2011屆高中數(shù)學(xué)專題：立體幾何專題(教師版)(共18頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 立體幾何專題【命題趨向】高考對(duì)空間想象能力的考查集中體現(xiàn)在立體幾何試題上，著重考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判斷及空間角等幾何量的計(jì)算既有以選擇題、填空題形式出現(xiàn)的試題，也有以解答題形式出現(xiàn)的試題選擇題、填空題大多考查概念辨析、位置關(guān)系探究、空間幾何量的簡(jiǎn)單計(jì)算求解，考查畫圖、識(shí)圖、用圖的能力；解答題一般以簡(jiǎn)單幾何體為載體，考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及空間幾何量的求解問題，綜合考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力試題在突出對(duì)空間想象能力考查的同時(shí)，關(guān)注對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，關(guān)注對(duì)條件或結(jié)論不完備情形下的開放性問題的探究【考點(diǎn)透析】

2、立體幾何主要考點(diǎn)是柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖，表面積體積的計(jì)算，空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系判斷與證明，（理科）空間向量在平行、垂直關(guān)系證明中的應(yīng)用，空間向量在計(jì)算空間角中的應(yīng)用等【例題解析】題型1 空間幾何體的三視圖以及面積和體積計(jì)算例1（2010高考海南寧夏卷）某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為和的線段，則的最大值為A B C 4D 分析：想像投影方式，將問題歸結(jié)到一個(gè)具體的空間幾何體中解決解析：結(jié)合長(zhǎng)方體的對(duì)角線在三個(gè)面的投影來理解計(jì)算，如圖設(shè)長(zhǎng)方體的高寬高分別為，由題意得

3、，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)點(diǎn)評(píng)：本題是課標(biāo)高考中考查三視圖的試題中難度最大的一個(gè)，我們通過移動(dòng)三個(gè)試圖把問題歸結(jié)為長(zhǎng)方體的一條體對(duì)角線在三個(gè)面上的射影，使問題獲得了圓滿的解決例2 （2010高考山東卷）右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是AB CD分析：想像、還原這個(gè)空間幾何體的構(gòu)成，利用有關(guān)的計(jì)算公式解答解析：這個(gè)空間幾何體是由球和圓柱組成的，圓柱的底面半徑是，母線長(zhǎng)是，球的半徑是，故其表面積是，答案D點(diǎn)評(píng)：由三視圖還原空間幾何體的真實(shí)形狀時(shí)要注意“高平齊、寬相等、長(zhǎng)對(duì)正”的規(guī)則例3（江蘇省蘇州市2010屆高三教學(xué)調(diào)研測(cè)試）已知一個(gè)正三棱錐的主視圖如圖所示，若， ，則

4、此正三棱錐的全面積為_分析：正三棱錐是頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱錐，根據(jù)這個(gè)主試圖知道，主試圖的投影方向是面對(duì)著這個(gè)正三棱錐的一條側(cè)棱，并且和底面三角形的一條邊垂直，這樣就知道了這個(gè)三棱錐的各個(gè)棱長(zhǎng)解析：這個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是、高是，故底面正三角形的中心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離是，故這個(gè)正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是，由此知道這個(gè)正三棱錐的側(cè)面也是邊長(zhǎng)為的正三角形，故其全面積是，答案點(diǎn)評(píng)：由空間幾何體的一個(gè)視圖再加上其他條件下給出的問題，對(duì)給出的這“一個(gè)視圖”要仔細(xì)辨別投影方向，這是三視圖問題的核心題型2 空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷例4（江蘇蘇州市2009屆高三教學(xué)調(diào)研測(cè)試7）已知是兩條不同

5、的直線，為兩個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：若，則； 若，則；若，則； 若，則其中正確的命題是（填上所有正確命題的序號(hào)）_分析：根據(jù)空間線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐個(gè)作出判斷解析：我們借助于長(zhǎng)方體模型解決中過直線作平面，可以得到平面所成的二面角為直二面角，如圖（1），故正確；的反例如圖（2）；的反例如圖（3）；中由可得，過作平面可得與交線平行，由于，故答案點(diǎn)評(píng)：新課標(biāo)的教材對(duì)立體幾何處理的基本出發(fā)點(diǎn)之一就是使用長(zhǎng)方體模型，本題就是通過這個(gè)模型中提供的空間線面位置關(guān)系解決的，在解答立體幾何的選擇題、填空題時(shí)合理地使用這個(gè)模型是很有幫助的例5（浙江省2010年高考省教研室第一次抽樣測(cè)試?yán)砜频?

