二元一次方程組解法

1、“8.2 消元二元一次方程組的解法”教學(xué)設(shè)計 一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 內(nèi)容 人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)七年級下冊“8.2 消元二元一次方程組的解法”。 內(nèi)容解析 現(xiàn)實生活中存在大量問題涉及多個未知數(shù)，其中許多問題中的數(shù)量關(guān)系是一次（也稱線性）的，而方程組則是解決這些問題的有力工具. 學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了解簡易方程，在七年級上學(xué)期系統(tǒng)學(xué)習(xí)了解一元一次方程。解二元一次方程組的教學(xué)是在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上對方程的進一步研究和學(xué)習(xí)“元增多”(一元二元)，而到九年級將解決“次增高”（一次二次）。 本節(jié)教學(xué)的核心是“消

2、元”，從討論解方程組的需要出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從解決問題的基本策略的角度（轉(zhuǎn)化思想：多元（新問題）一元（舊問題），實現(xiàn)問題的解決.這里的轉(zhuǎn)化亦即消元化歸思想，認知策略是逐步減少未知數(shù)的個數(shù)，以使方程組化歸為一元方程，即先解出一個未知數(shù)，然后逐步解出其他未知數(shù).這對學(xué)生的能力提升以及后續(xù)學(xué)習(xí)非常重要.在這種思想的指導(dǎo)下，結(jié)合學(xué)生對同一個問題的不同解方法對照，發(fā)現(xiàn)用代入的方法能夠?qū)崿F(xiàn)消元，不僅對消元思想的理解由抽象到具體，而且找出了解二元一次方程組的一種基本方法代入消元法. 教學(xué)重點 解決問題的一般思路：轉(zhuǎn)化（化繁為簡，化難為易，化新為舊）；對消元化歸思想的初步理解；用代入法解二元一

3、次方程組. 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 （1）經(jīng)歷由實際問題抽象為方程組的過程，讓學(xué)生體會其中蘊含的符號化、模型化的思想，進一步了解建模思想. 數(shù)學(xué)思想方法是蘊含在數(shù)學(xué)知識中的，學(xué)生對思想方法的理解和掌握是循序漸進的.在一元一次方程應(yīng)用的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)對建模思想有了初步的了解，通過本節(jié)的教學(xué)，學(xué)生能更進一步地理解和體會這一思想，為本章第3節(jié)“實際問題與二元一次方程組”的順利學(xué)習(xí)及分析問題、解決問題能力的提高奠定基礎(chǔ). （2）通過對不同解題思路及方法的對照、比較，發(fā)現(xiàn)二元到一元的轉(zhuǎn)化，理解消元思想的內(nèi)涵. 數(shù)學(xué)教學(xué)承載著啟迪學(xué)生智慧的重任，智慧的啟迪源

4、自學(xué)生對問題的主動探究（如觀察、注意、思維、想象、記憶等），繼而使問題得以解決.這一目標(biāo)旨在消除部分學(xué)生對消元化歸思想的模糊認識，真正理解消元思想，使學(xué)生能透過現(xiàn)象看到本質(zhì)，激活思維，學(xué)會思考. （3）經(jīng)歷二元到一元的轉(zhuǎn)化過程，理解代入消元的本質(zhì)；通過對代入法解二元一次方程組過程的提煉、歸納、整理，掌握這一方法的基本解題過程并會靈活應(yīng)用. 對本節(jié)的教學(xué)不能僅停留在具體題目的具體解題過程上，而應(yīng)不斷加深學(xué)生對思想方法的領(lǐng)悟，讓學(xué)生從思想方法的高度認識、理解所學(xué)內(nèi)容。這樣，我們和學(xué)生分享的才是能活學(xué)活用、能解決問題、真正意義上的知識，而非“死”知識. （4）讓學(xué)生閱讀

5、一次方程組的古今表示及解法，使學(xué)生了解一些有關(guān)數(shù)學(xué)史的知識，感受我國古代數(shù)學(xué)的光輝成就. 數(shù)學(xué)的應(yīng)用不是數(shù)學(xué)價值的全部體現(xiàn).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、方法解決問題的能力，更承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的責(zé)任.這就要求我們的課堂教學(xué)在傳播知識的同時傳播文化. 三、教學(xué)問題診斷分析  數(shù)學(xué)思想方法是具體的數(shù)學(xué)知識的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法對一個人的影響往往要大于具體的數(shù)學(xué)知識. 在本章教材中，實際問題情境貫穿全章，本節(jié)對方程組解法的討論也是在解實際問題的過程中進行的，因此建模的數(shù)學(xué)思想（方程思想）在這里得以充分體現(xiàn)。盡管在教學(xué)中教師會有意識地進行滲透

6、、明確，但學(xué)生對這一思想的理解和體會也許并不會深刻.或許，他們依舊不會有意識地、主動地在這種數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下對問題進行分析，必將導(dǎo)致分析問題的盲目性，就會不可避免地走彎路. 用代入消元法解二元一次方程如果僅停留在模仿、生搬硬套的水平上的話，方法本身并不難，經(jīng)過大量題組的機械訓(xùn)練，相信絕大部分學(xué)生都能掌握這個方法，但對學(xué)生思維的發(fā)展、學(xué)習(xí)能力的提高毫無益處.以后在其他的問題情境中遇到需要代入或消元的方法時，學(xué)生會感到茫然、束手無策. 因此，本節(jié)的教學(xué)難點是：對數(shù)學(xué)思想方法的理解，尤其是對用代入的方法實現(xiàn)消元的主動理解.突破這一難點的關(guān)鍵是給學(xué)生充足的思考、探索、交流的時間，讓他

