概率論與數學建模

1、第六章 概率論與數學建模一、隨機事件及其概率1.隨機事件：可重復；可預測結果且結果明確；試驗前出現(xiàn)那個結果不能確定例如：拋骰子一次，拋一枚硬幣三次等。2.事件的運算及其含義：A為B的子事件。其含義是：A發(fā)生則B必發(fā)生：事件A，B相等。其含義是：A發(fā)生則B必發(fā)生，反之亦然：事件A與B的交。其含義是：C發(fā)生當且僅當A，B同時發(fā)生：事件A與B的并（和）。其含義是：C發(fā)生當且僅當A，B中至少有一個發(fā)生。：事件A與B的差。其含義是：C發(fā)生當且僅當A發(fā)生并且B不發(fā)生。：事件A與B互不相容。其含義是：A與B不可能同時發(fā)生。：事件A的對立事件。3.概率：刻化某一事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數量指標。 (

2、當時，) 4.古典概論：某個試驗共有n個等可能的結果（樣本點），事件A包含其中m個結果（樣本點），則認為就是事件A的概率。這種基于等可能性確定概率的模型稱為古典概率模型。例6.1.1（Monte Hall Problem）20世紀60，70年代，美國“電視游戲秀”曾經非常流行一個名叫“Lets Make a Deal”的節(jié)目，由Monte Hall 主持。游戲過程如下：有三扇關著的門，其中一扇門后面有獎品（一輛汽車），其余兩扇門后面則沒有獎品，若猜中了有獎品的門就能贏取這輛汽車。你從中挑選一扇門，但暫不打開。這時，主持人在另外兩扇門中挑一個沒有獎品的門打開，并展示給你和觀眾。然后，主持人問你：

3、是堅持原來的選擇，還是換成最后那扇門？解：從能不能得獎的角度看，這個游戲只有兩個結果：不換門得獎（A）、換門能得獎（B）。第一個門是你“三選一”隨機（等可能地）挑選的，故P(A)=1/3,自然，另一個結果的概率就是P(B)=2/3。因此，正確的決定是換成那扇門。例6.1.2（抽簽原理）袋中有2只紅球8只黑球（除顏色外無法再分辨）。10個人依次摸球，得紅球者中獎。求：第k個摸球者中獎的概率，k=1,2,10解法一：假定對解題者來說這些球可辨別。樣本點為一輪抽簽結束后這10個球的排列，共有10！個等可能的樣本點。事件所含樣本點的特征是：兩個紅球中任選一個排在第k位（有種可能），而其余9個球在其余9

4、個位置上可任意排列（有9！種可能）。因此包含了9！個樣本點，故.解法二：假定球不可辨，只需關注紅球落入哪兩個人之手，樣本空間共有個等可能的樣本點。事件發(fā)生意味著第k個人得一紅球，另一紅球落入其余9人中某一人之手，這有種可能，所以。例6.1.3（分球入盒模型）將2只球隨機地放入3個可辨的盒子中。求事件A=甲乙兩個盒子中各有一只球的概率。模型一：假定球可辨，根據乘法原理，樣本空間有個等可能的樣本點，而事件A所含的樣本點有個（兩只球的排列），所以.模型二：假定球不可辨，則樣本空間共有個樣本點（兩塊隔板就可以代表三個盒子，兩只球以及兩塊隔板共4個位置，任選其中兩個放置隔板）： 而事件A所含的樣本點只有

5、一個。人的直覺經驗一般應該是這樣的：從物理學上說，球總是可辨的（難以想象這個球既是這個球又是那個球），所謂不可辨，也只是根據問題或研究的目的，不在乎它們之間的區(qū)別而已。如果需要，后三種情形還是可以區(qū)別的。因此，現(xiàn)在這6個樣本點不是等可能的：前三個均為，后三個均為。故答案應該還是。例6.1.4（浦豐投針問題）在平面上畫一些間距為d的平行線，向此平面投擲一根長為l的（l<a）的針，試求A=此針能與某一直線相交的概率。 略。5.條件概率、乘法公式、獨立性、全概率公式、貝葉斯公式（1）條件概率：表示事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率。且 (2) 乘法公式：若，有.（3）獨立性：若,有或。則稱A、

