專題跟蹤檢測直線與圓理

1、專題跟蹤檢測(十二)直線與圓一、全練保分考法一一保大分1.過點(diǎn)(3,1)作圓(x 1)2+ y2= r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A. 2x+ y 5 = 0B. 2x+ y 7= 0C. x 2y 5 = 0D. x 2y 7= 0解析：選B 過點(diǎn)(3,1)作圓(x 1)2+ y2= r2的切線有且只有一條，點(diǎn)(3,1)在圓(x 1)2+ y2= r2上，1 0 1圓心與切點(diǎn)連線的斜率k =尸=,切線的斜率為一2,則圓的切線方程為 y 1 = 2( x 3),即 2x+ y 7 = 0.2圓心在直線x+ 2y = 0上的圓C與y軸的負(fù)半軸相切，圓C截x軸所得的弦長為 2 6,

2、則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. (x 2 2)2 + (y +2)2= 8B. (x , 2)2+ (y+ 2 2)2= 8C. (x 2)2+ (y+ 2) 2= 8D. (x . 2)2+ (y+ 2) 2= 8解析：選A法一：設(shè)圓心為 r， 2 (r>0)，半徑為r.由勾股定理(6)2+ | 2= r2, 解得 r = 2 2，圓心為(222)，圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x 2 2)2+ (y+ 2) 2= 8.法二：四個(gè)圓的圓心分別為(2 . 2, 2) , ( 2 , 2 2) , (2 , 2) , ( 2, 2),將它們逐一代入 x+ 2y= 0,只有A選項(xiàng)滿足.3. 已知圓M x

3、2+ y2 2ay= 0( a>0)截直線x+ y = 0所得線段的長度是 2 2.則圓M與圓N： (x 1)2 + (y 1)2 = 1 的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離解析：選B由題意知圓M的圓心為(0 , a)，半徑R= a,因?yàn)閳AM截直線x + y= 0所得 線段的長度為2寸2,所以圓心M到直線x+ y= 0的距離d=寸a2 2( a>0)，解得a= 2,即圓M的圓心為(0,2)，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r = 1,所以|MN = ,2,則R-r< . 2 <R+ r，所以兩圓的位置關(guān)系為相交.4. 已知直線I : x ,3y + 6=

4、0與圓x2 + y2 = 12交于A, B兩點(diǎn)，過A, B分別作I的垂 線與x軸交于C, D兩點(diǎn).貝U |CD =()A. 2 ：3C. 6B. 4 ：3D. 4解析：選D 法一：因?yàn)閳A心(0,0)到直線x ：3y + 6= 0的距離d3,所以 |AB = 2 '12 32 = 2 ,：3,過 C作 CEL BD于 E,因?yàn)橹彼詜CD =ICEcos 30丨ABcos 302線I的傾斜角為30°,法二：由x /3y+ 6 = 0與x2+ y2= 12聯(lián)立解得 A 3，,巳0,23),二AC的方程為 y ,；3= ：3(x + 3) , BD的方程為 y 2 .'3=

5、 .'3x,可得 C( 2,0) , Q2,0),所以 | CD =4.5.已知 A(0,3,b| , 32tP為圓C: x + y2 = 2x上的任意一點(diǎn)，貝憶ABP面積的最大值為()A.3.3 + 32B.C. 2D.2 3+ 2-"3解析：選A圓C的方程可化為(x 1)2+ y2= 1,因?yàn)?A(0, 3 '3) , B|,攀，所以 IAB =、 I 0 1+ 3|3 3 2= 3 ,直線 AB 的方程為，；3x+ y= 3 ,'3 ,所以圓心(1,0)至煩線AB的距離d= 應(yīng)1 =V3.又圓C的半徑為1,所以圓C上1+ 31的點(diǎn)到直線 AB的最大距離為

6、 ：3 + 1,故厶ABP面積的最大值為S.ax= |X('3 + 1) X 3= 3.3+ 326.已知等邊三角形 OAB勺三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線 y2= 2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓 C 是 OAB勺外接圓(點(diǎn)C為圓心)，則圓C的方程為()IIIIA. (x 4) + y = 16B. (x+ 4) + y = 16C. x1+ (y 4)2= 16D. x1 + (y+ 4)2= 16III解析：選A法一：設(shè)A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 |, y1 , |, yi ,由題設(shè)知.；1 1 + y12y2 222 + y2=22y1y2 222 2 +y1 y2,B(6,2 由題設(shè)知x2

7、+ y1 = x2C在x軸上.解得 y1 = y2= 12,所以 A(6,2 ,B(6 , - 2)3)或 A(6 , - 2 .,一 2設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(r, 0)( r >0)，則r = 3X 6= 4,所以圓C的方程為(x 4)2+ y2= 16.法二：設(shè) A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X1, yj ,(X2, y2)(X1>0, X2>0),+ y2.又 y1= 2x1, y2 = 2x2, 故 x2 + 2x1 = x2 + 2X2,即(X1 X2) ( X1 + X2 + 2) = 0,由X1>0, X2>0,可知X1 = X2，故A, B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱

8、，所以圓心設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(r, 0)( r >0)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，fr ,于是2= 2X扌，解得r=4，所以圓C的方程為(X 4)2+ y2= 16.7.設(shè)M N分別為圓O: X2 + y2 12y+ 34= 0和圓Q： (x 2)2+ y2= 4上的動(dòng)點(diǎn)，貝U M N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是 .解析：圓O的方程可化為x2 + (y 6)2= 2,其圓心為 0(0,6)，半徑1=2.圓Q的圓 心 Q(2,0)，半徑2= 2,則 I0QI = ''36 + 4 = 2 10,則 I MNmax= 2 10 + 2+ ：2 , I MNmin= 2 10 2 .'

