平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

1、精品6 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用突破點(diǎn) (一)平面向量的數(shù)量積1 向量的夾角；2 平面向量的數(shù)量積；3 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律平面向量數(shù)量積的運(yùn)算1. 利用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積的步驟第一步，根據(jù)共線、垂直等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程要注意方程思想的應(yīng)用；第二步，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可2 根據(jù)定義計(jì)算數(shù)量積的兩種思路(1) 若兩個(gè)向量共起點(diǎn)，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點(diǎn)不同，需要通過(guò)平移使它們的起點(diǎn)重合，然后再計(jì)算(2) 根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數(shù)量積的兩個(gè)向量，然后再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)

2、算求解 典例 (1) 設(shè)向量 a ( 1,2) ， b ( m, 1) ，如果向量a 2 b 與 2 a b 平行，那么a 與 b 的數(shù)量積等于()7135A BC.D.2222(2) 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB DC ， AB 2 ， BC 1 ，ABC 60 °.點(diǎn) E 和 F 分別在線段 BC和 DC 上，且uuur2 uuuruuur1 uuuruuuruuurBEBC，DFDC，則AE·的值為AF_36解析 (1) a 2b ( 1,2) 2( m, 1) ( 1 2 m, 4) ，2 a b 2( 1,2) (m, 1) ( 2 m, 3) ，由111

3、題意得 3( 1 2 m ) 4( 2 m ) 0 ，則 m ，所以 b ， 1，所以 a·b 1 × 2× 12225 .2uuuruuuruuuruuuruuur2 uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur(2) 取BA，BC為一組基底，則AE BE BA BC BA，AF ABBCCF BA3uuur5 uuur7uuuruuur，uuuruuur2uuur uuur·7 uuur uuur7 uuur225BCBABABCAE·BCBABABC| BA|AF31218121212uuuruuur2 uuur7251229

4、29BA ·BC | BC |2× 4×2×1× 18. 答案(1)D(2)312182318 易錯(cuò)提醒 (1) 解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ) (2) 兩向量 a， b 的數(shù)量積 a·b 與代數(shù)中 a ，b 的乘積寫(xiě)法不同，不能漏掉其中的“ ·” 突破點(diǎn) (二 )平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示：模、夾角、a b |、 a·b|與 |a| b | 的關(guān)系平面向量的垂直問(wèn)題1. 利用坐標(biāo)運(yùn)算證明或判斷兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題第一，計(jì)算出這兩

5、個(gè)向量的坐標(biāo)；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0 即可感謝下載載精品2 已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)1(1)ABC2abuuur2uuur2例是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知向量，滿足ABa，ACab ，則下列結(jié)論正確的是 ()uuurA |b | 1B a bC a·b 1D (4 a b ) BC(2) 已知向量 a ( k, 3) ， b (1,4)，c(2,1)，且 (2 a 3 b ) c，則實(shí)數(shù) k ()915A B 0C 3D.22uuuruuuruuuruuur(1)ABC22|

6、2A2解析中，由BCACABa b a b，得，錯(cuò)誤又ABa在buuuruuur且 |AB | 2 ，所以 |a | 1，所以 a ·b |a| b |cos 120° 1 ，B，C 錯(cuò)誤 所以 (4 a b )·BC (4 a b )·b 4· |2 4× (1) 4 0，所以 (4) uuurbabBC ，D正確，故選 D.a b(2) (2a 3b)，(2a 3b)·0. (k,3) ，b (1,4)，c (2,1)，2a 3b (2k3，6)cca(2k 3 ， 6) ·(2,1)0 ，即 (2k3)

7、15;260. 3. 答案 (1)D(2)Ck 易錯(cuò)提醒 x 1 y 2 x 2 y1 0與 x 1x 2 y1 y2 0不同，前者是兩向量a (x 1， y 1 ) ，b (x 2 ， y 2 )共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件平面向量模的相關(guān)問(wèn)題利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問(wèn)題的處理方法：(1)a2· |2 ； (2)|± | ± 22±2 a·b b2.a a aa ba ba例 2(1)(2017·衡水模擬 )已知 | a| 1 ， | b| 2 ， a 與 b 的夾角為)，那么 |4 a b

8、| (3A 2B6 C2 3D 12(2) 已知 e1， e21是平面單位向量，且e1 ·e2 .若平面向量 b 滿足 b ·e1 b ·e2 1 ，則 |b | _.2解析 (1)|4ab|2 16a2 b2 8· 16× 1 4 8× 1 × 2 × cosab| 23. 12. |4a b311(2) e1 ·e2 ，| e1| e2|cose 1，e2 ， e1 ，e2 60°.又b ·e1 b ·e21 0 ， b ，e 122be30 °.由·

9、11，得 |b|e1|cos 30° 1 ，|b123.答案(1)C23，2|(2)b e3332 方法技巧 求向量模的常用方法(1)若向量 a 是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a 的?？芍苯永霉絴a| x 2 y2 .(2)若向量 a，b 是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量 a 的?？蓱?yīng)用公式| a| 2 a2 a·a，或 | a±b |2 (a±b ) 2 a 2±2a ·b b 2 ，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解平面向量的夾角問(wèn)題感謝下載載精品求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟第一步由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積