6、B相互獨立。(4)全概率公式：設是S的一個分割，且，則對任一事件,有.條件全概率公式：設是S的一個分割，且，,則 例6.1.5（Polya模型）罐子里有r只紅球和b只黑球，隨機取出一球，放回后再加入同顏色的球c只。如此下去，求第n次取出紅球的概率。解：設=第n次取出的是紅球，=第n次取出的是黑球，n=1,2,.根據全概率公式，有 依次遞推，易知有。（5）貝葉斯公式：設是S的一個分割，且，則對概率大于零的事件，有 i=1,2,n例6.1.6一個從不抽煙的60歲男性去醫(yī)院看病，主訴有癥狀A=慢性咳嗽及非經常性憋氣，醫(yī)生安排他做肺部活組織檢驗，假定檢驗只有三種可能的結果:=正常（沒有嚴重的肺病），=

7、肺癌，=結節(jié)病。假設醫(yī)生根據臨床經驗，得知這三種病與該組癥狀之間的關聯(lián)（條件概率）如下： ，另外，從疾病資料庫中“年齡-性別-抽煙”這個癥狀組合欄目可以找到，在60歲從不抽煙的男性群體中，患這三種病的先驗概率（頻率）為 ，問：肺部活組織檢查前，醫(yī)生對該名男子應該如何診斷？解：用貝葉斯公式，已知癥狀組合A,三種疾病的條件概率分別為 雖然結節(jié)病的先驗概率0.009很小，但他患有結節(jié)病的后驗概率卻高達0.8108.也就是說，雖然這組癥狀與兩種疾病（肺癌和結節(jié)?。┒急容^相符，但結合病人的年齡、性別和抽煙等情況綜合考慮，應該診斷為結節(jié)病。下面舉一個綜合運用加法公式、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式和獨立

8、性的例子。例6.1.7一個罪犯單獨作案，在現(xiàn)場留下了一些DNA信息。法醫(yī)研究后發(fā)現(xiàn)能夠辨別的只有5對，而且無罪的人也可能與此匹配，匹配的概率為。檢查官認為罪犯就是該城鎮(zhèn)100萬居民之一。過去10年，該城鎮(zhèn)曾有包括瓊斯在內的10000人蹲過監(jiān)獄，他們的DNA資料均記錄在案。在檢查對比這些DNA文檔之前，檢察官根據經驗，認為有前科的人又犯罪的概率是沒有前科的人犯罪概率的k倍。實際的DNA對比結果是：瓊斯是唯一匹配的人。瓊斯有罪的概率是多少？解：設有前科者的犯罪概率為，無前科者的犯罪概率為，則。由于是單獨作案，某甲作案與某乙作案不相容，且必有一人作案，故，因此 ，記A=瓊斯是作案者，B=瓊斯是100

9、00人中唯一與現(xiàn)場留下的DNA信息匹配的人，則。我們要求的概率是,由貝葉斯公式 在10000個有前科的DNA對比試驗中，每個人是否與現(xiàn)場DNA信息匹配是相互獨立的。這里我們必須再補充一個假設：DNA對比試驗技術上完美無缺（即，事實上匹配的人，對比結果必然匹配，事實上不匹配的人，對比結果必然不匹配）。因此，在瓊斯是作案者（其他9999人都不是作案者）的前提下，瓊斯匹配而其他9999人都不匹配的概率應該是 現(xiàn)來求.設=瓊斯以外的9999個有前科者這次都沒作案，根據條件全概率公式，有 顯然其中的 ，注意到，事件意為“該案是990000個沒有前科者之一所為”，故,即。于是 最終，我們得到 例如，若則新

10、的DNA證據表明瓊斯作案的概率為，若則瓊斯作案的概率為。二、隨機變量1.隨機變量的概念：2.常見的隨機變量：(1)泊松分布：實際應用：一本書中一頁中的印刷錯誤數。 （小概率事件）某地區(qū)在一天內郵件遺失的信件數。 某一天內醫(yī)院的急癥病人數。 某一地區(qū)一個時間間隔內發(fā)生交通事故的次數 一個時間間隔內某種放射性物質發(fā)出的經過計數器的粒子數等等(2)指數分布：其中為常數 ，記為 特點:無記憶性一個元件已經使用了s小時，在此情形下，它總共能使用至少s+t小時的概率，與開始使用時算起它至少能使用t小時的概率相等，即元件對已使用過s小時無記憶。實際應用：可靠性理論、排隊論，許多“等待時間”服從指數分布，一些