6、題）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是A若，則 B若則C若，則 D若則分析：借助模型、根據(jù)線面位置關(guān)系的有關(guān)定理逐個(gè)進(jìn)行分析判斷解析：對(duì)于，結(jié)合則可推得答案C點(diǎn)評(píng)：從上面幾個(gè)例子可以看出，這類空間線面位置關(guān)系的判斷類試題雖然形式上各異，但本質(zhì)上都是以空間想象、空間線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)定理為目標(biāo)設(shè)計(jì)的，主要是考查考生的空間想象能力和對(duì)線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)定理掌握的程度題型3 空間平行與垂直關(guān)系的證明、空間幾何體的有關(guān)計(jì)算（文科解答題的主要題型）例6(2010江蘇泰州期末16)如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)（1）求證：/平面；（2）求證：；（3）求三棱錐

7、的體積分析：第一問就是找平行線，最明顯的就是；第二問轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明；第三問采用三棱錐的等積變換解決解析：（1）連結(jié)，如圖，在中，、分別為，的中點(diǎn)，則平面（2）（3）平面，且， 即，=點(diǎn)評(píng)：這個(gè)題目也屬于文科解答題的傳統(tǒng)題型空間線面位置關(guān)系證明的基本思想是轉(zhuǎn)化，根據(jù)線面平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，進(jìn)行相互之間的轉(zhuǎn)化，如本題第二問是證明線線垂直，但問題不能只局限在線上，要把相關(guān)的線歸結(jié)到某個(gè)平面上（或是把與這些線平行的直線歸結(jié)到某個(gè)平面上，通過證明線面的垂直達(dá)到證明線線垂直的目的，但證明線面垂直又得借助于線線垂直，在不斷的相互轉(zhuǎn)化中達(dá)到最終目的立體幾何中的三棱柱類似于平面幾何中的三角形，可

8、以通過“換頂點(diǎn)”實(shí)行等體積變換，這也是求點(diǎn)面距離的基本方法之一例7（廣東省廣州市2010屆高三教學(xué)調(diào)研測(cè)試）在四棱錐中，平面，為的中點(diǎn)，（1）求四棱錐的體積；（2）若為的中點(diǎn)，求證平面；（3）求證平面分析：第一問只要求出底面積和高即可；第二問的線面垂直通過線線垂直進(jìn)行證明；第三問的線面平行即可以通過證明線線平行、利用線面平行的判定定理解決，也可以通過證明面面平行解決，即通過證明直線所在的一個(gè)平面和平面的平行解決解析：（1）在中，在中，則 （2），為的中點(diǎn)， 平面，平面， 為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，平面（3）證法一：取中點(diǎn)，連則， 平面， 平面，平面 在中，而， 平面， 平面，平面 ，平面平面平面，平

9、面 證法二：延長(zhǎng)，設(shè)它們交于點(diǎn)，連，為的中點(diǎn) 為中點(diǎn)， 平面， 平面，平面 點(diǎn)評(píng)：新課標(biāo)高考對(duì)文科的立體幾何與大綱的高考有了諸多的變化一個(gè)方面增加了空間幾何體的三視圖、表面積和體積計(jì)算，拓展了命題空間；另一方面刪除了三垂線定理、刪除了凸多面體的概念、正多面體的概念與性質(zhì)、球的性質(zhì)與球面距離，刪除了空間向量，這就給立體幾何的試題加了諸多的枷鎖，由于這個(gè)原因課標(biāo)高考文科的立體幾何解答題一般就是空間幾何體的體積和表面積的計(jì)算、空間線面位置關(guān)系的證明（主要是平行與垂直）題型4 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（理科立體幾何解答題的主要題型）例8（2010年福建省理科數(shù)學(xué)高考樣卷）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，分

10、別為和的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】解法一：如圖分別以所在的直線為 軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得、 （1）取中點(diǎn)，則，又，由，與共線從而，平面， 平面，平面 （2），異面直線與所成角的余弦值為（3）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，可設(shè)點(diǎn)（），平面的一個(gè)法向量為， 則 ，取易知平面的一個(gè)法向量，依題意知， 或，即，解得，在棱上存在一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為時(shí)，二面角的大小為解法二：（1）同解法一知 ， ，、共面又平面，平面 （2）、（3）同解法一解法三：易知平面的一個(gè)法向量是又，由

