淺談初中數(shù)學教學中的變式訓練

1、淺談初中數(shù)學教學中的變式訓練松江區(qū)茸一中學 沈菊華素質(zhì)教育是以培養(yǎng)具有創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的人才為目標而進行的創(chuàng)新教育為歸宿的教育。在課堂教學中落實素質(zhì)教育，就要貫穿“學生為主體，訓練為主線，能力為主攻”的原則。現(xiàn)代數(shù)學課程標準指出：數(shù)學教學不僅僅要使學生獲得數(shù)學基礎知識,基本技能，更要獲得數(shù)學思想和觀念，形成良好的數(shù)學思維品質(zhì),要通過各種途徑，讓學生體會數(shù)學思考和創(chuàng)造的過程，增強學習的興趣和自信心,不斷提高自主學習的能力。所以加強在教學中注重變式訓練，可以促使學生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現(xiàn)教學過程中教師與學生數(shù)學思維活動的

2、過程，充分調(diào)動學生學習的積極性、主動地參與教學的全過程，培養(yǎng)學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學生能力的培養(yǎng)落到實處。所謂數(shù)學變式訓練，即是指在數(shù)學教學過程中對概念、性質(zhì)、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條件或形式發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變。數(shù)學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養(yǎng)學生的思維能力，掌握數(shù)學的思想和方法。.變式其實就是創(chuàng)新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質(zhì)特征，遵循學生認知心理發(fā)展，根據(jù)實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當?shù)淖兏鼏栴}情境或改變思維角度，培

3、養(yǎng)學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發(fā)學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數(shù)學課堂教學的實踐，談談在數(shù)學教學中如何進行變式訓練培養(yǎng)學生的思維能力。一、在形成數(shù)學概念的過程中，利用變式啟發(fā)學生積極參與觀察、分析、歸納，培養(yǎng)學生正確概括的思維能力。從培養(yǎng)學生思維能力的要求來看，形成數(shù)學概念，提示其內(nèi)涵與外延，比數(shù)學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去“發(fā)現(xiàn)”、去“創(chuàng)造”，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養(yǎng)學生的觀察、分析以及概括能力。如在講分式的意義時，一個分式的值為零是

4、指分式的分子為零而分母不為零，因此對于分式的值為零時，在得到答案時，實際上學生對“分子為零而分母不為零”這個條件還不是很清晰，難以辨析出學生是否考慮了“分母不為零”這個條件，此時可以做如下變形：變形1：當x_時，分式的值為零？（分子為零時x=）變形2：當x_時，分式的值為零？（時分母為零因此要舍去）變形3：當x_時，分式的值為零？（此時分母可以因式分解為，因此x的取值就不能等于6且不能等于-1）通過以上的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質(zhì)的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以后的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內(nèi)使得效益最大化。二、在理解

5、定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯(lián)系，從而培養(yǎng)學生多向變通的思維能力。數(shù)學思維的發(fā)展，還賴于掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由于定理和公式的實質(zhì)，也是人們對于概念之間存在的本質(zhì)聯(lián)系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在于明確理解定理和公式中概念的聯(lián)系，對于這種聯(lián)系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現(xiàn)相關定理和公式之間的聯(lián)系以及定理、公式成立依附的條件，培養(yǎng)學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。如在初一學習垂徑定理時：學生對定理“如果圓的直徑平分弦（這

6、條弦不是直徑），那么這條直徑垂直這條弦，并平分這條弦所對的弧”理解不透，經(jīng)常在判斷中出錯，甚至到了初三時還會發(fā)生錯誤，實際上學生的錯誤是可以理解的，而教師卻要去思考學生出錯的根源是什么？我認為是學生沒有理解這句話中幾個關鍵字或詞：直徑、平分、不是直徑，因此我們可以通過變式給出如下語句讓學生去判斷，并在錯誤的判斷中給出反例，讓學生理解錯誤的原因。（1）平分弦的直線垂直這條弦（×）見圖1（2）平分弦的直徑垂直這條弦（×）見圖2（3）平分弦的半徑垂直這條弦（×）見圖3通過上述三個小判斷，指出直徑與直線的區(qū)別，弦是直徑時對結論的影響等，理解了為什么要附加條件：這條弦不是直

7、徑，學生的辨析能力得到提高，思維更加縝密。可以通過變式來繼續(xù)提問學生：在“如果圓的直徑垂直于弦，那么這條直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧”這條性質(zhì)中“如果圓的直徑垂直于弦”后面沒有附加條件，這是為什么？（4）垂直于弦的直線平分這條弦（×）見圖4 （5）不與直徑垂直的弦，不可能被該直徑平分（×）見圖5 通過以上變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯(lián)系，解題思路中的方法之間的聯(lián)系與規(guī)律，從而培養(yǎng)學生聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、推理、歸納、探索的思維能

8、力。（一）、多題一解，適當變式，.培養(yǎng)學生求同存異的思維能力。許多數(shù)學習題看似不同，但它們的內(nèi)在本質(zhì)（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，并讓學生自己感悟它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學思想方法。如：題1：如圖A是CD上一點，DABC、DADE都是正三角形，求證CE=BD 題2：如圖，DABD、DACE都是正三角形，求證CD=BE題3：如圖，分別以DABC的邊AB、AC為一邊畫正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證BG=CE題4：如圖，有公共頂點的兩個正方形ABCD、BEFG，連接AG、EC，求證AG=EC題5：如

