人教A版 必修四 第二單元 平面向量平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用學(xué)案（無答案）

1、知識像燭光，能照亮一個人，也能照亮無數(shù)的人。-培根平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用一、目標(biāo)與策略 明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學(xué)習(xí)目標(biāo)：l 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；l 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；l 掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運算；l 能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；l 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；l 會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題重點難點：l 重點：數(shù)量積的運算，以及運用數(shù)量積求模與夾角l 難點：用向量的方法解決幾何、物理等問題學(xué)習(xí)策略：l

2、學(xué)習(xí)本專題內(nèi)容，需要復(fù)習(xí)平面向量基本定理、平面向量的坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運算；學(xué)習(xí)中注意向量的數(shù)量積、向量的數(shù)乘和實數(shù)的乘法這三種運算的區(qū)別與聯(lián)系；平面向量的應(yīng)用是向量的核心內(nèi)容，向量的平行和垂直是向量間最基本最重要的位置關(guān)系，在平面幾何、解析幾何、物理等方面有著重要的應(yīng)用特別對不同的解題方法進(jìn)行比較，從中體會向量方法的優(yōu)越性所在二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”。科學(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽講更有目的性和針對性。我們要在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，認(rèn)真聽講，做到眼睛看、耳朵聽、心里想、手上記。知識回顧復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)新知識之前，看看你的知識貯備過關(guān)了嗎？（一）平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個 的向量，那

3、么對于這個平面內(nèi)任一向量， 一對 ，使 ，稱 為的線性組合 （1）其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的 ；（2）平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的 ，并且這種分解是 的這說明如果且，那么 （3）當(dāng)基底是兩個互相 的單位向量時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)（二）向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系當(dāng)向量起點在原點時，定義向量坐標(biāo)為 坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=( ， )（三）平面向量的坐標(biāo)運算運 算坐標(biāo)語言加法與減法記=(x1，y1)，=(x2，y2)=( ， )，=( ， )實數(shù)與向量的乘積記=(x，y)，則=( ， )（四）平面向量平行（共

4、線）的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則(x1，y1)=(x2，y2)，即，或 =0知識要點預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)認(rèn)真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識要點內(nèi)容補充完整，帶著自己預(yù)習(xí)的疑惑認(rèn)真聽課學(xué)習(xí)。若有其它補充可填在右欄空白處。知識點一： 平面向量的數(shù)量積（一）平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量 叫與的數(shù)量積，記作，即有= 并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為 （二）一向量在另一向量方向上的投影： 叫做向量在方向上的投影要點詮釋：（1）兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別兩個向量的數(shù)量積是一個 ，不是向量，符號由 的符號所決定兩個向量的數(shù)量積稱為 積，寫成；今后要學(xué)到兩個向量的外積，

5、而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替在實數(shù)中，若，且，則；但是在數(shù)量積中，若，且，不能推出因為其中有可能為0（2）投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時投影為 值；當(dāng)為鈍角時投影為 值；當(dāng)為直角時投影為 ；當(dāng)=0°時投影為 ；當(dāng)=180°時投影為 知識點二：向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)與為兩個非零向量，是與同向的單位向量（1）= = （2） （3）當(dāng)與同向時， ；當(dāng)與反向時， 特別的 或 （4）（5）知識點三：向量數(shù)量積的運算律（一）交換律：（二）數(shù)乘結(jié)合律：（三）分配律： 要點詮釋：（1）已知實

6、數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c但是；（2）在實數(shù)中，有(a×b)c=a(b×c)，但是顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線知識點四：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（一）已知兩個非零向量，（二）設(shè)，則或（三）如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點間的距離公式）經(jīng)典例題-自主學(xué)習(xí)認(rèn)真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反三。若有其它補充可填在右欄空白處。類型一：數(shù)量積的運算例1已知下列命題：； ；其中正確命題序號是 思路點撥：掌握平面向量數(shù)量積的含義，平面數(shù)量積的運算律不同于實數(shù)的運算

7、律解析：例2已知，若（1）； （2） ；（3） 的夾角為30°，分別求解析：舉一反三：【變式1】已知，求解析：總結(jié)升華：類型二：模的問題例3已知向量滿足，且的夾角為60°，求解析： 總結(jié)升華：舉一反三：【變式1】已知的夾角為°， ，則 等于（ ）A5 B4 C3 D1解析：總結(jié)升華：類型三：夾角問題例4（1）已知，求向量與向量的夾角（2）已知，夾角為，則 解析：總結(jié)升華：例5已知是非零向量，若與垂直，與垂直，試求的夾角解析：舉一反三：【變式1】已知是兩個非零向量，同時滿足，求的夾角解析：總結(jié)升華：【變式2】求等腰直角三角形兩直角邊上的中線所成的鈍角解析：類型四：綜

8、合應(yīng)用問題例6已知向量（1）若 ；（2）求的最大值 解析：例7設(shè)AC是平行四邊形ABCD的長對角線，從C引AB、AD的垂線CE、CF，垂足分別為E、F，如圖所示，求證：思路點撥：由向量的數(shù)量積的定義可知：兩向量、的數(shù)量積（其中是、的夾角），它可以看成與在的方向上的投影之積，因此要證明等式可轉(zhuǎn)化成：，而對該等式我們采用向量方法不難得證解析： 舉一反三：【變式1】如圖所示，四邊形ADCB是正方形，P是對角線DB上一點，PFCE是矩形，證明：思路點撥：如果我們能用坐標(biāo)表示與，則要證明結(jié)論，只要用兩向量垂直的充要條件進(jìn)行驗證即可因此只要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得到點A、B、E、F的坐標(biāo)后，就可進(jìn)行論證解析： 三、總結(jié)與測評要想學(xué)習(xí)成績好，總結(jié)測評少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們鞏固學(xué)習(xí)效果，彌補知識缺漏，提高學(xué)習(xí)能力?？偨Y(jié)規(guī)律和方法強化所學(xué)認(rèn)真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧。（一）向量在幾何中的應(yīng)用：（1）證明線段平