10、第二步分別求出這兩個(gè)向量的模根據(jù)公式 cos a， b a·bx 1 x2 y 1y 2222求解出這兩個(gè)向量夾角的余第三步| a| b |2x 1 y1· x2 y 2弦值第四步根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是0 ， 及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角22例 3 (1)若非零向量 a， b 滿足 |a | b| ，且 (a b ) (3 a 2 b )，則 a 與 b 的夾角為 ()33 D A.B.C.424(2) 已知單位向量 e11與 e2 的夾角為 ，且 cos ，向量 a 3 e1 2 e2 與 b 3 e1 e2 的夾角為 ，3則 cos _.解析 (1)由(a

11、b ) (3 a 2 b ) ，得 (a b )·(3 a 2b ) 0 ，即 3a2 a·b 2 b 2 0.22又|a| | b| ，設(shè) a， b ，即 3| a |2 |a | b |cos 2| b |2 0，382222·b22| b | b |2|又 ，.3cos|0. cos.032411(2) a2 (3 e1 2 e2 )2 9 4 2× 3 × 2 ×9 ， b 2 (3 e1 e2 )2 9 1 2 × 3 × 1 × 8 ，331a·b82 2a·b (3 e1

12、 2 e2) ·(3 e1 e2 ) 9 2 9 × 1 × 1× 8 ，cos .3|a| b |3 × 223 易錯(cuò)提醒 (1) 向量 a，b 的夾角為銳角 ? a·b >0 且向量 a， b 不共線(2) 向量 a，b 的夾角為鈍角 ? a·b <0 且向量 a， b 不共線突破點(diǎn) ( 三 )平面向量與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題平面向量集數(shù)與形于一體，是溝通代數(shù)、 幾何與三角函數(shù)的一種非常重要的工具.在高考中， 常將它與三角函數(shù)問(wèn)題、解三角形問(wèn)題、幾何問(wèn)題等結(jié)合起來(lái)考查.平面向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題 例 1已知函數(shù)

13、 f ( x ) a·b ，其中 a (2cosx ，3sin 2 x) ， b (cos x, 1) ， xR.(1) 求函數(shù) y f (x )的單調(diào)遞減區(qū)間；(2) 在ABC 中，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為a，b ， c， f( A ) 1 ， a7 ，且向量m (3 ，sin B)與 n (2 ， sin C) 共線，求邊長(zhǎng)b 和 c 的值感謝下載載精品 解 (1) f( x ) a ·b 2cos 2 x 3sin 2x 1 cos 2x 3sin 2x 1 2cos 2 x 3，令 2 k 2 x 2 k (k Z) ，解得k x k ( k Z) ，36

14、3所以 f (x ) 的單調(diào)遞減區(qū)間為k ， k ( k Z) 63(2) (A) 1 2cos2A 1 ，cos2 A 1.f33 7 又 0< A< ，故 <2A ，2A ，即 A .33333a7 ，由余弦定理得 a2 b 2 c2 2bc cos A (b c)2 3 bc 7. 向量 m (3 ，sinB)與 n (2 ， sinC)共線，所以 2sin B 3sinC由正弦定理得2 b 3 c，由，可得 b 3 ， c2. 方法技巧 平面向量與三角函數(shù)綜合問(wèn)題的類型及求解思路(1) 向量平行 (共線 ) 、垂直與三角函數(shù)的綜合：此類題型的解答一般是利用向量平行(

15、共線 ) 、垂直關(guān)系得到三角函數(shù)式，再利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解(2) 向量的模與三角函數(shù)綜合：此類題型主要是利用向量模的性質(zhì)| a| 2 a2 ，如果涉及向量的坐標(biāo)，解答時(shí)可利用兩種方法：一是先進(jìn)行向量的運(yùn)算，再代入向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解；二是先將向量的坐標(biāo)代入，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解此類題型主要表現(xiàn)為兩種形式： 利用三角函數(shù)與向量的數(shù)量積直接聯(lián)系；利用三角函數(shù)與向量的夾角交匯，達(dá)到與數(shù)量積的綜合平面向量與幾何的綜合問(wèn)題uuuruuur 例 2(1) 在平行四邊形ABCD 中， AD 1 ，BAD 60 °， E 為 CD 的中點(diǎn)若AC &

16、#183;BE 1, 則AB 的長(zhǎng)為 _(2) 已知菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2 ，BAD 120 °，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在邊 BC ，DC 上，BC 3 BE，DC DF .uuuruuur若 AE ·AF 1 ，則 的值為 _ (1)uuur0uuuruuur1uuuruuuruuuruuuruuur1 uuur1解析設(shè)|AB|x ， x ，則ABADx .又ACBE( ADAB)(ADAB )·2· ·21111 x2 x 1 ，解得 x ，即AB 的長(zhǎng)為 .2422uuuruuuruuuruuur1(2) 由題意可得 AB ·A