9、圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，DABP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)能與DCBP重合，若PB=3，求PP上述五題均利用正三角形、正方形的性質(zhì)，為證明全等三角形創(chuàng)造條件，并利用全等三角形的性質(zhì)進行進一步的計算或證明。教師要把這類題目成組展現(xiàn)給學生，讓學生在比較中感悟它們的共性。（二）、一題多解，觸類旁通，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學生思維的靈活性。一題多解的實質(zhì)是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質(zhì)聯(lián)系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題

10、多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異欲望，培養(yǎng)學生思維的靈活性。例如在教學等腰三角形的判定時，例2是這樣的已知：如圖，點D、E分別在ABC的邊AB、AC上， CDAB， BEAC，垂足分別為D、E，1=2求證：三角形等腰三角形這題學生一般想到利用兩個三角形全等來證明AB=AC利用等腰三角形的定義得到三角形ABC是等腰三角形，教師繼續(xù)引導學生思考能否有其它的方法證明，并適時提問還有沒有其他方法證明ABC是等腰三角形，學生馬上想到剛學的在一個三角形中等角對等邊的知識，于是把問題轉(zhuǎn)化到如何證明ABC=ACB，通過學生討論得到兩種證明角的方法，一利用等角的余角相等，二利用外

11、角或三角形內(nèi)角之和為180度得到兩個角相等。又如在講解“求解相交兩圓的圓心距”的問題時學生往往會犯得出一個解而丟掉另一個解的錯誤。我先用運動的觀點向?qū)W生解釋兩圓相交的形成，當兩圓相切時，如果一圓的圓心繼續(xù)向另一圓的圓心靠攏，當兩圓有兩個公共點時叫兩圓相交。然后我在黑板上畫出了圓心在公共弦兩側(cè)的相交兩圓，待學生根據(jù)已知求出圓心距以后，讓一圓的圓心繼續(xù)向另一圓的圓心靠攏，當兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)時，再讓學生計算兩圓的圓心距，這時學生發(fā)現(xiàn)在相同已知條件下兩種情況算得的結果并不相同。由此得出兩圓相交有圓心在公共弦的兩側(cè)或同側(cè)兩種情況的結論。這兩題題從不同的角度進行多向思維，把各個知識點有機地聯(lián)系起來

12、，發(fā)展了學生的多向思維能力。（三）、一題多變，總結規(guī)律，培養(yǎng)學生思維的探索性和深刻性。通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制“題海戰(zhàn)術”，開拓學生解題思路，培養(yǎng)學生的探索意識，實現(xiàn)“以少勝多”。伽利略曾說過“科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的”。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調(diào)動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什么圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什么

13、圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什么圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質(zhì)的東西是原來四邊形的對角線所具有的特征。又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現(xiàn)給學生，把學生的思維逐步引向深刻。例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節(jié)課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關于追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然后教師可對本例作以下變式。變式1：一膄快艇與孟關

14、良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒）變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經(jīng)常會涉及到相遇問題和追及問題現(xiàn)有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發(fā)（1）兩人同時相向而行經(jīng)過幾秒兩人相遇。（2）兩人同時同向而行經(jīng)過幾秒兩第一次相遇。（3）乙先出發(fā)5秒，然后甲開始出發(fā)，問甲經(jīng)過幾秒兩人第一次相遇。這題該為平時學生熟悉的操場環(huán)形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發(fā)的相遇和追及問題，（3

15、）是不同時出發(fā)相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。變式3：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒后他發(fā)現(xiàn)用這樣的速度不能在規(guī)定的時間內(nèi)追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關良后來要用多少速度才能在規(guī)定的時間內(nèi)追上快艇？這樣的變式覆蓋了同時出發(fā)相遇問題、不同時出發(fā)相遇問題、同時出發(fā)和不同時出發(fā)的追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質(zhì)的東西，今后碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培

16、養(yǎng)了學生思維的深刻性。學生也不必陷于題海而不能自拔。（三）、一題多問，通過變式引申發(fā)展，擴充、發(fā)展原有功能，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和探究、概括能力牛頓說過：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”中學生的想象力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維。教學中要特別重視對課本例題和習題的“改裝”或引申。數(shù)學的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善于對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于知識的建構。如，八年級第二學期練習冊中有這樣一個習題：如圖

17、（一）在DABC中，ÐB=ÐC，點D是邊BC上的一點，DEAC，DFAB，垂足分別是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SDABC。（2）AB上的高。上題通過連接AD分割成兩個以腰為底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結論，不難求的AB上的高為8cm.我在教學中并未把求得結論作為終極目標，而是繼續(xù)問：3+5=8，在此題中是否是一個巧合？探究DE、DF、CH之間的內(nèi)在聯(lián)系，（學生猜想CH=DE+DF）。引出變式題（1）如圖（二）在DABC中，ÐB=ÐC，點D是邊BC上的任一點，DEAC，DFAB，CHAB，垂足分別是E、F、H，求證：CH=DE+DF在計算例題的基礎上，學生已經(jīng)具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯(lián)系起來的意識，此題的證明很容易解決。在學生思維的積極性充分調(diào)動起來的此時，我又借機給出變式（2）如圖（三）在等邊DABC中，P是形內(nèi)任意一點，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F，求證PD+PE+PF是一個定值。通過這組變式訓練，面積法在幾何計算和證明中的應用得到了很好的體現(xiàn)，同時這一組變式訓練經(jīng)歷了一個特殊到一般的過程，有助于深化、鞏固知識，學生猜想、歸納能力也有了進一步提高，更重要的是培養(yǎng)學生的問題意識和探究意識?？傊跀?shù)學課堂教學中，遵循學