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1、第六章 多自由度體系的微振動(dòng)教學(xué)目的和基本要求:正確理解線性振動(dòng)的概念和力學(xué)體系平衡的分類;能運(yùn)用拉格朗日方程初步分析兩個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng)問題;理解簡(jiǎn)正坐標(biāo)的概念并了解利用簡(jiǎn)正坐標(biāo)將復(fù)雜振動(dòng)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)正振動(dòng)的方法和意義。教學(xué)重點(diǎn):掌握運(yùn)用拉格朗日方程分析兩個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng)問題的方法和簡(jiǎn)正坐標(biāo)的物理意義。教學(xué)難點(diǎn):簡(jiǎn)正坐標(biāo)的物理意義。§6.1 振動(dòng)的分類和線形振動(dòng)的概念 振動(dòng)不僅在宏觀領(lǐng)域大量存在(如單擺、彈性振子和地震等),在微觀領(lǐng)域也是一種普遍現(xiàn)象(如晶體中晶格的振動(dòng)、光學(xué)中分子的振動(dòng)等)。振動(dòng)的種類根據(jù)所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)不同可有幾種分類方法,下面將簡(jiǎn)單介紹。一:振動(dòng)的分
2、類1.按能量的轉(zhuǎn)換來劃分. 自由振動(dòng)系統(tǒng)的能量E為常數(shù),即能量守恒。 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量E逐漸轉(zhuǎn)化為熱能Q。 強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)不斷從外界吸收能量并將其轉(zhuǎn)化為熱能Q。2.按體系的自由度劃分. 單自由度振動(dòng)體系的自由度S=1。 有限多自由度振動(dòng)和無限多自由度振動(dòng)體系的自由度為大于1的有限值或無限大值。3.按體系的動(dòng)力學(xué)微分方程的種類劃分. 線性振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程。非線性振動(dòng)體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為非線性方程。4.本章研究的主要問題. 以上我們按不同的標(biāo)準(zhǔn)將振動(dòng)進(jìn)行了歸類,實(shí)際上這幾種標(biāo)準(zhǔn)是相互交叉的,也就是說振動(dòng)還可以按照以上兩個(gè)或三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行進(jìn)一步的歸類。如線性振動(dòng)還可以進(jìn)一步分為單自由度
3、線性振動(dòng)、 有限多自由度線性振動(dòng)和無限多自由度線性振動(dòng)。 表6.1給出了同時(shí)按自由度和微分方程的種類對(duì)振動(dòng)進(jìn)行的分類。我們?cè)诒菊卵芯康闹饕獑栴}是有限多自由度的線性振動(dòng),所以有必要對(duì)線性和非線性振動(dòng)做進(jìn)一步討論。表6.1線性振動(dòng)非線性振動(dòng)單自由度有限多自由度無限自由度二:有限多自由度線性振動(dòng)1.定義:體系的自由度為有限多個(gè)且體系的運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程。例如:?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)微分方程為,方程為非線性的。但當(dāng)很小時(shí)有,方程變?yōu)榫€性方程。如果同時(shí)還存在有阻尼及強(qiáng)迫力,則方程可寫成,仍為線性方程。2.應(yīng)用:一般情況下當(dāng)力學(xué)體系在其平衡位置做微振動(dòng)時(shí),只要考慮它的最低級(jí)近似即可。這樣的振動(dòng)無論是自由振動(dòng)、阻尼
4、振動(dòng)還是強(qiáng)迫振動(dòng),也無論自由度的個(gè)數(shù)是多少,其振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程均可看成是線性的,也就是屬于線性振動(dòng)。三:平衡位置及其分類.1.平衡位置的定義及判定方法。(1)定義:如果力學(xué)體系在t=0時(shí)靜止地處于某一確定位置,當(dāng)時(shí)該體系仍能保持在此位置,那么該位置即為體系的平衡位置,我們說體系處于平衡態(tài)。(2)判定方法:在§2.4節(jié)中我們已指出保守力學(xué)體系處于平衡位置時(shí),其勢(shì)能應(yīng)取極值(見第二章4.2式),即,這可以做為保守體系平衡位置的判據(jù)。2.平衡位置的分類及其判定方法.(1)平衡位置的分類:平衡位置按其性質(zhì)不同可分為三類:穩(wěn)定平衡:力學(xué)體系受到擾動(dòng)偏離平衡位置后將回到平衡位置或者在平衡位置的