11、沒有明顯“衰老”跡象的機械元器件（如半導體元件）的壽命也可也用指數分布來描述(3)正態(tài)分布：，記為 圖6.1若，則此分布為標準正態(tài)分布，記為。對于一般的正態(tài)分布，通?？梢赞D化為標準正態(tài)分布，這樣就可以直接查標準正態(tài)分布表。定理：設，則，并且 證明：對任意的，有 這說明。于是，又有 圖6.2圖6.3“”原則：原則被實際工作者發(fā)現(xiàn),工業(yè)生產上用的控制圖和一些產品質量指數都是根據3原則制定。學生的考分一般服從正態(tài)分布，為了避免因微小隨機差異而誤評學生的表現(xiàn)，很多國家將分數（百分制）超過的評為A級，再以一個為單位，依次往下評定為B級、C級和D級，分數低于的評為E級。例6.2.1設從甲地到乙地有兩條路可

12、供選擇。第一條路較短但交通比較擁堵，所需要的時間（分鐘）服從正態(tài)分布,第二條路較長但意外阻塞可能性較小，所需要的時間服從正態(tài)分布。（1）如果有70分鐘可用，宜選哪條路？（2）如果只有60分鐘可用，宜選哪條路？解：（1）走第一條路所需設為,，則70分鐘內可以到達的概率為。走第二條路所需時間為，則70分鐘內可以到達的概率為（2）假設同（1），則60分鐘內可以到達的概率分別為 3.隨機變量的特征數（數字特征）：均值（期望）：方差：例6.2.2（分賭本問題）1654年，職業(yè)賭徒de Mere爵士（可能是歷史上最敬業(yè)的賭徒）向法國數學家Pascal提出一個困惑他已久的問題：甲乙二人賭技相同，各出賭資50

13、法郎，假定無平局，事前約定：誰先勝三局則拿走全部賭資100法郎。當甲贏了二局、乙贏了一局時，因故要中止賭博。問：這100法郎要如何分才算公平？解：以下有兩種分法（1）甲得100法郎中的2/3，乙得100法郎中的1/3.這是基于已賭局數：甲贏了二局、乙贏了一局。（2）帕斯卡提出如下的分法：設想再賭下去，則甲最終所得為一個隨機變量，其可能取值為0或100.再賭二局必可結束，其結果不外乎以下四種情況之一： 甲甲，甲乙，乙甲，乙乙其中“甲乙”表示第一局甲勝第二局乙勝。因為賭技相同，所以在這四種情況中有三種可使甲獲100法郎，只有一種情況（乙乙）下甲獲0法郎。所以甲獲得100法郎的可能性為3/4，獲得0

14、法郎的可能性為1/4，即的分別列為 0 100 0.25 0.75經上述分析，帕斯卡認為，甲的“期望”所得應為： 即甲得75法郎，乙得25法郎。這種分法不僅考慮了已賭局數，而且還包含了對再賭下去的一種“期望”，它比（1）的分法更為合理。例6.2.3在一個人數很多的團體中普查某種疾病，為此要抽驗N個人的血，可以用兩種方法進行。（1）將每個人的血分別去驗，這就需驗N次。（2）按K個人一組進行分組，把從K個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如果這混合血液呈陰性反應，就生命K個人的血都呈陰性反應，這樣，這K個人的血就只需驗一次，若呈陽性，則再對這K個人的血液分別進行化驗，這樣，這K個人的血總共要化驗K+1

15、次。假設每個人化驗呈陽性的概率為，且這些人的試驗反應是相互獨立的，試說明當較小的時，選取適當的K，按第二種方法可以減少化驗的次數，并說明K取什么值時最適宜。解 各人的血呈陰性反應的概率為.因而K個人的混合血呈陰性反應的概率為，K個人的混合血呈陽性反應的概率為。設以K個人為一組時，組內每人化驗的次數為，則是一個隨機變量，其分布率為 的數學期望為 N個人平均需化驗的次數為由此可知，只要選擇K使 則N個人平均需化驗的次數<N，當固定時，我們選取K使得 小于1且渠道最小值，這時就能得到最好的分組方法。例如，=0.1，則=0.9，當K=4時，L 取到最小值。此時得到最好的分組方法，若N=1000，