7、們的思維自然流淌，使消元“水到渠成”，從而“悟”出消元的必然. 四、教學(xué)過程設(shè)計 （一）情景導(dǎo)課 背景材料：老師在我們學(xué)校代三個班的數(shù)學(xué)，所教學(xué)生共143人.問題1：你能提出什么數(shù)學(xué)問題？如何解決？學(xué)生可能提出的問題：（1）每個班有多少個學(xué)生？（2）男生、女生各多少個？ 針對問題（2），增加條件：男生人數(shù)的2倍比女生人數(shù)的3倍少14人.學(xué)生活動：解決問題；展示方法.教師點撥：（1）用建模思想引領(lǐng)思維，實際問題數(shù)學(xué)問題. （2）一元一次方程會解但難列，因為要綜合考慮問題中的各種等量關(guān)系；二元一次方程組易列，因為可以分別考慮兩個等量關(guān)系，但不會解。

8、從而產(chǎn)生了新問題。方程組對于解含多個未知數(shù)的問題很有效，它的優(yōu)越性會隨著問題中未知數(shù)的增加而體現(xiàn)得更加明顯. 【設(shè)計意圖】（1）由于是借班上課，以此形式開課既能創(chuàng)造輕松的氛圍、拉近師生之間的距離，又可以巧妙引出本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容.（2）問題是學(xué)生自己提出的，因此他們解決這個問題的積極性更高，思維更開闊，各種方法的出現(xiàn)便會成為必然.（3）讓學(xué)生體會到方程組在解決實際問題中的優(yōu)越性. （二） 解決問題 問題2：怎么解二元一次方程組呢？追問：為什么要這樣做？依據(jù)是什么？你的解題思路是什么？你的解題方法的名稱是什么？為什么可以這樣歸納？（學(xué)生思考、交流.）教師明確：轉(zhuǎn)化思想

9、新問題轉(zhuǎn)化成舊問題；消元思想將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決.（學(xué)生展示自己的方法.）師生交流，達成共識，明確思路：變形代入求解寫解。教師規(guī)范解題過程，進而形成概念： 代入消元法把二元一次方程組中的一個方程變形成用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解.這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法. 【設(shè)計意圖】我們一直強調(diào)讓學(xué)生“知其然，而且要知其所以然”.但學(xué)生往往停留在對知識或方法的表層理解的水平上，究其原因，還是沒有形成較強的問題意識，不習(xí)慣于多問個“為什么是這樣的”、“這樣做的依據(jù)是什么”等問題.因此，教學(xué)應(yīng)不失

10、時機地培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的問題意識.在問題的引導(dǎo)下，鼓勵學(xué)生投入到活動中，并留給學(xué)生足夠的獨立思考和自主探索的時間和空間，從而讓學(xué)生積極、主動地思考，隨著思維的自然流淌，“順勢”自然地理解消元思想，解決問題的思路逐漸清晰. 通過探索實踐，體驗知識方法的形成過程，發(fā)現(xiàn)代入消元法的由來及過程，真正體會消元思想. 練習(xí)1 你能把下列方程寫成用含x的式子表示y的形式嗎？（1）3x+y-1=0；（2）2x-y=3；（3）2y-4x=7。 【設(shè)計意圖】變形其實是解含字母系數(shù)的方程，是學(xué)生容易出錯的地方，這個問題的設(shè)置是為代入法做準(zhǔn)備.  練習(xí)2解方程組 【設(shè)計意圖】這

11、一環(huán)節(jié)，可以讓學(xué)生趁熱打鐵熟悉自己發(fā)現(xiàn)的方法。通過學(xué)生板書、學(xué)生批閱對錯、教師規(guī)范，不僅可以讓學(xué)生明確代入消元法解方程組的一般過程，再次規(guī)范解題的步驟.  總結(jié)：用代入法解二元一次方程組的一般步驟。 【設(shè)計意圖】我們不應(yīng)倡導(dǎo)學(xué)生對某一方法的死記硬背，但必要的歸納、提煉、反思，能讓學(xué)生體會解方程組過程中的程序化思想，能幫助學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本方法有清晰的認識，尤其是對學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生. （三）鞏固拓展 A組：必做題           

12、60;                   B組：選做題【設(shè)計意圖】理解了思路，明確了方法，還要通過一定量的練習(xí)才能切實掌握方法，融會貫通，領(lǐng)悟思路，啟迪智慧，靈活應(yīng)用. 另外，上課時可以請兩名學(xué)生選擇同一道題目進行板演，主要是對比代入的字母不同，簡易程度也不同。同時應(yīng)指出，在方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為±1時，應(yīng)用代入法求解起來很簡便，如果不是，就比較麻煩，所以在“變形”這一步中，要注意觀察，同時為后面的加減

13、法的學(xué)習(xí)做了伏筆。 （四）反思提高  這節(jié)課，我學(xué)到的知識方法、思想有： 這節(jié)課，讓我頗受啟發(fā)的是：.這節(jié)課，我的收獲還有：.這節(jié)課，讓我感到難理解是：. 【設(shè)計意圖】我們的教學(xué)不僅僅是和學(xué)生分享知識和方法，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、提高他們的學(xué)習(xí)能力，而勤于總結(jié)、善于反思則是能力提高的快車道. （五）體味文化 學(xué)生把自己搜集到的關(guān)于我國古代解方程組的資料互相交流. 【設(shè)計意圖】教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)知識和能力方面得到提高，還要關(guān)注數(shù)學(xué)文化的傳承，使學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶. 五、目標(biāo)檢測設(shè)計 1.把下列方程寫成用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式。(1)3x-y=4；        (2)-2x+y+3=0；        (3)2x+3y=4。2.解下列方程組。(1)