11、83;，而平面，平面（2）、（3）同解法一點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、二面角的概念等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想像能力、推理論證能力和探索問題、解決問題的能力利用空間向量證明線面平行的方法基本上就是本題給出的三種，一是證明直線的方向向量和平面內(nèi)的一條直線的方向向量共線，二是證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量共面、根據(jù)共面向量定理作出結(jié)論；三是證明直線的方向向量與平面的一個(gè)法向量垂直例9（浙江寧波市2010學(xué)年度第一學(xué)期期末理科第20題）已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二

12、面角的正弦值； （3）求此幾何體的體積的大小【解析】（1）取的中點(diǎn)是，連結(jié)，則，或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角在中，異面直線與所成的角的余弦值為（2）平面，過作交于，連結(jié)可得平面，從而,為二面角的平面角在中， ,二面角的的正弦值為（3），幾何體的體積為方法二：（坐標(biāo)法）（1）以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則， ，異面直線與所成的角的余弦值為 （2）平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 從而,令，則, 二面角的的正弦值為 （3），幾何體的體積為 點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線所成角的求法、考查二面角的求法和多面體體積的求法空間向量對(duì)解決三類角（異面直線角、線面角、面面角）的計(jì)算有一定的

13、優(yōu)勢(shì)對(duì)理科考生來說除了要在空間向量解決立體幾何問題上達(dá)到非常熟練的程度外，不要忽視了傳統(tǒng)的方法，有些試題開始部分的證明就沒有辦法使用空間向量專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)文科以選擇題、填空題和解答題前三題為主理科以選擇題、填空題和解答題后三題為主一、選擇題1如圖為一個(gè)幾何體的三視圖，尺寸如圖所示，則該幾何體的表面積為（不考慮接觸點(diǎn)） （ ）A B C D 2某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積是 （ ）A B CD 3已知一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖均是邊長(zhǎng)為的正三角形，俯視圖是直徑為的圓，則此幾何體的外接球的表面積為（ ）ABCD4一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為，腰

14、和上底長(zhǎng)均為的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是 （ ）A B C D5 一個(gè)盛滿水的三棱錐容器，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個(gè)小洞，且知，若仍用這個(gè)容器盛水，則最多可盛原來水的（ ）A B C D6 點(diǎn)在直徑為的球面上，過作兩兩垂直的三條弦，若其中一條弦長(zhǎng)是另一條弦長(zhǎng)的倍，則這三條弦長(zhǎng)之和為最大值是 （ ）A B C D 7正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，異面直線 與 所成的角是（ ）A B C D8已知異面直線和所成的角為，為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)且與所成角都是 的直線有且僅有（ ） A 1條 B 2條 C 3條 D 4條9如圖所示，四邊形中，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列命題正

15、確的是（ ）A平面平面 B平面平面 C平面平面 D平面平面10設(shè)、是空間不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形： 、均為直線； 、是直線，是平面； 是直線，、是平面； 、均為平面其中使“且”為真命題的是 （ ）A B C D 11直線與直二面角的兩個(gè)面分別交于兩點(diǎn)，且都不在棱上，設(shè)直線與平面所成的角分別為，則的取值范圍是 （ ）A B C D二、填空題13 在三棱錐中，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿三棱錐的側(cè)面繞一周，再回到點(diǎn)，則螞蟻經(jīng)過的最短路程是 14四面體的一條棱長(zhǎng)為，其它各棱長(zhǎng)為，若把四面體的體積表示成的函數(shù)，則的增區(qū)間為 ，減區(qū)間為 15 如圖，是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中： 與平行； 與是異面

16、直線； 與成角； 與垂直 以上四個(gè)說法中，正確說法的序號(hào)依次是 16 已知棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成的角的正弦值是 三、解答題17已知，如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖 （1）該空間幾何體是如何構(gòu)成的； （2）畫出該幾何體的直觀圖； （3）求該幾何體的表面積和體積18如圖，已知等腰直角三角形，其中，點(diǎn)分別是,的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著邊折起到位置，使，連結(jié)、 （1）求證：； （2）求二面角的平面角的余弦值19如下圖，在正四棱柱中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)三點(diǎn)的平面交于點(diǎn) （1）求證：平面； （2）求二面角的正切值； （3）設(shè)截面把該正四棱柱截成的兩個(gè)幾何體的體積分別為（），求的值20 如圖，在