16、此時以K=4分組，則按第二種方法平均只需化驗 （次）這樣平均來說，可以減少40%的工作量。三.概率模型：（一）報童的訣竅模型問題：報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設報紙每份的購進價為b,零售價為a,退回價為c(a>b>c)。這就是說，報童售出一份報紙賺a-b，退回一份賠b-c。報童每天如果購進的報紙?zhí)?，不夠賣的，會少賺錢；如果購進太多，賣不完，將要賠錢。請你為報童籌劃一下，他應如何確定每天購進報紙的數量，以獲得最大的收入。分析：需求量是隨機的，假定報童已經掌握了需求量的隨機規(guī)律，即在他的銷售范圍內每天報紙的需求量為r份的概率是。有了和a,b,c，就可以建

17、立關于購進量的優(yōu)化模型了。因為需求量r是隨機的，致使報童每天的收入也是隨機的，所以作為優(yōu)化模型的目標函數，應該是他長期賣報的日平均收入，即每天收入的期望值。模型建立與求解：假設每天購進量為n份，則每天的收入為 于是每天購進n份報紙時的平均收入為 （6.2.1）問題歸結為：在和a,b,c已知時，求使最大。通常需求量r的取值和購進量都相當大，將r近似地看成連續(xù)變量更便于分析和計算，這時概率轉化為概率密度，式（6.2.1）變成 （6.2.2）計算 令，得到 （6.2.3）使報童日平均收入達到最大的購進量應滿足（6.2.3）。因為，所以式（6.2.3）又可表為 （6.2.4）根據需求量的概率密度的圖形

18、很容易從式（6.2.3）或（6.2.4）確定購進量。 圖6.4在上圖中用和分別表示曲線下的兩塊面積，則式（6.2.3）可記作 因為當購進份報紙時，是需求量不超過時的概率，即賣不完的概率，是需求量超過的概率，即賣完的概率，所以式（6.2.3）表明，購進的份數應該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢a-b與退回一份賠的錢b-c之比。顯然，當報童與報社簽訂的合同使報童每份賺錢與賠錢之比越大時，報童購進的份數就應該越多。（二）蔬菜銷售的最優(yōu)訂購量問題問題：某超市蔬菜部在一時期內每天訂購幾種蔬菜銷售，現(xiàn)考慮其中一種蔬菜的銷售利潤問題。設這種蔬菜每千克批進價為元，零售價為；若賣不完就在當天以每

19、千克元處理掉。這里，；對這種蔬菜每天需支付運費和行政費元。試制訂一個使得銷售該種蔬菜平均每天利潤達到最大的最優(yōu)方案，進而求出這個最大平均利潤。問題分析：運用數學建模方法解決這一問題時，要抓住以下三個要點：一是超市蔬菜部每天銷售這種蔬菜的數量是一個隨機變量，因此每天銷售這種蔬菜的利潤也是一個隨機變量，顯然后者是前者的函數，必須根據問題所提供的信息將這一關系式列舉出來；二是每天的訂購量必須適當，既不能太少，否則供不應求，并將會減少收益，也不能太多，否則當天因賣不完以較低的價格處理掉將會影響收益。既然每天銷售這種蔬菜的利潤是一個隨機變量，所以作為優(yōu)化模型的目標函數，不能是每天的利潤，而應考慮每天利潤

20、的統(tǒng)計平均值，即數學期望；三是所要求的制訂使得銷售該種蔬菜平均每天利潤達到最大的最優(yōu)訂購方案是數學上的最值問題。模型假設：為便于在數學上建模處理，需作如下假設：（1）蔬菜批發(fā)市場每天有足夠的這種蔬菜可供超市蔬菜部批進；（2）蔬菜部除了支付批進這種蔬菜所需的成本費用外，其他有關費用已考慮在零售價之中，不另計算；（3）記（單位：千克）為在一段時期內，市場上每天對該超市銷售這種蔬菜的需求量，（單位：元）為蔬菜部每天銷售這種蔬菜的利潤，為研究作為的函數的統(tǒng)計特性，必須知道的統(tǒng)計規(guī)律性。假設蔬菜部已通過長期的銷售經驗或其他渠道掌握了市場在這段時期內其的概率分布可以近似地用概率密度函數 刻畫。模型建立：設