5、附近做微振動(dòng)。不穩(wěn)定平衡:力學(xué)體系受到擾動(dòng)后將逐漸遠(yuǎn)離平衡位置。隨遇平衡:力學(xué)體系受到擾動(dòng)后將在新的平衡位置下保持平衡。 這三種平衡位置可用圖6.1形象地表示出來,只不過圖6.1是針對(duì)單自由度而言,針對(duì)多自由度也有類似的例子。(2)平衡位置種類的判據(jù). 上述三種平衡位置均能滿足,但只有穩(wěn)定平衡才能引起體系的振動(dòng),因而我們有必要找到各種平衡位置的區(qū)別或判據(jù)。參考圖6.1可知,勢(shì)能取極小值時(shí)才是穩(wěn)定平衡。拉格朗日將托里拆利的這一思想推廣到任意保守體系,得到了關(guān)于體系平衡位置穩(wěn)定性的拉格朗日定理如下: 如果在某一位置保守體系的勢(shì)能有嚴(yán)格的極小值,那么該位置為體系的穩(wěn)定平衡位置。當(dāng)S=1時(shí),判據(jù)為:且
6、;當(dāng)S=2時(shí),判據(jù)為:且,。另外已證明的定理還有:如果力學(xué)體系的V取極大值,則體系處于不穩(wěn)定平衡(逆定理還未證實(shí));如果V=C,則體系處于隨遇平衡。四 本節(jié)重點(diǎn):掌握振動(dòng)的分類特別是線性振動(dòng)的概念,熟練掌握平衡位置的分類和平衡位置種類的判據(jù)。§6.2 兩個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng) 對(duì)于微振動(dòng)的力學(xué)問題,用分析力學(xué)來討論比較方便。設(shè)體系的自由度S=2,體系做自由微振動(dòng),廣義坐標(biāo)為。由拉格朗日方程可得:,接下來關(guān)鍵就是設(shè)法將動(dòng)能T、勢(shì)能V表示成關(guān)于的函數(shù),再將其代入上述方程中即可得到體系的線形運(yùn)動(dòng)微分方程。一:動(dòng)能T、勢(shì)能V的表達(dá)式.1. 動(dòng)能T、勢(shì)能V的一般表達(dá)式.由§2.7
7、的結(jié)論可知當(dāng)體系受穩(wěn)定約束時(shí),其中。由于體系在平衡位置附近的微振動(dòng)均可看成是受穩(wěn)定約束,所以有: (2.2)因勢(shì)能V僅與有關(guān),與無關(guān),因而可得。下面就是設(shè)法將動(dòng)能T、勢(shì)能V的一般表達(dá)式化簡(jiǎn)為所需的形式即可。2. 動(dòng)能T、勢(shì)能V表達(dá)式的化簡(jiǎn). 取平衡位置為廣義坐標(biāo)的零點(diǎn),將V、T在平衡位置展開成泰勒級(jí)數(shù)可得: (2.3) (2.4)(1)勢(shì)能V :對(duì)于(2.3)式,令且因體系在平衡位置時(shí)有,略去等的高次項(xiàng)后可得: (2.5)其中,(2.5)式即為所求的勢(shì)能V化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。(2)動(dòng)能T :對(duì)于(2.4)式,考慮到應(yīng)為同階小量,而(2.2)式中T已為二次式,所以只要取零次式即可,即有,這樣動(dòng)能可表
8、示為: (2.6) 其中均為常數(shù),(2.6)式即為所求的動(dòng)能T化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。二:體系的運(yùn)動(dòng)微分方程及其解1.運(yùn)動(dòng)微分方程:將(2.5)、(2.6)式代入(2.1)式化簡(jiǎn)后可得 (2.7)或者化簡(jiǎn)為 (2.8)該方程為二階常系數(shù)常微分方程組,可用高等數(shù)學(xué)中關(guān)于微分方程組的相應(yīng)理論求解。2.方程的解.(1)試探解及久期方程:對(duì)于(2.7)式在物理學(xué)中常用取試探解的方式求解,即令方程的試探解為 (2.9),兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)后可得,將以上兩式代回(2.7)式得: (2.10)或?qū)懗?(2.11) 要使(2.10)有解,首先應(yīng)使A1、A2有實(shí)數(shù)解,這要求的系數(shù)所構(gòu)成的行列式必須為零,即 (2.12) (
9、2.12)式被稱為久期方程或頻率方程,它是關(guān)于的一元二次方程。(2)久期方程的兩個(gè)正根:可以證明久期方程必有兩個(gè)正根,只有這樣求出的為實(shí)數(shù)才有實(shí)際的物理意義。 證明:因,當(dāng)不同時(shí)為零時(shí),應(yīng)有。由,令,同理可得,另外可將表達(dá)式改寫為,要使上式恒大于零,必須有 (2.13)同理因可以證明 (2.14) 接著可做出的函數(shù)圖象,其中,當(dāng)時(shí),;時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。由以上討論可知,函數(shù)在及之間有兩次穿過橫軸,也就是方程(2.12)必然有兩個(gè)正根。其實(shí),從(2.13)、(2.14)出發(fā),利用就可直接判定該方程有兩個(gè)正根。(3)運(yùn)動(dòng)微分方程的特解和通解 設(shè)方程的兩個(gè)根分別為,分別將代入(2.10)式中的任一
