矩陣相似對角化研究涂廣偉

1、衢州學(xué)院學(xué)年論文 題 目： 矩陣相似對角化研究 姓 名： 涂廣偉 學(xué) 號： 4111012104 院 別： 教師教育學(xué)院 系：數(shù)理系所在專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） _指導(dǎo)教師： 朱溦 職 稱： 講師 2013 年 10 月 8 日目 錄1緒論12矩陣相似對角化相關(guān)概念22.1相似22.2對角化22.3對稱矩陣22.4對角矩陣22.5實對稱矩陣33矩陣相似對角化充要條件33.1特征多項式33.2特征向量33.3實對稱矩陣54可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟75矩陣可對角化的應(yīng)用75.1非實對稱矩陣相似對角化的應(yīng)用75.2實對稱矩陣的對角化的應(yīng)用96總結(jié)10參 考 文 獻11英 文 翻 譯

2、12致 謝 辭13矩陣相似對角化研究【內(nèi)容摘要】 本文介紹了任意n階矩陣特征值以及各個特征值所對應(yīng)的特征向量的求解方法，通過對特征值，特征向量的求解，來判定該n階矩陣是否可對角化。另外，本文還討論了一種特殊矩陣實對稱矩陣的對角化 ?！娟P(guān)鍵詞】 矩陣 ; 特征值 ; 特征向量; 相似; 對角化1 緒論矩陣是高等代數(shù)中的重要組成部分，是許多數(shù)學(xué)分支研究的重要工具。而對角矩陣作為矩陣中比較特殊的一類，其形式簡單，研究起來也非常方便。相似的矩陣擁有很多相同的性質(zhì)，比如特征多項式、特征根等等。如果我們要研究一個矩陣的這些性質(zhì)，這時研究它所對應(yīng)的對角化矩陣即可。而對角矩陣是最簡單的一類矩陣，所以研究起來非

3、常方便。 線性代數(shù)中矩陣是否可以對角化,是矩陣的一條很重要的性質(zhì)。矩陣對角化也是高等代數(shù)和線性代數(shù)中矩陣理論這一部分的主要內(nèi)容。人們對此研究得出了很多有用的結(jié)論。諸如一些充要條件：階方陣可以對角化的充要條件是它有個線性無關(guān)的特征向量；n階方陣A的n個特征值互不相同，則A可對角化；n階矩陣所對應(yīng)的特征值的重根數(shù)等于齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)等等。 在本課題中通過閱讀參考文獻、查閱相關(guān)資料，初步總結(jié)出了矩陣可對角化的若干充分必要條件，并給予了相應(yīng)的證明過程。除此之外，本文還舉出了矩陣對角化這一理論在實際解題中的應(yīng)用。2 矩陣相似對角化相關(guān)概念2.1 相似 對于任意的n階方陣,若存在可逆

4、方陣，使得則稱矩陣與相似，記為，而對進行的運算稱為對進行的相似變換， 可逆方陣，稱為把變?yōu)榈南嗨谱儞Q矩陣。2.2 對角化 對于任意n階矩陣A，如果存在可逆矩陣P,有 (對角矩陣),那么我們稱A可對角化。2.3 對稱矩陣 設(shè)矩陣，記為矩陣的轉(zhuǎn)置。若矩陣A滿足條件，則稱為對稱矩陣。由定義知： .對稱矩陣一定是方陣。 .位于主對角線對稱位置上的元素必對應(yīng)相等.即，對任意都成立.對稱矩陣形如。2.4 對角矩陣 形式為的矩陣，其中是數(shù)，通常稱為對角距陣。2.5 實對稱矩陣 若對稱矩陣的每一個元素都是實數(shù)，則稱為實對稱矩陣。3 矩陣相似對角化充要條件3.1 特征多項式 定理 1 若n階矩陣A與B相似，則A

5、和B的特征多項式相同，從而A與B的特征值亦相同。 證明： 因為A與B相似，則存在可逆矩陣P，使得 故 所以A和B的特征多項式相同。令 解出 ，則就是A與B的特征值。由以上證明可以得出：若n階矩陣與對角矩陣 相似，則 是A的n個特征值，這個結(jié)論是顯然的，因為A與相似，根據(jù)定理1得它們有相同特征值。所以是A的n個特征值。3.2 特征向量 定理2 數(shù)域P上n階矩陣A可以對角化的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。 證明： 先證充分性 假設(shè)是矩陣A的n個線性無關(guān)的特征向量則有 令顯然P是可逆矩陣，將其記，則= A（）=即充分性得證 。 再證必要性 令矩陣和對角形矩陣相似，即存在可逆矩陣使得，則有,記

6、， ()即有，這說明矩陣的列向量是矩陣的特征向量，而已知是可逆陣，故的個列向量線性無關(guān)，必要性得證。 應(yīng)注意，由n階矩陣A可對角化，并不能斷定A一定含有n個互不相同的特征值。在后文我們會給出部分n階矩陣A的特征值雖有重根，但是仍可對角化。 引理1 設(shè)是n階矩陣A的s個不同特征值，是A的分別屬于的特征向量，則線性無關(guān)。 證明： 用數(shù)學(xué)歸納法證明，當s=2時，設(shè) 分別是A的所對應(yīng)于特征值的特征向量， 令 (1)則有 (2)(1)-(2)得 又因為 所以 ，所以定理關(guān)于成立。假設(shè)s-1時定理成立。當為s時，設(shè)A的s個不同特征值所對應(yīng)的特征向令 （3）對（3）式左乘A，得： （4）由假設(shè)得：線性無關(guān)，