21、在一段時期內，超市蔬菜部每天對這種蔬菜的訂購量為（單位：千克），則由于銷售利潤等于銷售收入減去銷售成本，于是作為的函數。其表達式為 此問題的目標函數為每天銷售這種蔬菜的平均利潤，即的數學期望是的函數，記為。利用連續(xù)型隨機變量函數的數學期望求法，有 化簡，得 問題歸結為求使得達最大的值。模型求解 為求得上式的最大值，將上式對求導，得 令，解得唯一穩(wěn)定點滿足 即注意到的分布函數單調遞增，于是得 由于 故使得平均利潤達最大值的最優(yōu)訂購量由給出。進而，最大平均利潤為 （三）軋鋼中的浪費模型：問題：將粗大的鋼坯制成合格的鋼材需要兩道工序：粗軋（熱軋），形成剛才的雛形；精軋（冷軋），得到規(guī)定長度的成品材料

22、。由于受到環(huán)境、技術等因素的影響，得到鋼材的長度是隨機的，大體上呈正態(tài)分布，其均值可以通過調整軋機設定，而均方差是由設備的精度決定，不能隨意改變。如果粗軋后的鋼材長度大于規(guī)定長度，精軋時要把多余的部分切除，造成浪費；而如果粗軋后的鋼材長度小于規(guī)定長度，則造成整根鋼材浪費。如何調整軋機使得最終的浪費最小。（1） 問題概述：成品材料的規(guī)定長度已知為，粗軋后的鋼材長度的標準差為，粗軋后的鋼材長度的均值，使得當軋鋼機調整到m進行粗軋，然后通過精軋以得到成品材時總的浪費最少。（2） 問題分析：精軋后的鋼材長度記為，的均值記為m，的方差為，按照題意，。概率密度函數記為f（x），當成品鋼材的規(guī)定長度給定后，

23、記的概率為，=p（）。在軋鋼過程中產生的浪費由兩種情況構成：若，則浪費量為；若，則浪費量為。注意到當很大時，的可能性增加，浪費量同時增加；而當很小時，的可能性增加，浪費量也增加，因此需要確定一個合適的使得總的浪費量最小。（3） 模型建立與求解：這是一個優(yōu)化模型，建模的關鍵是選擇合適的目標函數，并用，m把目標函數表示出來。根據前面的分析，粗軋一根鋼材平均浪費長度為： 利用，和由（1）得：W=m- 以W為目標函數是否合適？由于軋鋼的最終產品是成品材，浪費的多少不應以每粗軋一根鋼材的平均浪費量為標準，而應該用每得到一根成品材浪費的平均長度來衡量。因此目標函數為：因為是已知的常數，所以目標函數可以等價

24、的取為： 其中，易見平均每得到一根成品鋼材所需要的剛才長度，問題就轉化為求m使達到最小。令則(2)式可表為：其中：可用微分法解的極值問題。注意到，不難推出最優(yōu)值Z應滿足方程： （*）記，可根據標準正態(tài)分布的函數值和制成表格式給出圖形。Z-3.0-2.5-2.0-1.5 -1.0-0.5227.056.7918.107.2603.4771.680Z00.51.01.52.02.51.2530.8760.6560.5160.4200.355由上表可得方程（*）的根Z*注：當給定> =1.253時，方程（*）不止一個根，但是可以證得，只有唯一負根Z*<0，才使取得極小值。（四）火災報警問