9、2，故M N兩點(diǎn)間的距離的取值范圍是 2 10 2 :'2, 2 10 + 2+ /2.答案：210 2 ：2, 2 10+ 2+ ；'2. . 2 2&過點(diǎn)P( 3,1) ,Qa,0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x + y = 1相切，則a的值為.解析：點(diǎn)P( 3,1)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為 P' ( 3, 1),所以直線P' Q的方程為x(a+ 3)y a= 0,I - a|由題意得直線 P Q與圓x2 + y2= 1相切，所以一-22= 1,+ a+ 35解得a= 3.3答案：-59. 已知圓C過點(diǎn)(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線I : y = x

10、1被圓C所截得的 弦長為2邁，則過圓心且與直線I垂直的直線的方程為 .解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為 x + y + m= 0，圓心坐標(biāo)為(a, 0)( a>0),則由題意知|a 1| 22.2- + 2 =(a- 1)，解得a= 3或一1(舍去)，故圓心坐標(biāo)為(3,0),因?yàn)閳A心(3,0)在所求的直線上,所以 3+ 0+ mi= 0,解得n=- 3,故所求的直線方程為 x + y- 3= 0.答案：x + y- 3= 010. (2018 全國卷n )設(shè)拋物線C： y11. (2018 成都模擬)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線 r： y = x mx+ 2nm mE R)與x= 4

11、x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k( k>0)的直線I 與C交于A, B兩點(diǎn)，| AB = 8.(1) 求I的方程；(2) 求過點(diǎn)A, B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解：(1)由題意得F(1,0) , I的方程為y= k(x 1)( k>0).設(shè) A(x1, y" , B(x2, y2),=(x1 + 1) + (x2+ 1)=4k2+ 4由題設(shè)知4 k2 + 4y= k x 1 由2y = 4x'得 k2x2 (2 k2+ 4)x+ k2= 0.2A = 16k + 16>0 ,場丄2k2 + 4故 X1+ X22 .k所以 | AB = | AF + | BF

12、|解得k= 1或k= 1(舍去).因此I的方程為y= x 1. 由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y 2= (x 3),即 y = x+ 5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(xo, yo),yo= X0+ 5 ,則2yx° +1 2x°+ 1=+ 16.2X0= 3 ,X0= 11 ,解得或y0= 2y0= 6.2222因此所求圓的方程為 (x 3) + (y 2) = 16 或(x 11) + (y+ 6) = 144.軸交于不同的兩點(diǎn) A B,曲線r與y軸交于點(diǎn)C.(1) 是否存在以AB為直徑的圓過點(diǎn) C?若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理

13、由.(2) 求證：過A B, C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn).解：由曲線 r： y= x2- m灶 2n(R),令 y = 0,得 x - m灶 2m= 0.設(shè) A(xi,0) , 0X2,0),則可得A = m 8n>0,解得 m>8 或 rK0, xi+ X2= m XiX2= 2m令 x = 0,得 y = 2m 即 C(0,2 m .(1)若存在以AB為直徑的圓過點(diǎn) C,則刁C "BC = 0 ,得 xiX2 + 4nn= 0 ,即 2m 4m= 0 ,1所以m= 0(舍去)或m= 21所以m=,此時(shí)q0, 1), AB的中點(diǎn)M 4 , 0即圓心,半徑r=|CM罟1 2217故

14、所求圓的方程為x + y = -.416(2)證明：設(shè)過A, B兩點(diǎn)的圓的方程為2 2x + y mx Ey+ 2m= 0 ,將點(diǎn)C(0,2 m代入可得E= 1 2m所以過A, B, C三點(diǎn)的圓的方程為2 2x + y mx- (1 + 2m) y + 2m= 0 ,22整理得 x + y y mx + 2y 2) = 0.x = 0 , 可得y = 1422只x + y y = 0 , 令x + 2y 2 = 0 ,故過A, B, C三點(diǎn)的圓過定點(diǎn)(0,1)和| , 5 .12. (2019屆高三廣州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓C與y軸相切，且過點(diǎn) M1 , ：'3） ,

15、 N1 , - ：3）.求圓C的方程；（2）已知直線I與圓C交于A, B兩點(diǎn)，且直線0A與直線0B的斜率之積為2.求證：直 線I恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).解：因?yàn)閳AC過點(diǎn)M1 ,:,N1 , ,.'3）,所以圓心C在線段MN的垂直平分線上，即在 x軸上, 故設(shè)圓心為 Qa,O），易知a>0,又圓C與y軸相切，所以圓 C的半徑r = a, 所以圓C的方程為（x a）2+ y2= a2.因?yàn)辄c(diǎn)M（1 ,.在圓C上,所以（1 a）2 + （ ；'3）2 = a2，解得 a= 2. 所以圓C的方程為（x 2）2+ y2= 4. 證明：記直線 0A的斜率為k（ k豐0），則其方程