17、D |AB | ·|AD |cos 120°2×2× 2，uuuruuur uuuruuur2在菱形 ABCD 中，易知 AB DC ， AD BC ，uuuruuuruuuruuur1 uuuruuuruuuruuur1 uuuruuur所以AEAB BEAB3AD ，AFADDF ABAD，uuur uuuruuur1uuur1uuuruuur44 21 11，解得 2. 答案 (1)1AE·AF ABAD· AB AD 3 233(2)2 方法技巧 平面向量與幾何綜合問(wèn)題的求解方法感謝下載載精品(1) 坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)

18、的坐標(biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決(2) 基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解 檢驗(yàn)高考能力 一、選擇題1 已知向量 a(3 ，1) ， b (0,1)， c (k ，3) ，若 a 2 b 與 c 垂直，則 k ()A3B 2C 1D1解析：選 A因?yàn)閍 2b與c垂直，所以 ( 2b)· 0，即·2· 0 ，所以3k3 23aca cb c 0 ，解得 k 3.uuuruuur2 在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知四邊形ABCD 是平行四邊形

19、，AB (1 ， 2) ， AD (2,1)，uuur uuur則 AD ·AC ()A 5B 4C 3D 2uuur uuur uuur解析：選 A由四邊形 ABCD 是平行四邊形，知ACABADuuuruuur故 AD·AC (2,1) ·(3 ， 1) 2×3 1×(1) 5.(1 ， 2) (2,1) (3 ， 1) ，3 若平面向量a ( 1,2)與b 的夾角是 180°，且 |b | 35 ，則 b 的坐標(biāo)為 ()A (3 ， 6)B ( 3,6)C (6 ， 3)D ( 6,3)解析：選 A由題意設(shè)b ( ， 2 )(

20、0)，而 |b| 35 ，則 2 2 2 35 ，所以 a 3 ， b (3 ， 6) ，故選 A.14 (2016 ·山東高考 ) 已知非零向量m ， n 滿足 4|m| 3| n| ，cos m ， n ，若 n ( t m n )，3則實(shí)數(shù) t 的值為 ()99A 4B 4C.D 44解析：選 Bn( t m n )，n ·(t m n ) 0 ，即 t m ·n | n |2 0 ，t|m|n|cos m ，n | n| 231 0. 又 4| m | 3| n | ，t × | n| 2 × |n |2 0 ，解得 t 4. 故選 B

21、.435 (2016·天津高考 ) 已知ABC 是邊長(zhǎng)為1 的等邊三角形，點(diǎn)D， E 分別是邊 AB ， BC 的中點(diǎn)，連 2uuuruuur接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE，則AF ·BC 的值為 ()EF51111A B.C.D.8884uuuruuuruuur解析：選 B如圖所示， AF AD DF .又 D，E 分別為 AB ，BC 的中點(diǎn)，且 DEuuur1 uuuruuur1 uuur1 uuur3 uuuruuur1 uuur3 uuur 2 EF，所以 AD AB，DF ACACAC ，所以AF AB AC .224424uuuruuuruuuruuuruuur

22、1 uuur3uuuruuuruuur1uuuruuur 1又BCACAB，則 AF·BCAB 4AC·(ACAB)2AB ·AC 22uuur2 3 uuur2 3 uuuruuur3 uuur21 uuur2 1 uuuruuur又uuuruuur，BAC °，故ABACAC·ACABAC·| AB| AC|1604AB4AB .424感謝下載載精品uuuruuur31111AF ·BC ×1×1× .故選 B.42428uuuruuuruuuruuur6 已知為等邊三角形，2，設(shè)點(diǎn)，滿足

23、，若ABCABQAP ，AQ(1AC， RPAB)uuuruuur3)BQ· ，則 (CP211 ± 21± 103±2 2A.2B.2C.2D.2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解析：選 ABQ AQ AB (1 )ACAB，CP AP AC AB AC ，又 BQ ·CP3uuuruuur260uuuruuuruuuruuur2(1uuuruuuruuur|AB|AC |，A°，ABAC| AB | | AC |cos 60°) ACAB(AB ，·

24、;·， ·2uuur) 3，即 |uuur2 (2uuuruuur (1 )|uuur|232ACAB| 1)AB·AC ，所以4 2( 1) 4(1 )2AC231 ，解得 .22二、填空題7 已知平面向量 a (2,4)， b (1 ， 2) ，若 c a( a·b )·b，則 | c| _.解析：由題意可得a·b 2 × 1 4 × ( 2) 6 ，c a (a·b) ·b a 6b (2,4)6(1 ，2) (8 ， 8) ，|c| 82 8 282. 答案： 828 已知向量 a，b 滿足 (2 a b )·(a b ) 6 ，且 |a| 2 ， | b | 1 ，則 a 與 b 的夾角為 _解析： (2 a b )·(a b )6 ，2 a2 a·b b 2 6 ，又 | a| 2 ， |b | 1，a