19.(2009?陜西)問題探究:

(1)請在圖①的正方形ABCD內，畫出使NAPB=90。的一個點，并說明理由.

(2)請在圖②的正方形ABCD內(含邊)，畫出使NAPB=60。的所有的點P,并說

明理由.

問題解決：

(3)如圖③，現(xiàn)在一塊矩形鋼板ABCD,AB=4,BC=3.工人師傅想用它裁出兩

塊全等的、面積最大的4APB和aCPE鋼板，且NAPB=NCP'D=60度.請你在圖

③中畫出符合要求的點和P和P，，并求出4APB的面積(結果保留根號).

DI---------1CDI----------1CDI-------------1C

A?------------IBAI----------\BAI-------------\B

①②③

【分析】(1)因為正方形的對角線互相垂直，所以連接AC、BD交于點0,。即

為所求；

(2)①以AB為邊在正方形內作等邊aABP；②作4ABP的外接圓0,分別與AD、

BC交于點E、F.因為在圓。中，弦AB所對的海上的圓周角均為60。，所以命:

上的所有點均為所求的點P;

(3)因為NAPB=NCP'D=60。，Z^APB和△CP，D的面積最大,所以同(2)：

①連接AC；

②以AB為邊作等邊aABE；

③作等邊AABE的外接圓0,交AC于點P；

④在AC上截取AP'=CP.則點P、P為所求.

要求4APB的面積.可過點B作BGLAC,交AC于點G.

因為在Rt^ABC中，AB=4,BC=3,利用勾股定理可求AC=5,利用三角形的面積

可求BG=經迎12,又因在RtAABG中，AB=4,所以利用勾股定理可求出AG

AC_5_

的值，然后在Rt/XBPG中，因為NBPA=60。，所以PG=—既）叵^

tan60535

而AP=AG+PG,SAAPB=^P*BG,即可求出答案.

2

【解答】解：（1）如圖①，連接AC、BD交于點P,

貝U/APB=90度..?.點P為所求.

（2）如圖②，畫法如下：

①以AB為邊在正方形內作等邊aABP；

②作AABP的外接圓0,分別與AD、BC交于點E、F.

?.?在圓。中，弦AB所對的市讓的圓周角均為60。，

...諦上的所有點均為所求的點P.

（3）如圖③，畫法如下：

①連接AC；

②以AB為邊作等邊^(qū)ABE；

③作等邊4ABE的外接圓0,交AC于點P；

④在AC上截取AP'=CP.則點P、P為所求.

（評卷時，作圖準確，無畫法的不扣分）

過點B作BG_LAC,交AC于點G.

?.,在RQABC中,AB=4,BC=3.

AAC=VAB2+BC2=5,

BGng'BC上.

AC-5

在RtAABG中，AB=4,

AAG=^AB2_BG2_H.在RtZ\BPG中，ZBPA=60°,

5

.?.PG=BG等.x返*.

tan600535

AP=AG+PG=.+%.

...Sw山P?BGJx心.)x絲=96+24人

22155'525

①

【點評】本題需仔細分析題意，利用同弧所對的圓周角相等即可解決問題.

20.（2012?青島）問題提出：以n邊形的n個頂點和它內部的m個點，共（m+n）

個點作為頂點，可把原n邊形分割成多少個互不重疊的小三角形？

問題探究：為了解決上面的問題，我們將采取一般問題特殊性的策略，先從簡單

和具體的情形入手：

探究一：以4ABC的三個頂點和它內部的1個點P,共4個點為頂點，可把4ABC

分割成多少個互不重疊的小三角形？

如圖①，顯然，此時可把AABC分割成3個互不重疊的小三角形.

探究二：以aABC的三個頂點和它內部的2個點P、Q,共5個點為頂點，可把

△ABC分割成多少個互不重疊的小三角形？

在探究一的基礎上，我們可看作在圖①^ABC的內部，再添加1個點Q,那么點

Q的位置會有兩種情況：

一種情況，點Q在圖①分割成的某個小三角形內部.不妨假設點Q在△PAC內

部,如圖②；

另一種情況，點Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上.不妨假設點Q在

PA上，如圖③.

顯然，不管哪種情況，都可把AABC分割成5個不重疊的小三角形.

探究三：以aABC的三個頂點和它內部的3個點P、Q、R,共6個點為頂點可把

△ABC分割成7個互不重疊的小三角形,并在圖④中畫出一種分割示意圖.

探究四：以aABC的三個頂點和它內部的m個點，共（m+3）個頂點可把AABC

分割成（2m+l）個互不重疊的小三角形.

探究拓展：以四邊