25、題（美國）一個地區(qū)911應急服務中心在過去的一年內平均每月要收到171個房屋火災電話，基于這個資料的，火災率被估計為每月171次，下個月收到火災報警電話只有153個，這表明房屋火災率實際上實際上是減少了，或是或是它只是一個隨機波動？分析：第n-1次和第n次火災之間的時間（月），X1，Xn，是獨立的且每一個Xn服從參數為的指數分布，為報告的房屋火災率（月），即是：，（Xi>0）目標：給定=171，確定每月收到153次這樣的少的電話報警的概率有多大？或者說每月收到153是否屬于正常范圍內？建模：， ，將代入得：（利用3原理）：若要有95%的把握，則：若要有98%的把握，則：選擇95%的把握得

26、到： 將=171，n=153代入（1），有：即：因此我們的觀察值是在正常的變化范圍之內結論：斷言火災報警率降低的證據不充分，它可能是正太隨機變量的正常結果。當然，若每月都連續(xù)這樣低，則需重新評估。靈敏度分析：當=171代入（1）得： 因為對任何的，區(qū)間總會包含1，即在之間都屬于正常范圍。 對于“每月171次”的假設的敏感性分析。去掉特殊性，假設每月的均值是，我們有一個月的報警電話次數的觀測值n=153，代入（1），有：因為對于任何的之間總會包含1，所以=153屬于正常的變化范圍。（續(xù)）隨機過程部分一、隨機過程：熱噪聲電壓：電子元件或器件由于內部微觀粒子的隨機熱騷動所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓。

27、它在任一時刻t的值是一隨機變量，記為V(t),不同時刻對應不同的隨機變量，當時間在某區(qū)間，譬如在上推移時，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機變量，記為：V(t),t>=0。由于熱騷動的隨機性，在相同條件下每次測量都將產生不同的電壓時間函數。這樣，不斷的獨立的測量就可以得到一族不同的電壓時間函數。tV1(t)V2（t）V3（t）tttjtjtj設T是一無限實數集，我們把依賴于參數的一族（無限多個）隨機變量稱為隨機過程。記為X(t), 。這時每一個，X(t)是一隨機變量，T叫做參數集。把t看作為時間，稱X(t)為時刻t時過程的狀態(tài)，而X(t)=x或是t=t1時過程處于狀態(tài)x。對于一切的，X(t)的所有

28、可能的一切值的全體稱為隨機過程的狀態(tài)空間。 二、馬爾可夫鏈及其基本方程：將時間離散化為n=0，1，2，對每個n，系統(tǒng)的狀態(tài)用隨機變量Xn表示，設Xn可以取k個離散的值Xn=1，2，k，且記即狀態(tài)概率從Xn=iXn+1=j的概率記為即轉移概率。如果Xn+1的取值只取決于Xn的取值及轉移概率，而與X1，X2，Xn-1的取值無關，則稱這種離散狀態(tài)按照離散的時間的隨機轉移過程叫做馬爾可夫過程?；蛘哒f此過程具有馬爾可性或無后效性。注：還可以這樣表示由狀態(tài)轉移的無后效性和全概率公式可以寫出馬爾可夫鏈的基本方程為 并且和應滿足： （2）引入狀態(tài)概率向量和轉移概率矩陣則（1）式可表為：由此可得 ：（2）式表明

29、轉移矩陣P是非負矩陣，且P的行和為1，稱為隨機矩陣。說明：對于馬爾可夫鏈模型最基本的問題是構造狀態(tài)Xn及寫出轉移矩陣P，一旦有了P，那么給定初始狀態(tài)概率a（0）就可以用（3）和（4）或計算任意時段n的狀態(tài)概率a（n）例題：（1）健康與疾?。?其中（i，j=1，2）0.20.70.30.8n012310.80.780.7787/900.20.220.2222/9若開始處于疾病狀態(tài)，即，n012300.70.770.7777/910.30.230.2232/9更一般的，當時，的趨向與上面兩表相同。結論：當時，趨向于穩(wěn)定值，與初始狀態(tài)無關。（2）健康、疾病、死亡0.650，250.180.10.80.021n0125010.80.7570.1293000.180.1890.0326000.20.0540.83811對于例題中的（1）小問，看出從任意狀態(tài)出發(fā)經過有限次的轉移都能達到另外的任意狀態(tài)，而（2）小問中則不能。正則鏈定義：一個有k可狀態(tài)的馬爾可夫鏈，如果存在正整數N，使從任意的狀態(tài)i經N次轉移都以大于0的概率到達狀態(tài)j（