7、所以因為，再帶入（3）中得,定理得證。 定理3 設(shè) ，則可以對角化的充分必要條件是：(1)的特征根都在數(shù)域內(nèi)；(2) A的每個特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量最大個數(shù)等于該特征值的重數(shù)，也就是矩陣A全部特征值所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)之和為n；證明： 設(shè)是的所有不同的特征根，根的重數(shù)分別為。 充分性：由于的特征向量有個線性無關(guān)，由引理1得，不同特征值所對應(yīng)的特征向量也線性無關(guān)，所以A有n個線性無關(guān)的特征向量，所以A可以對角化。 必要性：使用反證法 假設(shè)如果有一個特征值所對應(yīng)的無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)的重數(shù)，則A的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)小于n，故A不可能與對角矩陣相似，這顯然與A可對角化矛盾。

8、 我們知道并不是所有的n階矩陣都可對角化，但是當為n階實對稱矩陣時，一定可對角化，為了證明實對稱矩陣一定可對角化，我們引入實對稱矩陣的一些性質(zhì)。3.3 實對稱矩陣定理4 實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。 證明： 設(shè)是階實對稱陣，是的特征值，是屬于的特征向量，于是有。令，其中是的共軛復(fù)數(shù)，則，考察等式，其左邊為，右邊為.故，又因X是非零量，故，即是一個實數(shù)。注意，由于實對稱矩陣的特征值為實數(shù)，所以齊次線性方程組為實系數(shù)方程組，由知必有實的基礎(chǔ)解系，從而對應(yīng)的特征向量可以取實向量。但是此定理的逆命題不成立。例如，均為實數(shù)，而不是對稱的。定理5 設(shè)A是實對稱矩陣，則對于任意向量，有。證明： 顯然等價于,

9、只需要證即可。因為A是實對稱矩陣，所以A=A，結(jié)論得證。 定理6 設(shè)是實對稱矩陣，則中屬于的不同特征值的特征向量必正交。 證明: 設(shè)是的兩個不同的特征值，分別是屬于的特征向量，于是，由，有， 因為，所以，即正交。定理7 對任意一個階實對稱矩陣，都存在一個階正交矩陣P，使成為對角形且對角線上的元素為的特征值。證明: 設(shè)的互不相等的特征值為，它們的重數(shù)依次為。則對應(yīng)特征值，恰有個線性無關(guān)的實特征向量，把它們正交化并單位化，即得個單位正交的特征向量，由知，這樣的特征向量共可得個。由定理6知對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交，故這個單位特征向量兩兩正交。以它們?yōu)榱邢蛄孔鞒烧痪仃?，則，其對角矩陣中的對角元

10、素含個，,個，恰是的個特征值。4 可對角化矩陣的相似對角陣的求法及步驟具體步驟 設(shè)，求可逆矩陣，使為對角矩陣的步驟是: (1) 求矩陣的全部特征根； (2) 如果的特征根都在數(shù)域內(nèi)(否則不可對角化), 那么對每個特征根, 求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系； (3) 如果對每個特征根, 的基礎(chǔ)解系所含解向量個數(shù)等于的重數(shù)(否則不可對角化), 那么可對角化,以所有基礎(chǔ)解系中的向量為列即得階可逆矩陣, 且是對角陣, 而對角線上的元素是的全部特征根；設(shè)， 并設(shè)可逆， 由得 ， 即有由此可見， 只要取 的列為矩陣的個特征向量即可， 因為可逆， 所以應(yīng)線性無關(guān)。5 矩陣可對角化的應(yīng)用5.1 非對稱矩陣相似

11、對角化的應(yīng)用例1 判斷矩陣是否可以對角化。解: A的特征多項式=0解得的特征值是（重），（重），對于特征根-4，求出齊次線性方程組。的一個基礎(chǔ)解系，對于特征根2，求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)等于對應(yīng)的特征根的重數(shù)，所以可以對角化。取,那么 5.2 實對稱矩陣的對角化的應(yīng)用例 陣。 解: 由 求得A的特征值為 對應(yīng) 解方程由 得基礎(chǔ)解系將單位化，得 對應(yīng)解方程由 將正交化，令 再將其單位化得， 將構(gòu)成正交矩陣 6 總結(jié)矩陣是數(shù)學(xué)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，而矩陣的對角化是矩陣論中的一個重點內(nèi)容。本文論述了矩陣可對角化的基本理論，在此基礎(chǔ)上

12、探討了矩陣可對角化的充分必要條件，使我們更輕松的理解并掌握矩陣的對角化問題。參 考 文 獻1 張禾瑞，郝炳新，高等代數(shù)M， 2007，3版， 北京：高等教育出版社2 王萼芳，石生明，高等代數(shù)M ，2003，2版， 北京：高等教育出版社 3 張枚，高等代數(shù)習(xí)題選編M，1981，版，浙江：浙江科學(xué)技術(shù)出版社4 楊子胥，高等代數(shù)習(xí)題解M，2001，版，山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社Matrix diagonalization similar study【 abstract 】 this paper introduces the arbitrary order n matrix eigenvalues an

13、d eigenvectors corresponding to each eigenvalue method, based on the characteristic value and characteristic vector of the solution, to determine whether the n order matrix diagonalization, in addition, this paper also discusses a special matrix, diagonal matrix diagonalization. 【 key words 】 similarity； diagon