10、個(gè)可得:, (2.15)即有,。令為分別為試探解(2.9)式中的振幅,則運(yùn)動(dòng)微分方程的特解為:及。根據(jù)線性微分方程的理論,方程的通解應(yīng)是兩組特解的線性組合,即有 同理可得式中為常數(shù),由初始條件及決定。(4)久期方程有兩個(gè)相等正根時(shí)運(yùn)動(dòng)方程的解. 久期方程(2.12)還可能有兩相等的正根,例如當(dāng)時(shí),函數(shù), 的函數(shù)曲線與橫軸只有一個(gè)交點(diǎn)。方程的解為,也就是方程(2.10)中的系數(shù)均為零,取任何值都可以。此時(shí)久期方程的兩組特解為,;,。方程的通解仍是兩組特解的線性組合,即有 (2.18)四個(gè)常數(shù)由初始條件決定。三.例題(從略)四.本節(jié)重點(diǎn):2個(gè)自由度力學(xué)體系做微振動(dòng)時(shí)的通解和特解。§6.4
11、 簡(jiǎn)正坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng) 我們知道一個(gè)力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)的選取是任意的,如果廣義坐標(biāo)選取的合適,可以使微分方程的求解非常容易,具體可見下例。一:雙單擺的振動(dòng)研究. 在雙單擺中如果取,為廣義坐標(biāo),可得,。將其代入T、V的表達(dá)式(見178頁)化簡(jiǎn)后可得: ,將兩式代入拉格朗日方程可得: ,求解兩方程可得: (4.5)其中 ,將(4.6)代回(4.2)式可得 (4.7)這與上節(jié)直接選為廣義坐標(biāo)的所求結(jié)果完全一致,但求解的過程要簡(jiǎn)便的多。二:簡(jiǎn)正坐標(biāo)1.定義:在處理線性振動(dòng)時(shí)如果選取的廣義坐標(biāo)能使動(dòng)能T、勢(shì)能V同時(shí)表示成廣義速度和廣義坐標(biāo)的平方和形式,即,則該坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)。 將T、V的以上表達(dá)式代入拉格
12、朗日方程可以很方便的得到: 其解為 2.物理意義. 在上例雙單擺中如果令及,代回(4.7)式可得,任意,方程的通解為,其中,等效于、的單擺的運(yùn)動(dòng)。同理,如果令初始條件為及,代回(4.7)式可得,任意,方程的通解為,其等效于、的單擺的運(yùn)動(dòng)。從上例可以看出,簡(jiǎn)正坐標(biāo)的物理意義可總結(jié)如下:(1)當(dāng)選擇某個(gè)坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)使力學(xué)體系在振動(dòng)過程中該坐標(biāo)只以一個(gè)頻率振動(dòng),其余頻率為零或者說沒有被激發(fā)出來,那么用來反映這種振動(dòng)模式的坐標(biāo)即為簡(jiǎn)正坐標(biāo),相應(yīng)的振動(dòng)模式為簡(jiǎn)正振動(dòng)或本征振動(dòng)。或者說如果選取的廣義坐標(biāo)可以使體系的振動(dòng)只以某種與此坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的頻率振動(dòng),該坐標(biāo)為簡(jiǎn)正坐標(biāo)。(2)對(duì)于體系的任意振動(dòng)狀態(tài),都可以看成是各種簡(jiǎn)正振動(dòng)的線性疊加。(3)簡(jiǎn)正坐標(biāo)的合適選取不僅有利于方程的求解,而且還可以反映體系振動(dòng)的物理本性,因此在處理微振動(dòng)時(shí)應(yīng)盡量選取簡(jiǎn)正坐標(biāo)。三 簡(jiǎn)正坐標(biāo)的簡(jiǎn)單求法. 理論上可通過坐標(biāo)的變換消去T、V的二次項(xiàng),從而得到簡(jiǎn)正坐標(biāo);還有一種方法就是通過物理直覺直接判定出簡(jiǎn)正坐標(biāo),但是這兩種方法都不好掌握。下面我們來介紹當(dāng)體系的自由度S=2、3時(shí),可以采用的一種簡(jiǎn)單容易掌握的方法。1. 自由度S=2.設(shè)為任意兩個(gè)廣義坐標(biāo),為所求的簡(jiǎn)正坐標(biāo)。令,。將其代入T、V的表達(dá)式得令的系數(shù)為零可得:對(duì)勢(shì)能V應(yīng)用同樣的方法可
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