17、四棱錐中，底面為直角梯形，垂直于底面，分別為的中點(diǎn) （1）求證：；（2）求與平面所成的角；（3）求截面的面積21如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點(diǎn)，且 （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成的角的大??； （3）求二面角的大小 22已知斜三棱柱，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又知 （1）求證：平面； （2）求到平面的距離； （3）求二面角的一個(gè)三角函數(shù)值【參考答案】1解析：C 該幾何體是正三棱柱上疊放一個(gè)球故其表面積為2解析：B 這個(gè)空間幾何體的是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為的正方形、高為的四棱柱，上半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為的正方形、高為的四棱錐，故其體積為3解析：C 由三視圖知該幾何體是底面半徑為，

18、高為的圓錐，其外接球的直徑為4解析：D 如圖設(shè)直觀圖為，建立如圖所示的坐標(biāo)系，按照斜二測(cè)畫法的規(guī)則，在原來的平面圖形中，且，故其面積為5解析：D 當(dāng)平面處于水平位置時(shí)，容器盛水最多最多可盛原來水得6解析：A 設(shè)三邊長(zhǎng)為，則，令7解析：B 如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，在正方形中易證8解析：B 過點(diǎn)作，若，則取為，若，則取為這時(shí)，相交于點(diǎn)，它們的兩組對(duì)頂角分別為和記，所確定的平面為，那么在平面內(nèi)，不存在與，都成的直線 過點(diǎn)與，都成角的直線必在平面外，這直線在平面的射影是，所成對(duì)頂角的平分線其中射影是對(duì)頂角平分線的直線有兩條和，射影是對(duì)頂角平分線的直線不存在故答案選B9解析：D 如圖，在平面圖形中，折起后

19、仍然這樣，由于平面平面，故平面，又，故平面，所以平面平面10解析：C 、均為直線，顯然不行；由于垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故，可以使“且”為真命題；又由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，故可以使“且”為真命題；當(dāng)、均為平面時(shí)，也不能使“且”為真命題11解析：B 如圖，在中，而，即，故，即，而當(dāng)時(shí)，13解析： 將如圖三棱錐，沿棱展開得圖，螞蟻經(jīng)過的最短路程應(yīng)是，又，=14解析： ， ，利用不等式或?qū)?shù)即可判斷15解析： 如圖，逐個(gè)判斷即可16解析： 取的中點(diǎn)，連接交平面于，連由已知正方體，易知平面，所以為所求在中，所以直線與平面所成的角的正弦值為17解析：（1）這個(gè)空間幾何體的下半部分是一

20、個(gè)底面邊長(zhǎng)為的正方形高為的長(zhǎng)方體，上半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為的正方形高為的四棱錐 （2）按照斜二測(cè)的規(guī)則得到其直觀圖，如圖 （3）由題意可知，該幾何體是由長(zhǎng)方體與正四棱錐構(gòu)成的簡(jiǎn)單幾何體由圖易得：，取中點(diǎn)，連接，從而，所以該幾何體表面積體積18解析：（1）點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)， , , ,平面 平面, （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)、 , ,平面平面, 平面平面,是二面角的平面角 在中, ，在中, ， 二面角的平面角的余弦值是 19解析：（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)為的中點(diǎn)，又，四邊形為平行四邊形平面，平面，平面（2）作于，連結(jié)，平面，為二面角的平面角平面，平面，平面平面 ，又，又，四邊形是平行四邊形設(shè)，則，在中，sinA1ND1=在中，在中， （3）延長(zhǎng)與交于，則平面，且平面又平面平面 ，即直線交于一點(diǎn)又平面平面，幾何體為棱臺(tái)，棱臺(tái)的高為，故，20解析：（1）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)， 所以 由底面，得，又，即， 平面，所以 ， 平面， （2）連結(jié)， 因?yàn)槠矫?，即平面，所以?與平面所成的角 在中，在中，故，在中, ，又，故與平面所成的角是 （3）由分別為的中點(diǎn)，得，且，又，故，由（1）得平面，又平面，故，四邊形是直角梯形，在中， 截面的面積