16、為 y = kx. 2 2x 2+ y = 4,22聯(lián)立消去y，得（k+ 1）x 4x= 0,y = kx” f4解得 xi = 0, X2= .k + 144k所以 A k2+ 1，k2+ 1 .由 k koB= 2,得 koB=2k，直線OB的方程為y = 2x,k一 2在點(diǎn)A的坐標(biāo)中用一匚代換k，得k24k 8kB k2+ 4，k2+ 4 .當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí),42k + 14k2k2+ 4，得k2= 2,此時(shí)直線4I的方程為x= 3.當(dāng)直線I的斜率存在時(shí),44k2k2+1 專 k2+ 4，即k2工2,則直線I的斜率為4k 8kk2+ 1 k2+ 444k2k2+ 1 k2+ 42

17、2 2故直線I的方程為y 芹=3k42 k2 x k2 +1，4kk + 4 + 8kk + 13k k + 23k 4k + 4 4kk + 14 k 2 k .3kx 34所以直線i過定點(diǎn)3, 0 .一 4綜上，直線I恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為3， 0 .、強(qiáng)化壓軸考法拉開分. . 2 2 . .1. 已知圓C: x + y = 1,點(diǎn)P(xo, yo)在直線I : 3x+ 2y 4= 0上，若在圓 C上總存在> > >兩個(gè)不同的點(diǎn) A, B,使0A+ OB= OP,貝U xo的取值范圍是（）24A °,石24B.后，o1313c. o, 24D. °,乜解

18、析：選 c 如圖， "0A +"OB="OP, OP與 AB互相垂直平分，圓心到直線AB的距離22,金- Xo + yo<4. 又 3xo+ 2yo 4= o,3二 yo= 2> > 32. 已知直線y = x+ m和圓x + y = 1交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若AO AB = ?,則實(shí)數(shù)m的值為（）A. 土 1D.2xo,232B.C.代入得Xo+ 2 gXo <4,解得 o<xo<23.實(shí)數(shù)xo的取值范圍是24°, 了解析：選設(shè) A( Xi, yi),氏 X2, y2)，貝U A0= ( xi, yi),

19、AB = (X2 xi, y2 yi),y = x+ m由 X2+ y2= i2 2 2 2 2消去 y,整理得，2x + 2m)a m 1 = 0，故 A = 4m 8(m 1) = 8-4m>0,/2<n<,m i2xi + X2 = m, xiX2 = 2, yiy2 = (xi+ m)( X2+ m) = xiX2 + nxi + X2) + m，又> > 2 2AO AB = xiX2 yiy2 + xi+ yi= , 故 xiX2 + yiy2=乙，故 2xiX2+ n(xi + X2) +m=2,即m+m=2,得m=±3. (20i8 荊州

20、模擬)過點(diǎn)A(i ,的直線I將圓C: (X 2)2+ y2= 4分成兩段弧，當(dāng) 劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線I的斜率為.解析：易知點(diǎn)A(i , ；'2)在圓(X 2)2+ y2= 4的內(nèi)部，圓心C的坐標(biāo)為(2,0)，要使劣弧 所對(duì)的圓心角最小，只能是直線I丄CA所以ki = = =.答案：-24已知圓 O X2 + y2= i與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為 A, P為直線3x+ 4y a= 0上一點(diǎn)，過P作圓0的切線，切點(diǎn)為 若I PA = 2| PT，則實(shí)數(shù)a的最大值為 .解析：由題意知 A( 1,0)，設(shè) P(x,y)，由 |PA = 2|PT| 可得(x+ 1)2 + y2= 4(x2+

21、y2 1),1 2 2 16 , 1 2 2 16 1 化簡得x 3 + y=9,由3x + 4y a= 0與圓x 3 + y =6有公共點(diǎn)P,所以圓心 3, 0|1 a|4172323到直線3x+ 4y a= 0的距離d=5三3，解得"3仝a< "3,所以實(shí)數(shù)a的最大值為.答案:2335.已知圓O x2 + y2= 1,圓M (x a)2+ (y a+ 4) 2= 1.若圓M上存在點(diǎn)P,過點(diǎn)P作 圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A, B使得/ APB= 60°,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .解析：圓O的半徑為1,圓M上存在點(diǎn)P,過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A,B,使得/ APB= 60°，則/ AP(= 30°.在 Rt PAO中，|PO = 2,又圓M的半徑為1,圓心坐標(biāo)為 Ma, a 4),I MO 1<| PO<1 MO + 1,/ | M(p = :a2+ a 42, >/a2 + a 42 1< 2<a 42 +1,解得2-aw 2+實(shí)數(shù)a的取值范圍為 2-2, 2+學(xué).答案：2-上2+上2 26. (2018 廣州高中綜