《雙曲線》典型例題12例(含標(biāo)準答案)

1、雙曲線典型例題雙曲線典型例題12例典型例題一例1討論表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征分析：由于，則的取值范圍為，分別進行討論解：（1）當(dāng)時，所給方程表示橢圓，此時，這些橢圓有共同的焦點（4，0），（4，0）（2）當(dāng)時，所給方程表示雙曲線，此時，這些雙曲線也有共同的焦點（4，0），）（4，0）（3），時，所給方程沒有軌跡說明：將具有共同焦點的一系列圓錐曲線，稱為同焦點圓錐曲線系，不妨取一些值，畫出其圖形，體會一下幾何圖形所帶給人們的美感典型例題二例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準方程（1）過點，且焦點在坐標(biāo)軸上（2），經(jīng)過點（5，2），焦點在軸上（3）與雙曲線有相同焦點，且經(jīng)過點解：（1）設(shè)雙曲

2、線方程為 、兩點在雙曲線上，解得所求雙曲線方程為說明：采取以上“巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的（2）焦點在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為：（其中）雙曲線經(jīng)過點（5，2），或（舍去）所求雙曲線方程是說明：以上簡單易行的方法給我們以明快、簡捷的感覺（3）設(shè)所求雙曲線方程為：雙曲線過點，或（舍）所求雙曲線方程為說明：（1）注意到了與雙曲線有公共焦點的雙曲線系方程為后，便有了以上巧妙的設(shè)法（2）尋找一種簡捷的方法，須有牢固的基礎(chǔ)和一定的變通能力，這也是在我們教學(xué)中應(yīng)該注重的一個重要方面典型例題三例3 已知雙曲線的右焦點分別為、，點在雙曲線上的左支上且，求的大小分析：一般地，求一個角的大小，通

3、常要解這個角所在的三角形解：點在雙曲線的左支上說明：（1）巧妙地將雙曲線的定義應(yīng)用于解題當(dāng)中，使問題得以簡單化（2）題目的“點在雙曲線的左支上”這個條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為“點在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請讀者試探索典型例題四例4 已知、是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足，求的面積分析：利用雙曲線的定義及中的勾股定理可求的面積解：為雙曲線上的一個點且、為焦點,在中，說明：雙曲線定義的應(yīng)用在解題中起了關(guān)鍵性的作用典型例題五例5已知兩點、，求與它們的距離差的絕對值是6的點的軌跡分析：問題的條件符合雙曲線的定義，可利用雙曲線定義直接求出動點軌跡解：根據(jù)雙曲線定義，可知所求

4、點的軌跡是雙曲線，所求方程為動點的軌跡方程，且軌跡是雙曲線說明：（1）若清楚了軌跡類型，則用定義直接求出其軌跡方程可避免用坐標(biāo)法所帶來的繁瑣運算（2）如遇到動點到兩個定點距離之差的問題，一般可采用定義去解典型例題六例6在中，且，求點的軌跡分析：要求點的軌跡，需借助其軌跡方程，這就要涉及建立坐標(biāo)系問題，如何建系呢？解：以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由及正弦定理可得：點在以、為焦點的雙曲線右支上設(shè)雙曲線方程為：，所求雙曲線方程為點的軌跡是雙曲線的一支上挖去了頂點的部分典型例題七例7求下列動圓圓心的軌跡方程：（1）與內(nèi)切，且過點（2）與和都外切（3）與外切，且與內(nèi)切分析

5、：這是圓與圓相切的問題，解題時要抓住關(guān)鍵點，即圓心與切點和關(guān)鍵線段，即半徑與圓心距離如果相切的、的半徑為、且，則當(dāng)它們外切時，；當(dāng)它們內(nèi)切時，解題中要注意靈活運用雙曲線的定義求出軌跡方程解：設(shè)動圓的半徑為（1）與內(nèi)切，點在外，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，且有：，雙曲線方程為（2）與、都外切，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的上支，且有：，所求的雙曲線的方程為：（3）與外切，且與內(nèi)切，點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的右支，且有：，所求雙曲線方程為：說明：（1）“定義法”求動點軌跡是解析幾何中解決點軌跡問題常用而重要的方法（2）巧妙地應(yīng)用“定義法”可使運算量大大減小，提高了解題的速度與質(zhì)量（3）

6、通過以上題目的分析，我們體會到了，靈活準確地選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題是我們無休止的追求目標(biāo)典型例題八例8在周長為48的直角三角形中，求以、為焦點，且過點的雙曲線方程分析：首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系由于、為焦點，所以如圖建立直角坐標(biāo)系，可知雙曲線方程為標(biāo)準方程由雙曲線定義可知，所以利用條件確定的邊長是關(guān)鍵解：的周長為48，且，設(shè)，則由，得，以所在直線為軸，以的中點為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)所求雙曲線方程為由，得，由，得，由，得所求雙曲線方程為說明：坐標(biāo)系的選取不同，則又曲線的方程不同，但雙曲線的形狀不會變解題中，注意合理選取坐標(biāo)系，這樣能使求曲線的方程更簡捷典型例題九例9是雙曲線上一點，、是雙曲線的兩個

7、焦點，且，求的值分析：利用雙曲線的定義求解解：在雙曲線中，故由是雙曲線上一點，得或又，得說明：本題容易忽視這一條件，而得出錯誤的結(jié)論或典型例題十例10若橢圓和雙曲線有相同的焦點和，而是這兩條曲線的一個交點，則的值是() ABCD分析：橢圓和雙曲線有共同焦點，在橢圓上又在雙曲線上，可根據(jù)定義得到和的關(guān)系式，再變形得結(jié)果解：因為在橢圓上，所以又在雙曲線上，所以兩式平方相減，得，故選(A)說明：(1)本題的方法是根據(jù)定義找與的關(guān)系(2)注意方程的形式，是，是典型例題十一例11 若一個動點到兩個定點、的距離之差的絕對值為定值，討論點的軌跡分析：本題的關(guān)鍵在于討論因，討論的依據(jù)是以0和2為分界點，應(yīng)討論以下四種情況：，解：(1)當(dāng)時，軌跡是線段的垂直平分線，即軸，方程為(2)當(dāng)時，軌跡是以、為焦點的雙曲線，其方程為(3)當(dāng)時，軌跡是兩條射線或(4)當(dāng)時無軌跡說明：(1)本題容易出現(xiàn)的失誤是對參變量的取值范圍劃分不準確，而造成討論不全面(2)軌跡和軌跡方程是不同的，軌跡是圖形，因此應(yīng)指出所求軌跡是何種曲線典型例題十二例12如圖，圓與軸的兩個交點分別為、，以、為焦點，坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線與圓在軸左方的交點分別為、，當(dāng)梯形的周長最大時，求此雙曲線的方程分析：求雙曲線的方程，即需確定、的值，而，又，所以只需確定其中的一個量由雙曲線定義，又為直