二次函數(shù) (5)

1、二次函數(shù)² 相關概念及定義Ø 二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)Ø 二次函數(shù)的結構特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項² 二次函數(shù)各種形式之間的變換Ø 二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.Ø 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.² 二次函數(shù)解析式的表示方法Ø 一般式：（，為常數(shù)，）；Ø 頂點式：（，為常數(shù)，）；&

2、#216; 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.Ø 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.² 二次函數(shù)圖象的畫法Ø 五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.Ø 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點

3、，與軸的交點，與軸的交點.² 二次函數(shù)的性質的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值² 二次函數(shù)的性質的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值² 二次函數(shù)的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值² 二次函數(shù)的性質的符號開

4、口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值² 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.Ø 的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.Ø 對稱軸：平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.Ø 頂點坐標：Ø 頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.² 拋物線中，與函數(shù)圖像的關系Ø 二次

5、項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然 當時，拋物線開口向上，越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小Ø 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側 在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置

6、總結：Ø 常數(shù)項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負 總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的² 求拋物線的頂點、對稱軸的方法Ø 公式法：，頂點是，對稱軸是直線.Ø 配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.Ø 運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對

7、稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點. 用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.² 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式Ø 一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.Ø 頂點式：.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.Ø 交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.² 直線與拋物線的交點Ø 軸與拋物線得交點為(0, ).Ø 與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).Ø 拋物線與軸的交點:二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點

8、情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離.Ø 平行于軸的直線與拋物線的交點 可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根.Ø 一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點.Ø 拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故² 二次函數(shù)圖象的對稱:二次函數(shù)

9、圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達Ø 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是；Ø 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是；Ø 關于原點對稱 關于原點對稱后，得到的解析式是； 關于原點對稱后，得到的解析式是；Ø 關于頂點對稱 關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是Ø 關于點對稱 關于點對稱后，得到的解析式是Ø 總結：根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可

10、以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式² 二次函數(shù)圖象的平移Ø 平移步驟： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：Ø 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”² 根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達式的幾種基本思路。Ø 三點式。1，已知拋物線y=ax2+bx+c 經過A（，0），B（，0），

11、C（0，-3）三點，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=a(x-1)+4 ， 經過點A（2，3），求拋物線的解析式。Ø 頂點式。1，已知拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點為A（2，1），求拋物線的解析式。2，已知拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點為（3，1），求拋物線的解析式。Ø 交點式。1，已知拋物線與 x 軸兩個交點分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知拋物線線與 x 軸兩個交點（4，0），（1，0）求拋物線y=a(x-2a)(x-b)的解析式。Ø 定點式。1，在直角坐標系中，不論a 取何值，拋物線經過x 軸

12、上一定點Q，直線經過點Q,求拋物線的解析式。2，拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m與x軸的一定交點經過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。3，拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點A，求拋物線的解析式。Ø 平移式。1， 把拋物線y= -2x2 向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。2， 拋物線向上平移,使拋物線經過點C(0,2),求拋物線的解析式.Ø 距離式。1，拋物線y=ax2+4ax+1(a0)與x軸的兩個交點間的距離為2，求拋物線的解析式。2，已知拋物線y=m x2+3mx-

13、4m(m0)與 x軸交于A、B兩點，與 軸交于C點，且AB=BC,求此拋物線的解析式。Ø 對稱軸式。1、拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個交點，這兩點間的距離等于拋物線頂點到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。2、 已知拋物線y=-x2+ax+4, 交x軸于A,B（點A在點B左邊）兩點，交 y軸于點C,且OB-OA=OC，求此拋物線的解析式。Ø 對稱式。1， 平行四邊形ABCD對角線AC在x軸上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 軸于E，將三角形ABC沿x 軸折疊，點B到B1的位置，求經過A,B,E三點的拋物線的解析式。2， 求與拋物線y=x2+4x+3關于y軸（或x軸）對稱的拋物線的解析式。Ø 切點式。1，已知直線y=ax-a2(a0) 與拋物線y=mx2 有唯一公共點，求拋物線的解析式。2，